Глава VII. § 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций — с. 207
700. Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:
1) y = cos 3x;
2) y = 2 sin 4x;
3) y = (x/2) tg² x;
4) y = x cos (x/2);
5) y = x sin x;
6) y = 2 sin² x.
1) y = cos 3x;
2) y = 2 sin 4x;
3) y = (x/2) tg² x;
4) y = x cos (x/2);
5) y = x sin x;
6) y = 2 sin² x.
Во всех случаях область определения симметрична относительно нуля. Находим y(−x), используя чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса и функции y = x.
1) y(−x) = cos (−3x) = cos 3x = y(x). Функция чётная.
2) y(−x) = 2 sin (−4x) = −2 sin 4x = −y(x). Функция нечётная.
3) Область определения: x ≠ π/2 + πn. y(−x) = (−x/2) tg² (−x) = (−x/2) tg² x = −y(x). Функция нечётная.
4) y(−x) = (−x) cos (−x/2) = −x cos (x/2) = −y(x). Функция нечётная.
5) y(−x) = (−x) sin (−x) = (−x)(−sin x) = x sin x = y(x). Функция чётная.
6) y(−x) = 2 sin² (−x) = 2 (−sin x)² = 2 sin² x = y(x). Функция чётная.
1) y(−x) = cos (−3x) = cos 3x = y(x). Функция чётная.
2) y(−x) = 2 sin (−4x) = −2 sin 4x = −y(x). Функция нечётная.
3) Область определения: x ≠ π/2 + πn. y(−x) = (−x/2) tg² (−x) = (−x/2) tg² x = −y(x). Функция нечётная.
4) y(−x) = (−x) cos (−x/2) = −x cos (x/2) = −y(x). Функция нечётная.
5) y(−x) = (−x) sin (−x) = (−x)(−sin x) = x sin x = y(x). Функция чётная.
6) y(−x) = 2 sin² (−x) = 2 (−sin x)² = 2 sin² x = y(x). Функция чётная.
701. Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:
1) y = sin x + x;
2) y = cos (x − π/2) − x²;
3) y = 3 − cos (π/2 + x) sin (π − x);
4) y = (1/2) cos 2x sin (3π/2 − 2x) + 3;
5) y = sin x/x + sin x cos x;
6) y = x² + (1 + cos x)/2.
1) y = sin x + x;
2) y = cos (x − π/2) − x²;
3) y = 3 − cos (π/2 + x) sin (π − x);
4) y = (1/2) cos 2x sin (3π/2 − 2x) + 3;
5) y = sin x/x + sin x cos x;
6) y = x² + (1 + cos x)/2.
1) y(−x) = sin (−x) + (−x) = −(sin x + x) = −y(x). Функция нечётная.
2) По формуле приведения cos (x − π/2) = sin x, поэтому y = sin x − x². y(−x) = −sin x − x². Это не равно ни y(x), ни −y(x) (например, при x = π/2: y = 1 − π²/4, y(−π/2) = −1 − π²/4). Функция ни чётная, ни нечётная.
3) cos (π/2 + x) = −sin x, sin (π − x) = sin x, поэтому y = 3 + sin² x. y(−x) = 3 + sin² (−x) = 3 + sin² x = y(x). Функция чётная.
4) sin (3π/2 − 2x) = −cos 2x, поэтому y = −(1/2) cos² 2x + 3. y(−x) = −(1/2) cos² (−2x) + 3 = y(x). Функция чётная.
5) Область определения x ≠ 0 симметрична. sin x/x — чётная функция, sin x cos x — нечётная. y(−x) = sin x/x − sin x cos x. Это не равно y(x) (разность y(x) − y(−x) = 2 sin x cos x ≠ 0 при x = π/4) и не равно −y(x) (сумма y(x) + y(−x) = 2 sin x/x ≠ 0 при x = π/2). Функция ни чётная, ни нечётная.
6) y(−x) = (−x)² + (1 + cos (−x))/2 = x² + (1 + cos x)/2 = y(x). Функция чётная.
