Глава VII. § 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций — с. 203
691. Найти область определения функции:
1) y = sin 2x;
2) y = cos (x/2);
3) y = cos (1/x);
4) y = sin (2/x);
5) y = sin √x;
6) y = cos √((x − 1)/(x + 1)).
1) y = sin 2x;
2) y = cos (x/2);
3) y = cos (1/x);
4) y = sin (2/x);
5) y = sin √x;
6) y = cos √((x − 1)/(x + 1)).
Синус и косинус определены при любом значении аргумента, поэтому нужно потребовать лишь, чтобы имел смысл сам аргумент.
1) Аргумент 2x имеет смысл при любом x. Ответ: x ∈ R.
2) Аргумент x/2 имеет смысл при любом x. Ответ: x ∈ R.
3) Аргумент 1/x имеет смысл при x ≠ 0. Ответ: x ≠ 0.
4) Аргумент 2/x имеет смысл при x ≠ 0. Ответ: x ≠ 0.
5) Корень √x существует при x ≥ 0. Ответ: x ≥ 0, т. е. [0; +∞).
6) Нужно (x − 1)/(x + 1) ≥ 0 (знаменатель при этом не равен нулю). Метод интервалов: нуль числителя x = 1 (включается), нуль знаменателя x = −1 (не включается). Дробь неотрицательна при x < −1 и при x ≥ 1. Ответ: (−∞; −1) ∪ [1; +∞).
1) Аргумент 2x имеет смысл при любом x. Ответ: x ∈ R.
2) Аргумент x/2 имеет смысл при любом x. Ответ: x ∈ R.
3) Аргумент 1/x имеет смысл при x ≠ 0. Ответ: x ≠ 0.
4) Аргумент 2/x имеет смысл при x ≠ 0. Ответ: x ≠ 0.
5) Корень √x существует при x ≥ 0. Ответ: x ≥ 0, т. е. [0; +∞).
6) Нужно (x − 1)/(x + 1) ≥ 0 (знаменатель при этом не равен нулю). Метод интервалов: нуль числителя x = 1 (включается), нуль знаменателя x = −1 (не включается). Дробь неотрицательна при x < −1 и при x ≥ 1. Ответ: (−∞; −1) ∪ [1; +∞).
692. Найти множество значений функции:
1) y = 1 + sin x;
2) y = 1 − cos x;
3) y = 2 sin x + 3;
4) y = 1 − 4 cos 2x;
5) y = sin 2x cos 2x + 2;
6) y = (1/2) sin x cos x − 1.
1) y = 1 + sin x;
2) y = 1 − cos x;
3) y = 2 sin x + 3;
4) y = 1 − 4 cos 2x;
5) y = sin 2x cos 2x + 2;
6) y = (1/2) sin x cos x − 1.
Используем −1 ≤ sin t ≤ 1 и −1 ≤ cos t ≤ 1 при любом t, а также свойства неравенств.
1) −1 ≤ sin x ≤ 1, прибавляем 1: 0 ≤ y ≤ 2. Ответ: [0; 2].
2) −1 ≤ cos x ≤ 1, значит −1 ≤ −cos x ≤ 1, прибавляем 1: 0 ≤ y ≤ 2. Ответ: [0; 2].
3) −2 ≤ 2 sin x ≤ 2, прибавляем 3: 1 ≤ y ≤ 5. Ответ: [1; 5].
4) −1 ≤ cos 2x ≤ 1, значит −4 ≤ 4 cos 2x ≤ 4 и −4 ≤ −4 cos 2x ≤ 4; прибавляем 1: −3 ≤ y ≤ 5. Ответ: [−3; 5].
5) sin 2x cos 2x = (1/2) sin 4x, поэтому y = (1/2) sin 4x + 2. Так как −1/2 ≤ (1/2) sin 4x ≤ 1/2, то 3/2 ≤ y ≤ 5/2. Ответ: [1,5; 2,5].
6) sin x cos x = (1/2) sin 2x, поэтому y = (1/4) sin 2x − 1. Так как −1/4 ≤ (1/4) sin 2x ≤ 1/4, то −1,25 ≤ y ≤ −0,75. Ответ: [−1,25; −0,75].
1) −1 ≤ sin x ≤ 1, прибавляем 1: 0 ≤ y ≤ 2. Ответ: [0; 2].
2) −1 ≤ cos x ≤ 1, значит −1 ≤ −cos x ≤ 1, прибавляем 1: 0 ≤ y ≤ 2. Ответ: [0; 2].
3) −2 ≤ 2 sin x ≤ 2, прибавляем 3: 1 ≤ y ≤ 5. Ответ: [1; 5].
4) −1 ≤ cos 2x ≤ 1, значит −4 ≤ 4 cos 2x ≤ 4 и −4 ≤ −4 cos 2x ≤ 4; прибавляем 1: −3 ≤ y ≤ 5. Ответ: [−3; 5].
5) sin 2x cos 2x = (1/2) sin 4x, поэтому y = (1/2) sin 4x + 2. Так как −1/2 ≤ (1/2) sin 4x ≤ 1/2, то 3/2 ≤ y ≤ 5/2. Ответ: [1,5; 2,5].
6) sin x cos x = (1/2) sin 2x, поэтому y = (1/4) sin 2x − 1. Так как −1/4 ≤ (1/4) sin 2x ≤ 1/4, то −1,25 ≤ y ≤ −0,75. Ответ: [−1,25; −0,75].