Глава VII. § 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций — с. 204
693. Найти область определения функции:
1) y = 1/cos x;
2) y = 2/sin x;
3) y = tg (x/3);
4) y = tg 5x.
1) y = 1/cos x;
2) y = 2/sin x;
3) y = tg (x/3);
4) y = tg 5x.
Во всех случаях знаменатель не равен нулю; для тангенса аргумент не равен π/2 + πn.
1) cos x ≠ 0, т. е. x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
2) sin x ≠ 0, т. е. x ≠ πn, n ∈ Z.
3) x/3 ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ 3π/2 + 3πn, n ∈ Z.
4) 5x ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ π/10 + πn/5, n ∈ Z.
1) cos x ≠ 0, т. е. x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
2) sin x ≠ 0, т. е. x ≠ πn, n ∈ Z.
3) x/3 ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ 3π/2 + 3πn, n ∈ Z.
4) 5x ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ π/10 + πn/5, n ∈ Z.
694. Найти область определения функции:
1) y = √(sin x + 1);
2) y = √(cos x − 1);
3) y = lg sin x;
4) y = √(2 cos x − 1);
5) y = √(1 − 2 sin x);
6) y = ln cos x.
1) y = √(sin x + 1);
2) y = √(cos x − 1);
3) y = lg sin x;
4) y = √(2 cos x − 1);
5) y = √(1 − 2 sin x);
6) y = ln cos x.
1) Нужно sin x + 1 ≥ 0, т. е. sin x ≥ −1. Это верно при любом x. Ответ: x ∈ R.
2) Нужно cos x − 1 ≥ 0, т. е. cos x ≥ 1. Так как cos x ≤ 1, остаётся cos x = 1, откуда x = 2πn, n ∈ Z.
3) Нужно sin x > 0. Это выполняется при 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z.
4) Нужно 2 cos x − 1 ≥ 0, т. е. cos x ≥ 1/2. Ответ: −π/3 + 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn, n ∈ Z.
5) Нужно 1 − 2 sin x ≥ 0, т. е. sin x ≤ 1/2. На окружности это дуга от 5π/6 до 13π/6. Ответ: −7π/6 + 2πn ≤ x ≤ π/6 + 2πn, n ∈ Z (равносильно 5π/6 + 2πn ≤ x ≤ 13π/6 + 2πn).
6) Нужно cos x > 0. Ответ: −π/2 + 2πn < x < π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) Нужно cos x − 1 ≥ 0, т. е. cos x ≥ 1. Так как cos x ≤ 1, остаётся cos x = 1, откуда x = 2πn, n ∈ Z.
3) Нужно sin x > 0. Это выполняется при 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z.
4) Нужно 2 cos x − 1 ≥ 0, т. е. cos x ≥ 1/2. Ответ: −π/3 + 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn, n ∈ Z.
5) Нужно 1 − 2 sin x ≥ 0, т. е. sin x ≤ 1/2. На окружности это дуга от 5π/6 до 13π/6. Ответ: −7π/6 + 2πn ≤ x ≤ π/6 + 2πn, n ∈ Z (равносильно 5π/6 + 2πn ≤ x ≤ 13π/6 + 2πn).
6) Нужно cos x > 0. Ответ: −π/2 + 2πn < x < π/2 + 2πn, n ∈ Z.
695. Найти область определения функции:
1) y = 1/(2 sin² x − sin x);
2) y = 2/(cos² x − sin² x);
3) y = 1/(sin x − sin 3x);
4) y = 1/(cos³ x + cos x).
1) y = 1/(2 sin² x − sin x);
2) y = 2/(cos² x − sin² x);
3) y = 1/(sin x − sin 3x);
4) y = 1/(cos³ x + cos x).
Знаменатель не должен обращаться в нуль.
1) 2 sin² x − sin x = sin x (2 sin x − 1) ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1/2. Ответ: x ≠ πn, x ≠ π/6 + 2πn, x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) cos² x − sin² x = cos 2x ≠ 0, 2x ≠ π/2 + πn. Ответ: x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z.
3) sin x − sin 3x = 2 sin (−x) cos 2x = −2 sin x cos 2x ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0. Ответ: x ≠ πn и x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) cos³ x + cos x = cos x (cos² x + 1) ≠ 0. Так как cos² x + 1 > 0, остаётся cos x ≠ 0. Ответ: x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
1) 2 sin² x − sin x = sin x (2 sin x − 1) ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1/2. Ответ: x ≠ πn, x ≠ π/6 + 2πn, x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) cos² x − sin² x = cos 2x ≠ 0, 2x ≠ π/2 + πn. Ответ: x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z.
3) sin x − sin 3x = 2 sin (−x) cos 2x = −2 sin x cos 2x ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0. Ответ: x ≠ πn и x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) cos³ x + cos x = cos x (cos² x + 1) ≠ 0. Так как cos² x + 1 > 0, остаётся cos x ≠ 0. Ответ: x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
696. Найти множество значений функции:
1) y = 2 sin² x − cos 2x;
2) y = 1 − 8 cos² x sin² x;
3) y = (1 + 8 cos² x)/4;
4) y = 10 − 9 sin² 3x;
5) y = 1 − 2 |cos x|;
6) y = sin x + sin (x + π/3).