2) По формуле приведения cos (x − π/2) = sin x, поэтому y = sin x − x². y(−x) = −sin x − x². Это не равно ни y(x), ни −y(x) (например, при x = π/2: y = 1 − π²/4, y(−π/2) = −1 − π²/4). Функция ни чётная, ни нечётная.
3) cos (π/2 + x) = −sin x, sin (π − x) = sin x, поэтому y = 3 + sin² x. y(−x) = 3 + sin² (−x) = 3 + sin² x = y(x). Функция чётная.
4) sin (3π/2 − 2x) = −cos 2x, поэтому y = −(1/2) cos² 2x + 3. y(−x) = −(1/2) cos² (−2x) + 3 = y(x). Функция чётная.
5) Область определения x ≠ 0 симметрична. sin x/x — чётная функция, sin x cos x — нечётная. y(−x) = sin x/x − sin x cos x. Это не равно y(x) (разность y(x) − y(−x) = 2 sin x cos x ≠ 0 при x = π/4) и не равно −y(x) (сумма y(x) + y(−x) = 2 sin x/x ≠ 0 при x = π/2). Функция ни чётная, ни нечётная.
6) y(−x) = (−x)² + (1 + cos (−x))/2 = x² + (1 + cos x)/2 = y(x). Функция чётная.
702. Доказать, что функция y = f (x) является периодической с периодом 2π, если:
1) y = cos x − 1;
2) y = sin x + 1;
3) y = 3 sin x;
4) y = (cos x)/2;
5) y = sin (x − π/4);
6) y = cos (x + 2π/3).
1) y = cos x − 1;
2) y = sin x + 1;
3) y = 3 sin x;
4) y = (cos x)/2;
5) y = sin (x − π/4);
6) y = cos (x + 2π/3).
Все функции определены на R. Достаточно показать, что f (x + 2π) = f (x) = f (x − 2π) для любого x. Используем sin (t ± 2π) = sin t, cos (t ± 2π) = cos t.
1) f (x ± 2π) = cos (x ± 2π) − 1 = cos x − 1 = f (x).
2) f (x ± 2π) = sin (x ± 2π) + 1 = sin x + 1 = f (x).
3) f (x ± 2π) = 3 sin (x ± 2π) = 3 sin x = f (x).
4) f (x ± 2π) = cos (x ± 2π)/2 = (cos x)/2 = f (x).
5) f (x ± 2π) = sin (x ± 2π − π/4) = sin ((x − π/4) ± 2π) = sin (x − π/4) = f (x).
6) f (x ± 2π) = cos ((x + 2π/3) ± 2π) = cos (x + 2π/3) = f (x).
Значит, число 2π — период каждой из функций.
1) f (x ± 2π) = cos (x ± 2π) − 1 = cos x − 1 = f (x).
2) f (x ± 2π) = sin (x ± 2π) + 1 = sin x + 1 = f (x).
3) f (x ± 2π) = 3 sin (x ± 2π) = 3 sin x = f (x).
4) f (x ± 2π) = cos (x ± 2π)/2 = (cos x)/2 = f (x).
5) f (x ± 2π) = sin (x ± 2π − π/4) = sin ((x − π/4) ± 2π) = sin (x − π/4) = f (x).
6) f (x ± 2π) = cos ((x + 2π/3) ± 2π) = cos (x + 2π/3) = f (x).
Значит, число 2π — период каждой из функций.
703. Доказать, что функция y = f (x) является периодической с периодом T, если:
1) y = sin 2x, T = π;
2) y = cos (x/2), T = 4π;
3) y = tg 2x, T = π/2;
4) y = sin (4x/5), T = 5π/2.
1) y = sin 2x, T = π;
2) y = cos (x/2), T = 4π;
3) y = tg 2x, T = π/2;
4) y = sin (4x/5), T = 5π/2.
Нужно показать, что f (x + T) = f (x) = f (x − T) для всех x из области определения.
1) f (x ± π) = sin (2x ± 2π) = sin 2x = f (x).
