Упражнения 674–686 — Глава VI. Упражнения к главе VI. Проверь себя!

1) sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos x cos 3x = (cos 2x + cos 4x)/2. Уравнение: (1 − 2cos 2x − cos 4x)/2 = 1/4, 1 − 2cos 2x − cos 4x = 1/2. Подставим cos 4x = 2cos² 2x − 1: 3/2 − 2cos 2x − 2cos² 2x = 0, 4cos² 2x + 4cos 2x − 3 = 0, cos 2x = (−4 ± 8)/8, cos 2x = 1/2 или cos 2x = −3/2 (не подходит). 2x = ±π/3 + 2πn.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
2) sin 3x = 3 sin x − 4 sin³ x, значит −4 sin³ x = 0, sin x = 0.
Ответ: x = πn, n ∈ Z.
3) 3(1 − 2 sin² x) − 7 sin x − 4 = 0, 6 sin² x + 7 sin x + 1 = 0, D = 49 − 24 = 25, sin x = (−7 ± 5)/12, sin x = −1/6 или sin x = −1.
Ответ: x = −π/2 + 2πn; x = (−1)^(k+1) arcsin(1/6) + πk; n, k ∈ Z.
4) 1 + cos x + 2cos² x − 1 = 0, cos x (2cos x + 1) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±2π/3 + 2πk; n, k ∈ Z.
5) 10 sin x cos x + 4cos x (cos² x − 2) = 0, 2cos x (5 sin x + 2cos² x − 4) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. Иначе 5 sin x + 2 − 2 sin² x − 4 = 0, 2 sin² x − 5 sin x + 2 = 0, sin x = (5 ± 3)/4, sin x = 2 (не подходит) или sin x = 1/2: x = (−1)^k π/6 + πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = (−1)^k π/6 + πk; n, k ∈ Z.

1) sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x, уравнение: sin 2x (2cos x + 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πk.
Ответ: x = πn/2; x = ±2π/3 + 2πk; n, k ∈ Z.
2) cos x − cos 3x = 2 sin 2x sin x, cos 2x − cos 4x = 2 sin 3x sin x. Уравнение: sin x (sin 2x − sin 3x) = 0.
sin x = 0: x = πn.
sin 3x − sin 2x = 2 cos(5x/2) sin(x/2) = 0. sin(x/2) = 0 даёт x = 2πm (входит в x = πn). cos(5x/2) = 0: 5x/2 = π/2 + πk, x = π/5 + 2πk/5.
Ответ: x = πn; x = π/5 + 2πk/5; n, k ∈ Z (при 2k + 1, кратном 5, вторая серия совпадает с первой).

1) sin(arcsin a) = a при |a| ≤ 1. Ответ: 1/3.
2) Ответ: −1/4.
3) sin(π − α) = sin α, поэтому sin(π − arcsin(3/4)) = 3/4. Ответ: 3/4.
4) sin(π + α) = −sin α, поэтому sin(π + arcsin(2/3)) = −2/3. Ответ: −2/3.

1) tg(π + α) = tg α, поэтому tg(π + arctg(5/4)) = 5/4. Ответ: 5/4.
2) ctg(π/2 − α) = tg α, поэтому ctg(π/2 − arctg 2) = tg(arctg 2) = 2. Ответ: 2.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1) sin 2x = 2 sin x cos x, дробь равна 2cos x при sin x ≠ 0. Из cos x = 0: x = π/2 + πn, и sin x = ±1 ≠ 0.
Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2) sin 3x = sin x (3 − 4 sin² x), дробь равна 3 − 4 sin² x при sin x ≠ 0. Из sin² x = 3/4: sin x = ±√3/2.
Ответ: x = ±π/3 + πn, n ∈ Z.
3) cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2. Знаменатель cos x ≠ 0: при cos 2x = 0 имеем cos² x = 1/2, условие выполнено.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) cos 3x = cos x (4cos² x − 3), дробь равна 4cos² x − 3 при cos x ≠ 0. Из cos² x = 3/4: cos x = ±√3/2.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
5) Числитель sin x = 0 при x = πn, но тогда sin 5x = 0 и знаменатель обращается в нуль.
Ответ: корней нет.
6) Числитель cos x = 0 при x = π/2 + πn, тогда cos 7x = cos(7π/2 + 7πn) = 0, знаменатель обращается в нуль.
Ответ: корней нет.

Равенство произведения −1 возможно, только когда оба множителя по модулю равны 1 и имеют разные знаки.
1) Случаи: cos x = 1, sin 5x = −1 или cos x = −1, sin 5x = 1. При cos x = ±1 имеем x = πn, и sin 5x = sin 5πn = 0, что не равно ±1.
Ответ: корней нет.
2) Случаи: sin x = 1, cos 3x = −1 или sin x = −1, cos 3x = 1. При sin x = ±1 имеем x = π/2 + πn, и cos 3x = cos(3π/2 + 3πn) = 0, что не равно ±1.
Ответ: корней нет.

