Глава VI. Упражнения к главе VI. Проверь себя! — с. 200
687. При каких значениях a уравнение
sin^4 x + cos^4 x = a
имеет корни? Найти эти корни.
sin^4 x + cos^4 x = a
имеет корни? Найти эти корни.
sin^4 x + cos^4 x = (sin² x + cos² x)² − 2 sin² x cos² x = 1 − (1/2) sin² 2x = 1 − (1 − cos 4x)/4 = (3 + cos 4x)/4. Уравнение принимает вид cos 4x = 4a − 3. Оно имеет корни при |4a − 3| ≤ 1, то есть при 1/2 ≤ a ≤ 1. Тогда 4x = ±arccos(4a − 3) + 2πn.
Ответ: при 1/2 ≤ a ≤ 1 корни x = ±(1/4) arccos(4a − 3) + πn/2, n ∈ Z; при остальных a корней нет.
Ответ: при 1/2 ≤ a ≤ 1 корни x = ±(1/4) arccos(4a − 3) + πn/2, n ∈ Z; при остальных a корней нет.
688. Найти все значения a, при которых уравнение
sin^10 x + cos^10 x = a
имеет корни.
sin^10 x + cos^10 x = a
имеет корни.
Пусть u = sin² x, тогда u принимает все значения из [0; 1], а cos² x = 1 − u. Рассмотрим функцию f(u) = u^5 + (1 − u)^5 на отрезке [0; 1]. Её производная f′(u) = 5u^4 − 5(1 − u)^4 отрицательна при u < 1/2 и положительна при u > 1/2, поэтому наименьшее значение достигается при u = 1/2: f(1/2) = 2·(1/32) = 1/16. Наибольшее значение достигается на концах: f(0) = f(1) = 1. Функция непрерывна, значит принимает все значения от 1/16 до 1.
Ответ: 1/16 ≤ a ≤ 1.
Ответ: 1/16 ≤ a ≤ 1.
689. Найти все значения a, при которых уравнение
sin 2x − 2a√2 (sin x + cos x) + 1 − 6a² = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
sin 2x − 2a√2 (sin x + cos x) + 1 − 6a² = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
Пусть t = sin x + cos x = √2 sin(x + π/4); тогда |t| ≤ √2 и t² = 1 + sin 2x, то есть sin 2x = t² − 1. Уравнение принимает вид t² − 1 − 2√2 a t + 1 − 6a² = 0, то есть t² − 2√2 a t − 6a² = 0. Дискриминант (делённый на 4): 2a² + 6a² = 8a², поэтому t = √2 a ± 2√2 |a|, откуда t = 3√2 a или t = −√2 a (проверка: (t − 3√2 a)(t + √2 a) = t² − 2√2 a t − 6a²).
Случай t = 3√2 a: sin(x + π/4) = 3a, возможно при |a| ≤ 1/3, x = −π/4 + (−1)^n arcsin 3a + πn.
Случай t = −√2 a: sin(x + π/4) = −a, возможно при |a| ≤ 1, x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn.
Ответ: при |a| ≤ 1/3 корни x = −π/4 + (−1)^n arcsin 3a + πn и x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn, n ∈ Z; при 1/3 < |a| ≤ 1 корни x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn, n ∈ Z; при |a| > 1 корней нет. Корни существуют при |a| ≤ 1.
Случай t = 3√2 a: sin(x + π/4) = 3a, возможно при |a| ≤ 1/3, x = −π/4 + (−1)^n arcsin 3a + πn.
Случай t = −√2 a: sin(x + π/4) = −a, возможно при |a| ≤ 1, x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn.
Ответ: при |a| ≤ 1/3 корни x = −π/4 + (−1)^n arcsin 3a + πn и x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn, n ∈ Z; при 1/3 < |a| ≤ 1 корни x = −π/4 + (−1)^(n+1) arcsin a + πn, n ∈ Z; при |a| > 1 корней нет. Корни существуют при |a| ≤ 1.
690. Решить неравенство:
1) 2cos² x + sin x − 1 < 0;
2) 2 sin² x − 5cos x + 1 > 0.
1) 2cos² x + sin x − 1 < 0;
2) 2 sin² x − 5cos x + 1 > 0.
1) Заменяем cos² x = 1 − sin² x: 2 − 2 sin² x + sin x − 1 < 0, 2 sin² x − sin x − 1 > 0, (2 sin x + 1)(sin x − 1) > 0. Так как sin x − 1 ≤ 0, нужно sin x − 1 < 0 и 2 sin x + 1 < 0, то есть sin x < −1/2. Это дуга от −5π/6 до −π/6.
Ответ: −5π/6 + 2πn < x < −π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) Заменяем sin² x = 1 − cos² x: 2 − 2cos² x − 5cos x + 1 > 0, 2cos² x + 5cos x − 3 < 0, (2cos x − 1)(cos x + 3) < 0. Так как cos x + 3 > 0, получаем cos x < 1/2.
Ответ: π/3 + 2πn < x < 5π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: −5π/6 + 2πn < x < −π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) Заменяем sin² x = 1 − cos² x: 2 − 2cos² x − 5cos x + 1 > 0, 2cos² x + 5cos x − 3 < 0, (2cos x − 1)(cos x + 3) < 0. Так как cos x + 3 > 0, получаем cos x < 1/2.
Ответ: π/3 + 2πn < x < 5π/3 + 2πn, n ∈ Z.