2) f (x ± 4π) = cos (x/2 ± 2π) = cos (x/2) = f (x).
3) Область определения: 2x ≠ π/2 + πn, т. е. x ≠ π/4 + πn/2; при сдвиге на π/2 она переходит в себя. f (x ± π/2) = tg (2x ± π) = tg 2x = f (x), так как период тангенса равен π.
4) f (x ± 5π/2) = sin (4x/5 ± (4/5)(5π/2)) = sin (4x/5 ± 2π) = sin (4x/5) = f (x).
1) f (x ± π) = sin (2x ± 2π) = sin 2x = f (x).
2) f (x ± 4π) = cos (x/2 ± 2π) = cos (x/2) = f (x).
3) Область определения: 2x ≠ π/2 + πn, т. е. x ≠ π/4 + πn/2; при сдвиге на π/2 она переходит в себя. f (x ± π/2) = tg (2x ± π) = tg 2x = f (x), так как период тангенса равен π.
4) f (x ± 5π/2) = sin (4x/5 ± (4/5)(5π/2)) = sin (4x/5 ± 2π) = sin (4x/5) = f (x).
704. Определить, является ли данная функция чётной или нечётной:
1) y = (1 − cos x)/(1 + cos x);
2) y = √(sin² x)/(1 + cos 2x);
3) y = (cos 2x − x²)/sin x;
4) y = (x³ + sin 2x)/cos x;
5) y = 3^(cos x);
6) y = x |sin x| sin³ x.
1) y = (1 − cos x)/(1 + cos x);
2) y = √(sin² x)/(1 + cos 2x);
3) y = (cos 2x − x²)/sin x;
4) y = (x³ + sin 2x)/cos x;
5) y = 3^(cos x);
6) y = x |sin x| sin³ x.
Во всех случаях область определения симметрична относительно нуля.
1) Область: cos x ≠ −1. y(−x) = (1 − cos x)/(1 + cos x) = y(x). Функция чётная.
2) √(sin² x) = |sin x|, 1 + cos 2x = 2 cos² x, область: cos x ≠ 0. y(−x) = |sin (−x)|/(2 cos² (−x)) = |sin x|/(2 cos² x) = y(x). Функция чётная.
3) Область: sin x ≠ 0. Числитель чётный: cos (−2x) − (−x)² = cos 2x − x². Знаменатель нечётный. y(−x) = (cos 2x − x²)/(−sin x) = −y(x). Функция нечётная.
4) Область: cos x ≠ 0. Числитель нечётный: (−x)³ + sin (−2x) = −(x³ + sin 2x), знаменатель чётный. y(−x) = −y(x). Функция нечётная.
5) y(−x) = 3^(cos (−x)) = 3^(cos x) = y(x). Функция чётная.
6) y(−x) = (−x) |sin (−x)| sin³ (−x) = (−x) |sin x| (−sin³ x) = x |sin x| sin³ x = y(x). Функция чётная.
1) Область: cos x ≠ −1. y(−x) = (1 − cos x)/(1 + cos x) = y(x). Функция чётная.
2) √(sin² x) = |sin x|, 1 + cos 2x = 2 cos² x, область: cos x ≠ 0. y(−x) = |sin (−x)|/(2 cos² (−x)) = |sin x|/(2 cos² x) = y(x). Функция чётная.
3) Область: sin x ≠ 0. Числитель чётный: cos (−2x) − (−x)² = cos 2x − x². Знаменатель нечётный. y(−x) = (cos 2x − x²)/(−sin x) = −y(x). Функция нечётная.
4) Область: cos x ≠ 0. Числитель нечётный: (−x)³ + sin (−2x) = −(x³ + sin 2x), знаменатель чётный. y(−x) = −y(x). Функция нечётная.
5) y(−x) = 3^(cos (−x)) = 3^(cos x) = y(x). Функция чётная.
6) y(−x) = (−x) |sin (−x)| sin³ (−x) = (−x) |sin x| (−sin³ x) = x |sin x| sin³ x = y(x). Функция чётная.