1) cos 3x = 4cos³ x − 3cos x, поэтому 2cos 3x − cos x = 8cos³ x − 7cos x. Уравнение: 8cos³ x − 7cos x = 3 sin x. Если cos x = 0, то 0 = ±3 — невозможно. Делим на cos³ x и вводим t = tg x, используя 1/cos² x = 1 + t²: 8 − 7(1 + t²) = 3t(1 + t²), 1 − 7t² = 3t + 3t³, 3t³ + 7t² + 3t − 1 = 0. Корень t = −1: (t + 1)(3t² + 4t − 1) = 0. Из 3t² + 4t − 1 = 0: t = (−2 ± √7)/3.
Ответ: x = −π/4 + πn; x = arctg((−2 + √7)/3) + πk; x = arctg((−2 − √7)/3) + πm; n, k, m ∈ Z.
2) cos 3x − sin 3x = 4(cos³ x + sin³ x) − 3(cos x + sin x) = (cos x + sin x)(4(1 − sin x cos x) − 3) = (cos x + sin x)(1 − 4 sin x cos x), cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x). Уравнение: (cos x + sin x)(1 − 4 sin x cos x − cos x + sin x) = 0.
cos x + sin x = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn.
Второй множитель: пусть u = sin x − cos x, тогда sin x cos x = (1 − u²)/2 и 1 − 2(1 − u²) + u = 0, 2u² + u − 1 = 0, u = 1/2 или u = −1. Так как u = √2 sin(x − π/4):
u = −1: sin(x − π/4) = −√2/2, x − π/4 = −π/4 + 2πk (x = 2πk) или x − π/4 = −3π/4 + 2πk (x = −π/2 + 2πk).
u = 1/2: sin(x − π/4) = √2/4, x = π/4 + (−1)^m arcsin(√2/4) + πm.
Ответ: x = −π/4 + πn; x = 2πk; x = −π/2 + 2πk; x = π/4 + (−1)^m arcsin(√2/4) + πm; n, k, m ∈ Z.

ОДЗ: cos x ≠ 0. Пусть t = tg x: sin 2x = 2t/(1 + t²), cos 2x = (1 − t²)/(1 + t²).
1) (2t + 1 − t²)/(1 + t²) = 2t + 1, 2t + 1 − t² = (2t + 1)(1 + t²) = 2t + 1 + 2t³ + t², 2t³ + 2t² = 0, 2t²(t + 1) = 0, t = 0 или t = −1.
Ответ: x = πn; x = −π/4 + πk; n, k ∈ Z.
2) (2t − 1 + t²)/(1 + t²) = t, t² + 2t − 1 = t + t³, t³ − t² − t + 1 = 0, (t − 1)(t² − 1) = 0, (t − 1)²(t + 1) = 0, t = 1 или t = −1.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

Применяем формулу понижения степени: (1 + cos 2x)/2 + (1 + cos 4x)/2 + (1 + cos 6x)/2 = 3/2, откуда cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0. Так как cos 6x + cos 2x = 2cos 4x cos 2x, получаем cos 4x (2cos 2x + 1) = 0.
cos 4x = 0: 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4.
cos 2x = −1/2: 2x = ±2π/3 + 2πk, x = ±π/3 + πk.
Ответ: x = π/8 + πn/4; x = ±π/3 + πk; n, k ∈ Z.

Уравнение равносильно системе: −4cos x cos 2x = 7 sin 2x, 7 sin 2x ≥ 0. Подкоренное выражение в левой части при этом тоже неотрицательно.
После подстановки sin 2x = 2 sin x cos x: −4cos x cos 2x = 14 sin x cos x, cos x (2cos 2x + 7 sin x) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πn, тогда обе части равны 0 (sin 2x = sin(π + 2πn) = 0), и x подходит.
2cos 2x + 7 sin x = 0: 2(1 − 2 sin² x) + 7 sin x = 0, 4 sin² x − 7 sin x − 2 = 0, D = 49 + 32 = 81, sin x = (7 ± 9)/8, sin x = 2 (не подходит) или sin x = −1/4. Условие sin 2x = 2 sin x cos x ≥ 0 при sin x < 0 требует cos x < 0 (третья четверть): x = π + arcsin(1/4) + 2πk. Проверка: cos 2x = 1 − 2/16 = 7/8 > 0, и −4cos x cos 2x > 0 при cos x < 0.
Ответ: x = π/2 + πn; x = π + arcsin(1/4) + 2πk = arcsin(1/4) + π(2k + 1); n, k ∈ Z.
Оговорка: в ответах учебника указана только серия x = arcsin(1/4) + π(2n + 1); значения x = π/2 + πn обращают обе части уравнения в 0, поэтому они также являются корнями.

