Глава VII. § 41. Свойства функции y = sin x и её график — с. 216
724. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) sin x = √3/2;
2) sin x = √2/2;
3) sin x = −√2/2;
4) sin x = −√3/2.
1) sin x = √3/2;
2) sin x = √2/2;
3) sin x = −√2/2;
4) sin x = −√3/2.
Общие решения записываем через арксинус и отбираем корни на [0; 3π].
1) x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn. При n = 0: π/3, 2π/3; при n = 1: 7π/3, 8π/3 (< 3π); при n = 2 значения больше 3π. Ответ: π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.
2) x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn. Ответ: π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4.
3) Отрицательные значения синус принимает на (π; 2π) и на (3π; 4π); на [0; 3π] только первый интервал: x = 5π/4, x = 7π/4. Ответ: 5π/4, 7π/4.
4) x = 4π/3, x = 5π/3 (на (π; 2π)). Ответ: 4π/3, 5π/3.
1) x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn. При n = 0: π/3, 2π/3; при n = 1: 7π/3, 8π/3 (< 3π); при n = 2 значения больше 3π. Ответ: π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.
2) x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn. Ответ: π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4.
3) Отрицательные значения синус принимает на (π; 2π) и на (3π; 4π); на [0; 3π] только первый интервал: x = 5π/4, x = 7π/4. Ответ: 5π/4, 7π/4.
4) x = 4π/3, x = 5π/3 (на (π; 2π)). Ответ: 4π/3, 5π/3.
725. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) sin x > 1/2;
2) sin x ≤ √2/2;
3) sin x ≥ −1/2;
4) sin x < −√3/2.
1) sin x > 1/2;
2) sin x ≤ √2/2;
3) sin x ≥ −1/2;
4) sin x < −√3/2.
Решаем по графику: ищем точки пересечения синусоиды с горизонтальной прямой и выбираем нужные дуги на [0; 3π].
1) sin x = 1/2 при x = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. График выше прямой на (π/6; 5π/6) и (13π/6; 17π/6). Ответ: π/6 < x < 5π/6, 13π/6 < x < 17π/6.
2) sin x = √2/2 при x = π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4. График не выше прямой на [0; π/4], [3π/4; 9π/4], [11π/4; 3π]. Ответ: 0 ≤ x ≤ π/4, 3π/4 ≤ x ≤ 9π/4, 11π/4 ≤ x ≤ 3π.
3) sin x = −1/2 при x = 7π/6, 11π/6 (на [0; 3π]). График не ниже прямой на [0; 7π/6] и [11π/6; 3π]. Ответ: 0 ≤ x ≤ 7π/6, 11π/6 ≤ x ≤ 3π.
4) sin x = −√3/2 при x = 4π/3, 5π/3. График ниже прямой на (4π/3; 5π/3). Ответ: 4π/3 < x < 5π/3.
1) sin x = 1/2 при x = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6. График выше прямой на (π/6; 5π/6) и (13π/6; 17π/6). Ответ: π/6 < x < 5π/6, 13π/6 < x < 17π/6.
2) sin x = √2/2 при x = π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4. График не выше прямой на [0; π/4], [3π/4; 9π/4], [11π/4; 3π]. Ответ: 0 ≤ x ≤ π/4, 3π/4 ≤ x ≤ 9π/4, 11π/4 ≤ x ≤ 3π.
3) sin x = −1/2 при x = 7π/6, 11π/6 (на [0; 3π]). График не ниже прямой на [0; 7π/6] и [11π/6; 3π]. Ответ: 0 ≤ x ≤ 7π/6, 11π/6 ≤ x ≤ 3π.
4) sin x = −√3/2 при x = 4π/3, 5π/3. График ниже прямой на (4π/3; 5π/3). Ответ: 4π/3 < x < 5π/3.
726. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:
1) sin π/9 и cos π/9;
2) sin 9π/8 и cos 9π/8;
3) sin π/5 и cos 5π/14;
4) sin π/8 и cos 3π/10.
1) sin π/9 и cos π/9;
2) sin 9π/8 и cos 9π/8;
3) sin π/5 и cos 5π/14;
4) sin π/8 и cos 3π/10.
Используем cos α = sin(π/2 − α).
1) cos π/9 = sin(π/2 − π/9) = sin 7π/18. Числа π/9 = 2π/18 и 7π/18 лежат в [−π/2; π/2], где синус возрастает, 2π/18 < 7π/18, значит sin π/9 < cos π/9.
