Глава VII. § 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций — с. 208
705. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = cos (2/5) x;
2) y = sin (3/2) x;
3) y = tg (x/2);
4) y = |sin x|.
1) y = cos (2/5) x;
2) y = sin (3/2) x;
3) y = tg (x/2);
4) y = |sin x|.
Если k ≠ 0, то у функций cos kx и sin kx наименьший положительный период равен 2π/|k|, а у tg kx равен π/|k| (период f (kx) в |k| раз меньше периода f (x)).
1) k = 2/5: T = 2π : (2/5) = 5π.
2) k = 3/2: T = 2π : (3/2) = 4π/3.
3) k = 1/2: T = π : (1/2) = 2π.
4) |sin (x + π)| = |−sin x| = |sin x|, значит π — период. Если T > 0 — период, то при x = 0 имеем |sin T| = 0, т. е. T = πk, k ∈ N, поэтому T ≥ π. Наименьший период π.
Ответ: 1) 5π; 2) 4π/3; 3) 2π; 4) π.
1) k = 2/5: T = 2π : (2/5) = 5π.
2) k = 3/2: T = 2π : (3/2) = 4π/3.
3) k = 1/2: T = π : (1/2) = 2π.
4) |sin (x + π)| = |−sin x| = |sin x|, значит π — период. Если T > 0 — период, то при x = 0 имеем |sin T| = 0, т. е. T = πk, k ∈ N, поэтому T ≥ π. Наименьший период π.
Ответ: 1) 5π; 2) 4π/3; 3) 2π; 4) π.
706. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = sin x + cos x;
2) y = sin x + tg x.
1) y = sin x + cos x;
2) y = sin x + tg x.
1) sin x + cos x = √2 sin (x + π/4). Пусть T > 0 — период. Тогда при x = π/4: sin (π/2 + T) = sin (π/2) = 1, т. е. cos T = 1, T = 2πn. Наименьшее T = 2π, и оно действительно является периодом. Ответ: 2π.
2) Функция определена при x ≠ π/2 + πn. Число 2π — период, так как sin и tg имеют периоды 2π и π (2π кратно π). Пусть T > 0 — период. Тогда множество исключённых точек π/2 + πn переходит в себя при сдвиге на T, значит T = πk, k ∈ N. При нечётном k имеем f (x + πk) = −sin x + tg x ≠ sin x + tg x (например, при x = π/6 разность равна 2 sin x = 1). Значит k чётно, и T ≥ 2π. Ответ: 2π.
2) Функция определена при x ≠ π/2 + πn. Число 2π — период, так как sin и tg имеют периоды 2π и π (2π кратно π). Пусть T > 0 — период. Тогда множество исключённых точек π/2 + πn переходит в себя при сдвиге на T, значит T = πk, k ∈ N. При нечётном k имеем f (x + πk) = −sin x + tg x ≠ sin x + tg x (например, при x = π/6 разность равна 2 sin x = 1). Значит k чётно, и T ≥ 2π. Ответ: 2π.
707. Пусть функция f (x) определена на всей числовой прямой. Доказать, что:
1) f (x) + f (−x) — чётная функция;
2) f (x) − f (−x) — нечётная функция.
1) f (x) + f (−x) — чётная функция;
2) f (x) − f (−x) — нечётная функция.
Область определения обеих функций — вся числовая прямая, она симметрична относительно нуля.
1) Пусть g (x) = f (x) + f (−x). Тогда g (−x) = f (−x) + f (−(−x)) = f (−x) + f (x) = g (x). Значит g — чётная функция.
2) Пусть h (x) = f (x) − f (−x). Тогда h (−x) = f (−x) − f (x) = −(f (x) − f (−x)) = −h (x). Значит h — нечётная функция.
1) Пусть g (x) = f (x) + f (−x). Тогда g (−x) = f (−x) + f (−(−x)) = f (−x) + f (x) = g (x). Значит g — чётная функция.
2) Пусть h (x) = f (x) − f (−x). Тогда h (−x) = f (−x) − f (x) = −(f (x) − f (−x)) = −h (x). Значит h — нечётная функция.