Рассмотрим два случая.
1) cos x ≥ 0: cos x − cos 3x = sin 2x, 2 sin 2x sin x = sin 2x, sin 2x (2 sin x − 1) = 0.
sin 2x = 0: x = πn/2; условию cos x ≥ 0 удовлетворяют x = 2πk и x = π/2 + πk (cos x = 0).
sin x = 1/2 при cos x ≥ 0: x = π/6 + 2πk.
2) cos x < 0: −cos x − cos 3x = sin 2x, −2cos 2x cos x = 2 sin x cos x, cos x (cos 2x + sin x) = 0. Так как cos x ≠ 0, cos 2x + sin x = 0, 2 sin² x − sin x − 1 = 0, sin x = 1 или sin x = −1/2. Значение sin x = 1 даёт cos x = 0 — не подходит. При sin x = −1/2 и cos x < 0: x = −5π/6 + 2πk.
Серии x = π/6 + 2πk и x = −5π/6 + 2πk объединяются в x = π/6 + πk.
Ответ: x = 2πn; x = π/2 + πn; x = π/6 + πn; n ∈ Z.

1) Первое уравнение: sin 2y = 1, 2y = π/2 + 2πk, y = π/4 + πk. Из второго уравнения sin 2x = −sin 2y = −1, 2x = −π/2 + 2πn, x = −π/4 + πn.
Ответ: x = −π/4 + πn, y = π/4 + πk; n, k ∈ Z.
2) Применим формулы суммы и разности: 2 sin((x + y)/2) cos((x − y)/2) = 1 и −2 sin((x + y)/2) sin((x − y)/2) = √3. Обе левые части отличны от нуля, поэтому делим второе уравнение на первое: −tg((x − y)/2) = √3, tg((x − y)/2) = −√3, (x − y)/2 = −π/3 + πm. Тогда cos((x − y)/2) = (−1)^m/2, и из первого уравнения sin((x + y)/2) = (−1)^m, то есть (x + y)/2 = (−1)^m π/2 + 2πp.
При чётном m: (x − y)/2 = −π/3 + 2πs, (x + y)/2 = π/2 + 2πp, откуда x = π/6 + 2π(s + p), y = 5π/6 + 2π(p − s).
При нечётном m: (x − y)/2 = 2π/3 + 2πs, (x + y)/2 = −π/2 + 2πp, откуда x = π/6 + 2π(s + p), y = −7π/6 + 2π(p − s) = 5π/6 + 2π(p − s − 1).
В обоих случаях x = π/6 + 2πn, y = 5π/6 + 2πk, где n, k — произвольные целые числа. Проверка: sin(π/6) + sin(5π/6) = 1, cos(π/6) − cos(5π/6) = √3.
Ответ: x = π/6 + 2πn, y = 5π/6 + 2πk; n, k ∈ Z.

1) ОДЗ: sin y ≠ 0, cos y ≠ 0. Выразим sin x = (5/3) sin y, cos x = (1/3) cos y. Подставим в sin² x + cos² x = 1: (25/9) sin² y + (1/9) cos² y = 1, 25 sin² y + cos² y = 9, 24 sin² y = 8, sin² y = 1/3, cos² y = 2/3. Тогда sin² x = 25/27, cos² x = 2/27. Знаки sin x и sin y совпадают, знаки cos x и cos y совпадают, то есть x и y лежат в одной четверти (с точностью до 2π). Пусть y₀ = arctg(1/√2), x₀ = arctg(5/√2) — углы первой четверти (sin y₀ = 1/√3, cos y₀ = √2/√3, sin x₀ = 5/(3√3), cos x₀ = √2/(3√3)), и они удовлетворяют обоим уравнениям. Остальные решения получаются заменой (x, y) на (−x, −y) и сдвигом обоих углов на π (при этом отношения не меняются).
Ответ: x = ±arctg(5/√2) + πk, y = ±arctg(1/√2) + πm (знаки одинаковые; числа k и m одной чётности); k, m ∈ Z.
2) Сложим уравнения: sin x cos y + cos x sin y = 0, sin(x + y) = 0, x + y = πn. Вычтем: sin x cos y − cos x sin y = 1, sin(x − y) = 1, x − y = π/2 + 2πk. Тогда x = π/4 + πn/2 + πk, y = −π/4 + πn/2 − πk. Система sin(x + y) = 0, sin(x − y) = 1 равносильна исходной (получена сложением и вычитанием уравнений).
Ответ: x = π/4 + πn/2 + πk, y = −π/4 + πn/2 − πk; n, k ∈ Z.