2) cos 9π/8 = sin(π/2 − 9π/8) = sin(−5π/8) = sin(−5π/8 + 2π) = sin 11π/8. Числа 9π/8 и 11π/8 лежат в [π/2; 3π/2], где синус убывает, 9π/8 < 11π/8, значит sin 9π/8 > cos 9π/8.
3) cos 5π/14 = sin(π/2 − 5π/14) = sin(2π/14) = sin π/7. Числа π/5 и π/7 лежат в [−π/2; π/2], π/5 > π/7, значит sin π/5 > cos 5π/14.
4) cos 3π/10 = sin(π/2 − 3π/10) = sin π/5. Числа π/8 и π/5 лежат в [−π/2; π/2], π/8 < π/5, значит sin π/8 < cos 3π/10.
1) cos π/9 = sin(π/2 − π/9) = sin 7π/18. Числа π/9 = 2π/18 и 7π/18 лежат в [−π/2; π/2], где синус возрастает, 2π/18 < 7π/18, значит sin π/9 < cos π/9.
2) cos 9π/8 = sin(π/2 − 9π/8) = sin(−5π/8) = sin(−5π/8 + 2π) = sin 11π/8. Числа 9π/8 и 11π/8 лежат в [π/2; 3π/2], где синус убывает, 9π/8 < 11π/8, значит sin 9π/8 > cos 9π/8.
3) cos 5π/14 = sin(π/2 − 5π/14) = sin(2π/14) = sin π/7. Числа π/5 и π/7 лежат в [−π/2; π/2], π/5 > π/7, значит sin π/5 > cos 5π/14.
4) cos 3π/10 = sin(π/2 − 3π/10) = sin π/5. Числа π/8 и π/5 лежат в [−π/2; π/2], π/8 < π/5, значит sin π/8 < cos 3π/10.
727. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−3π/2; π]:
1) sin 2x = −1/2;
2) sin 3x = √3/2.
1) sin 2x = −1/2;
2) sin 3x = √3/2.
1) Пусть t = 2x, тогда t ∈ [−3π; 2π] и sin t = −1/2, откуда t = −π/6 + 2πk или t = −5π/6 + 2πk (k ∈ Z). Отбираем значения из [−3π; 2π]: −17π/6, −13π/6, −5π/6, −π/6, 7π/6, 11π/6. Тогда x = t/2: −17π/12, −13π/12, −5π/12, −π/12, 7π/12, 11π/12.
Ответ: −17π/12, −13π/12, −5π/12, −π/12, 7π/12, 11π/12.
2) Пусть t = 3x, тогда t ∈ [−9π/2; 3π] и sin t = √3/2, откуда t = π/3 + 2πk или t = 2π/3 + 2πk. Отбираем значения из [−9π/2; 3π]: −11π/3, −10π/3, −5π/3, −4π/3, π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3. Тогда x = t/3: −11π/9, −10π/9, −5π/9, −4π/9, π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9.
Ответ: −11π/9, −10π/9, −5π/9, −4π/9, π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9.
Ответ: −17π/12, −13π/12, −5π/12, −π/12, 7π/12, 11π/12.
2) Пусть t = 3x, тогда t ∈ [−9π/2; 3π] и sin t = √3/2, откуда t = π/3 + 2πk или t = 2π/3 + 2πk. Отбираем значения из [−9π/2; 3π]: −11π/3, −10π/3, −5π/3, −4π/3, π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3. Тогда x = t/3: −11π/9, −10π/9, −5π/9, −4π/9, π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9.
Ответ: −11π/9, −10π/9, −5π/9, −4π/9, π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9.
728. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [−3π/2; π]:
1) sin 2x ≥ −1/2;
2) sin 3x < √3/2.
1) sin 2x ≥ −1/2;
2) sin 3x < √3/2.
1) Пусть t = 2x ∈ [−3π; 2π]. Неравенство sin t ≥ −1/2 верно при −π/6 + 2πk ≤ t ≤ 7π/6 + 2πk. На [−3π; 2π] получаем: −3π ≤ t ≤ −17π/6; −13π/6 ≤ t ≤ −5π/6; −π/6 ≤ t ≤ 7π/6; 11π/6 ≤ t ≤ 2π. Делим на 2.
