Глава VI. Упражнения к главе VI. Проверь себя! — с. 198
663. Решить уравнение:
1) 2 sin 2x = 3 cos 2x;
2) 4 sin 3x + 5 cos 3x = 0.
1) 2 sin 2x = 3 cos 2x;
2) 4 sin 3x + 5 cos 3x = 0.
1) Если cos 2x = 0, то из уравнения sin 2x = 0 — невозможно. Делим на cos 2x: tg 2x = 3/2, 2x = arctg(3/2) + πn.
Ответ: x = (1/2) arctg(3/2) + πn/2, n ∈ Z.
2) Аналогично cos 3x ≠ 0, tg 3x = −5/4, 3x = −arctg(5/4) + πn.
Ответ: x = −(1/3) arctg(5/4) + πn/3, n ∈ Z.
Ответ: x = (1/2) arctg(3/2) + πn/2, n ∈ Z.
2) Аналогично cos 3x ≠ 0, tg 3x = −5/4, 3x = −arctg(5/4) + πn.
Ответ: x = −(1/3) arctg(5/4) + πn/3, n ∈ Z.
664. Решить уравнение:
1) 5 sin x + cos x = 5;
2) 4 sin x + 3 cos x = 6.
1) 5 sin x + cos x = 5;
2) 4 sin x + 3 cos x = 6.
1) Применим универсальную подстановку t = tg(x/2): sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 − t²)/(1 + t²). Значение x = π + 2πk (где tg(x/2) не определён) проверим отдельно: 5·0 + (−1) = −1 ≠ 5, не подходит. Уравнение: 10t + 1 − t² = 5 + 5t², 6t² − 10t + 4 = 0, 3t² − 5t + 2 = 0, t = 1 или t = 2/3.
tg(x/2) = 1: x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn.
tg(x/2) = 2/3: x = 2 arctg(2/3) + 2πn.
Проверка для t = 2/3: sin x = 12/13, cos x = 5/13, 5·12/13 + 5/13 = 5.
Ответ: x = π/2 + 2πn; x = 2 arctg(2/3) + 2πn; n ∈ Z.
2) Наибольшее значение выражения 4 sin x + 3 cos x равно √(16 + 9) = 5 < 6, поэтому равенство невозможно.
Ответ: корней нет.
tg(x/2) = 1: x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn.
tg(x/2) = 2/3: x = 2 arctg(2/3) + 2πn.
Проверка для t = 2/3: sin x = 12/13, cos x = 5/13, 5·12/13 + 5/13 = 5.
Ответ: x = π/2 + 2πn; x = 2 arctg(2/3) + 2πn; n ∈ Z.
2) Наибольшее значение выражения 4 sin x + 3 cos x равно √(16 + 9) = 5 < 6, поэтому равенство невозможно.
Ответ: корней нет.
665. Решить уравнение:
1) sin 3x = sin 5x;
2) cos² 3x − cos 3x cos 5x = 0;
3) cos x = cos 3x;
4) sin x sin 5x − sin² 5x = 0.
1) sin 3x = sin 5x;
2) cos² 3x − cos 3x cos 5x = 0;
3) cos x = cos 3x;
4) sin x sin 5x − sin² 5x = 0.
1) sin 5x − sin 3x = 2 cos 4x sin x = 0. cos 4x = 0: x = π/8 + πn/4; sin x = 0: x = πk.
Ответ: x = π/8 + πn/4; x = πk; n, k ∈ Z.
2) cos 3x (cos 3x − cos 5x) = 0, cos 3x·2 sin 4x sin x = 0. cos 3x = 0: x = π/6 + πn/3; sin 4x = 0: x = πk/4 (серия sin x = 0 входит в неё).
Ответ: x = π/6 + πn/3; x = πk/4; n, k ∈ Z.
3) cos x − cos 3x = 2 sin 2x sin x = 0. Из sin x = 0 получаем x = πk, эти значения входят в серию sin 2x = 0: x = πn/2.
Ответ: x = πn/2, n ∈ Z.
4) sin 5x (sin x − sin 5x) = 0, а sin x − sin 5x = −2 cos 3x sin 2x. sin 5x = 0: x = πn/5; cos 3x = 0: x = π/6 + πk/3; sin 2x = 0: x = πm/2, и эти значения уже входят в две первые серии (πm/2 при чётном m — в серию πn/5, при нечётном m — в серию π/6 + πk/3).