1) y = 2 sin² x − cos 2x;
2) y = 1 − 8 cos² x sin² x;
3) y = (1 + 8 cos² x)/4;
4) y = 10 − 9 sin² 3x;
5) y = 1 − 2 |cos x|;
6) y = sin x + sin (x + π/3).
1) cos 2x = 1 − 2 sin² x, поэтому y = 2 sin² x − 1 + 2 sin² x = 4 sin² x − 1. При 0 ≤ sin² x ≤ 1 получаем −1 ≤ y ≤ 3. Ответ: [−1; 3].
2) 8 cos² x sin² x = 2 (2 sin x cos x)² = 2 sin² 2x, поэтому y = 1 − 2 sin² 2x. При 0 ≤ sin² 2x ≤ 1 получаем −1 ≤ y ≤ 1. Ответ: [−1; 1].
3) y = 1/4 + 2 cos² x. При 0 ≤ cos² x ≤ 1: 1/4 ≤ y ≤ 9/4. Ответ: [1/4; 9/4].
4) 0 ≤ sin² 3x ≤ 1, значит 0 ≤ 9 sin² 3x ≤ 9 и 1 ≤ y ≤ 10. Ответ: [1; 10].
5) 0 ≤ |cos x| ≤ 1, значит −2 ≤ −2 |cos x| ≤ 0 и −1 ≤ y ≤ 1. Ответ: [−1; 1].
6) По формуле суммы синусов y = 2 sin (x + π/6) cos (π/6) = √3 sin (x + π/6). Так как −1 ≤ sin (x + π/6) ≤ 1, то −√3 ≤ y ≤ √3. Ответ: [−√3; √3].
2) 8 cos² x sin² x = 2 (2 sin x cos x)² = 2 sin² 2x, поэтому y = 1 − 2 sin² 2x. При 0 ≤ sin² 2x ≤ 1 получаем −1 ≤ y ≤ 1. Ответ: [−1; 1].
3) y = 1/4 + 2 cos² x. При 0 ≤ cos² x ≤ 1: 1/4 ≤ y ≤ 9/4. Ответ: [1/4; 9/4].
4) 0 ≤ sin² 3x ≤ 1, значит 0 ≤ 9 sin² 3x ≤ 9 и 1 ≤ y ≤ 10. Ответ: [1; 10].
5) 0 ≤ |cos x| ≤ 1, значит −2 ≤ −2 |cos x| ≤ 0 и −1 ≤ y ≤ 1. Ответ: [−1; 1].
6) По формуле суммы синусов y = 2 sin (x + π/6) cos (π/6) = √3 sin (x + π/6). Так как −1 ≤ sin (x + π/6) ≤ 1, то −√3 ≤ y ≤ √3. Ответ: [−√3; √3].
697. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3 cos 2x − 4 sin 2x.
Выражение вида a cos t + b sin t равно √(a² + b²) cos (t − φ), где cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²). Здесь √(3² + 4²) = 5, поэтому y = 5 (3/5 cos 2x − 4/5 sin 2x) = 5 cos (2x + φ), где cos φ = 3/5, sin φ = 4/5. Так как −1 ≤ cos (2x + φ) ≤ 1, то −5 ≤ y ≤ 5, причём оба значения достигаются.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение −5.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение −5.
698. Найти множество значений функции y = sin x − 5 cos x.
√(1² + 5²) = √26. Тогда y = √26 (1/√26 · sin x − 5/√26 · cos x) = √26 sin (x − φ), где cos φ = 1/√26, sin φ = 5/√26. Так как −1 ≤ sin (x − φ) ≤ 1 и все значения достигаются, то −√26 ≤ y ≤ √26.
Ответ: [−√26; √26].
Ответ: [−√26; √26].
699. Найти множество значений функции y = 10 cos² x − 6 sin x cos x + 2 sin² x.
Применим формулы cos² x = (1 + cos 2x)/2, sin² x = (1 − cos 2x)/2, sin x cos x = (sin 2x)/2:
y = 5 (1 + cos 2x) − 3 sin 2x + (1 − cos 2x) = 6 + 4 cos 2x − 3 sin 2x.
Выражение 4 cos 2x − 3 sin 2x = 5 cos (2x + φ), где cos φ = 4/5, sin φ = 3/5 (√(4² + 3²) = 5). Оно принимает все значения от −5 до 5. Значит 6 − 5 ≤ y ≤ 6 + 5.
Ответ: [1; 11].
y = 5 (1 + cos 2x) − 3 sin 2x + (1 − cos 2x) = 6 + 4 cos 2x − 3 sin 2x.
Выражение 4 cos 2x − 3 sin 2x = 5 cos (2x + φ), где cos φ = 4/5, sin φ = 3/5 (√(4² + 3²) = 5). Оно принимает все значения от −5 до 5. Значит 6 − 5 ≤ y ≤ 6 + 5.
Ответ: [1; 11].