Ответ: −3π/2 ≤ x ≤ −17π/12; −13π/12 ≤ x ≤ −5π/12; −π/12 ≤ x ≤ 7π/12; 11π/12 ≤ x ≤ π.
2) Пусть t = 3x ∈ [−9π/2; 3π]. Неравенство sin t < √3/2 верно при 2π/3 + 2πk < t < 7π/3 + 2πk. На [−9π/2; 3π]: −9π/2 ≤ t < −11π/3; −10π/3 < t < −5π/3; −4π/3 < t < π/3; 2π/3 < t < 7π/3; 8π/3 < t ≤ 3π. Делим на 3.
Ответ: −3π/2 ≤ x < −11π/9; −10π/9 < x < −5π/9; −4π/9 < x < π/9; 2π/9 < x < 7π/9; 8π/9 < x ≤ π.
Ответ: −3π/2 ≤ x ≤ −17π/12; −13π/12 ≤ x ≤ −5π/12; −π/12 ≤ x ≤ 7π/12; 11π/12 ≤ x ≤ π.
2) Пусть t = 3x ∈ [−9π/2; 3π]. Неравенство sin t < √3/2 верно при 2π/3 + 2πk < t < 7π/3 + 2πk. На [−9π/2; 3π]: −9π/2 ≤ t < −11π/3; −10π/3 < t < −5π/3; −4π/3 < t < π/3; 2π/3 < t < 7π/3; 8π/3 < t ≤ 3π. Делим на 3.
Ответ: −3π/2 ≤ x < −11π/9; −10π/9 < x < −5π/9; −4π/9 < x < π/9; 2π/9 < x < 7π/9; 8π/9 < x ≤ π.
729. Построить график функции и выяснить её свойства:
1) y = 1 − sin x;
2) y = 2 + sin x;
3) y = sin 3x;
4) y = 2 sin x.
1) y = 1 − sin x;
2) y = 2 + sin x;
3) y = sin 3x;
4) y = 2 sin x.
1) График y = 1 − sin x получается из синусоиды симметрией относительно оси Ox и сдвигом на 1 вверх. Свойства: D(y) = R; E(y) = [0; 2]; период 2π; ни чётная, ни нечётная (y(−x) = 1 + sin x); y(0) = 1; нули: x = π/2 + 2πn (там же минимум y = 0); максимум y = 2 при x = −π/2 + 2πn; y ≥ 0, положительна при x ≠ π/2 + 2πn; убывает на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], возрастает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].
2) График y = 2 + sin x — синусоида, сдвинутая на 2 вверх. D(y) = R; E(y) = [1; 3]; период 2π; ни чётная, ни нечётная; y(0) = 2; нулей нет, y > 0 всюду; максимум 3 при x = π/2 + 2πn, минимум 1 при x = −π/2 + 2πn; возрастает на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], убывает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].
3) График y = sin 3x получается сжатием синусоиды к оси Oy в 3 раза. D(y) = R; E(y) = [−1; 1]; период 2π/3; нечётная; нули x = πn/3; максимум 1 при x = π/6 + 2πn/3, минимум −1 при x = −π/6 + 2πn/3; y > 0 на (2πn/3; π/3 + 2πn/3), y < 0 на (−π/3 + 2πn/3; 2πn/3); возрастает на [−π/6 + 2πn/3; π/6 + 2πn/3], убывает на [π/6 + 2πn/3; π/2 + 2πn/3].
4) График y = 2 sin x получается растяжением синусоиды от оси Ox в 2 раза. D(y) = R; E(y) = [−2; 2]; период 2π; нечётная; нули x = πn; максимум 2 при x = π/2 + 2πn, минимум −2 при x = −π/2 + 2πn; y > 0 на (2πn; π + 2πn), y < 0 на (−π + 2πn; 2πn); возрастает на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], убывает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. (Во всех пунктах n ∈ Z.)
2) График y = 2 + sin x — синусоида, сдвинутая на 2 вверх. D(y) = R; E(y) = [1; 3]; период 2π; ни чётная, ни нечётная; y(0) = 2; нулей нет, y > 0 всюду; максимум 3 при x = π/2 + 2πn, минимум 1 при x = −π/2 + 2πn; возрастает на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], убывает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].
3) График y = sin 3x получается сжатием синусоиды к оси Oy в 3 раза. D(y) = R; E(y) = [−1; 1]; период 2π/3; нечётная; нули x = πn/3; максимум 1 при x = π/6 + 2πn/3, минимум −1 при x = −π/6 + 2πn/3; y > 0 на (2πn/3; π/3 + 2πn/3), y < 0 на (−π/3 + 2πn/3; 2πn/3); возрастает на [−π/6 + 2πn/3; π/6 + 2πn/3], убывает на [π/6 + 2πn/3; π/2 + 2πn/3].
4) График y = 2 sin x получается растяжением синусоиды от оси Ox в 2 раза. D(y) = R; E(y) = [−2; 2]; период 2π; нечётная; нули x = πn; максимум 2 при x = π/2 + 2πn, минимум −2 при x = −π/2 + 2πn; y > 0 на (2πn; π + 2πn), y < 0 на (−π + 2πn; 2πn); возрастает на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], убывает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. (Во всех пунктах n ∈ Z.)
730. Найти множество значений функции y = sin x, если x принадлежит промежутку:
1) [π/6; π];
2) [3π/4; 5π/4].
1) [π/6; π];
2) [3π/4; 5π/4].
1) На [π/6; π/2] синус возрастает от sin π/6 = 1/2 до sin π/2 = 1, на [π/2; π] убывает от 1 до sin π = 0. Наибольшее значение 1, наименьшее 0 (при x = π; 1/2 > 0). Ответ: [0; 1].
2) Отрезок [3π/4; 5π/4] лежит в [π/2; 3π/2], где синус убывает: от sin 3π/4 = √2/2 до sin 5π/4 = −√2/2. Ответ: [−√2/2; √2/2].
2) Отрезок [3π/4; 5π/4] лежит в [π/2; 3π/2], где синус убывает: от sin 3π/4 = √2/2 до sin 5π/4 = −√2/2. Ответ: [−√2/2; √2/2].
731. Построить график функции:
1) y = sin |x|;
2) y = |sin x|.
1) y = sin |x|;
2) y = |sin x|.
1) При x ≥ 0 имеем |x| = x, поэтому y = sin x. Функция чётная (sin|−x| = sin|x|), поэтому при x < 0 график симметричен построенному относительно оси Oy. Строим синусоиду для x ≥ 0 и отражаем её в левую полуплоскость. Функция непериодична, E(y) = [−1; 1], нули x = πn.
2) Строим синусоиду y = sin x; части графика, лежащие ниже оси Ox, симметрично отражаем вверх. Получаем арки над осью Ox; функция чётная, периодическая с периодом π, E(y) = [0; 1], нули x = πn, максимумы 1 при x = π/2 + πn.
2) Строим синусоиду y = sin x; части графика, лежащие ниже оси Ox, симметрично отражаем вверх. Получаем арки над осью Ox; функция чётная, периодическая с периодом π, E(y) = [0; 1], нули x = πn, максимумы 1 при x = π/2 + πn.
732. Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой I = A sin(ωt + φ), где A — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная фаза. Построить график этой функции, если:
1) A = 2, ω = 1, φ = π/4;
2) A = 1, ω = 2, φ = π/3.
1) A = 2, ω = 1, φ = π/4;
2) A = 1, ω = 2, φ = π/3.
1) I = 2 sin(t + π/4). График получается из синусоиды I = sin t растяжением вдоль оси OI в 2 раза и сдвигом вдоль оси Ot влево на π/4. Амплитуда 2, период 2π. Нули: t = −π/4 + πn; максимум I = 2 при t = π/4 + 2πn; минимум I = −2 при t = 5π/4 + 2πn; при t = 0 имеем I = 2 sin π/4 = √2.
2) I = sin(2t + π/3) = sin 2(t + π/6). График получается из синусоиды сжатием вдоль оси Ot в 2 раза (период π) и сдвигом влево на π/6. Нули: t = −π/6 + πn/2; максимум I = 1 при t = π/12 + πn; минимум I = −1 при t = 7π/12 + πn; при t = 0 имеем I = sin π/3 = √3/2.
2) I = sin(2t + π/3) = sin 2(t + π/6). График получается из синусоиды сжатием вдоль оси Ot в 2 раза (период π) и сдвигом влево на π/6. Нули: t = −π/6 + πn/2; максимум I = 1 при t = π/12 + πn; минимум I = −1 при t = 7π/12 + πn; при t = 0 имеем I = sin π/3 = √3/2.