Ответ: x = πn/5; x = π/6 + πk/3; n, k ∈ Z.
Ответ: x = π/8 + πn/4; x = πk; n, k ∈ Z.
2) cos 3x (cos 3x − cos 5x) = 0, cos 3x·2 sin 4x sin x = 0. cos 3x = 0: x = π/6 + πn/3; sin 4x = 0: x = πk/4 (серия sin x = 0 входит в неё).
Ответ: x = π/6 + πn/3; x = πk/4; n, k ∈ Z.
3) cos x − cos 3x = 2 sin 2x sin x = 0. Из sin x = 0 получаем x = πk, эти значения входят в серию sin 2x = 0: x = πn/2.
Ответ: x = πn/2, n ∈ Z.
4) sin 5x (sin x − sin 5x) = 0, а sin x − sin 5x = −2 cos 3x sin 2x. sin 5x = 0: x = πn/5; cos 3x = 0: x = π/6 + πk/3; sin 2x = 0: x = πm/2, и эти значения уже входят в две первые серии (πm/2 при чётном m — в серию πn/5, при нечётном m — в серию π/6 + πk/3).
Ответ: x = πn/5; x = π/6 + πk/3; n, k ∈ Z.
Проверь себя!
Задание 1. Найти значение выражения:
1) arccos 1 + arcsin 0;
2) arccos(−1/2) − arcsin(√3/2).
1) arccos 1 + arcsin 0;
2) arccos(−1/2) − arcsin(√3/2).
1) arccos 1 = 0, arcsin 0 = 0. Сумма равна 0. Ответ: 0.
2) arccos(−1/2) = 2π/3, arcsin(√3/2) = π/3. Разность равна 2π/3 − π/3 = π/3. Ответ: π/3.
2) arccos(−1/2) = 2π/3, arcsin(√3/2) = π/3. Разность равна 2π/3 − π/3 = π/3. Ответ: π/3.
Проверь себя!
Задание 2. Решить уравнение:
1) sin 3x cos x − sin x cos 3x = 1;
2) 2cos² x + 5cos x = 3;
3) tg x − 3 ctg x = 0;
4) sin 3x − sin x = 0;
5) 2 sin x + sin 2x = 0.
1) sin 3x cos x − sin x cos 3x = 1;
2) 2cos² x + 5cos x = 3;
3) tg x − 3 ctg x = 0;
4) sin 3x − sin x = 0;
5) 2 sin x + sin 2x = 0.
1) Левая часть равна sin(3x − x) = sin 2x. Уравнение sin 2x = 1: 2x = π/2 + 2πn.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
2) 2cos² x + 5cos x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, cos x = (−5 ± 7)/4, cos x = 1/2 или cos x = −3 (не подходит).
Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
3) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0. Пусть t = tg x: t − 3/t = 0, t² = 3, t = ±√3.
Ответ: x = ±π/3 + πn, n ∈ Z.
4) sin 3x − sin x = 2 cos 2x sin x = 0. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2; sin x = 0: x = πk.
Ответ: x = π/4 + πn/2; x = πk; n, k ∈ Z.
5) 2 sin x + 2 sin x cos x = 2 sin x (1 + cos x) = 0. sin x = 0: x = πn. cos x = −1: x = π + 2πk — эти значения входят в серию x = πn.
Ответ: x = πn, n ∈ Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
2) 2cos² x + 5cos x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, cos x = (−5 ± 7)/4, cos x = 1/2 или cos x = −3 (не подходит).
Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
3) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0. Пусть t = tg x: t − 3/t = 0, t² = 3, t = ±√3.
Ответ: x = ±π/3 + πn, n ∈ Z.
4) sin 3x − sin x = 2 cos 2x sin x = 0. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2; sin x = 0: x = πk.
Ответ: x = π/4 + πn/2; x = πk; n, k ∈ Z.
5) 2 sin x + 2 sin x cos x = 2 sin x (1 + cos x) = 0. sin x = 0: x = πn. cos x = −1: x = π + 2πk — эти значения входят в серию x = πn.
Ответ: x = πn, n ∈ Z.
666. Вычислить:
1) sin(arccos(√3/2));
2) tg(arccos(1/2));
3) tg(arccos(√2/2)).
1) sin(arccos(√3/2));
2) tg(arccos(1/2));
3) tg(arccos(√2/2)).
1) arccos(√3/2) = π/6, sin(π/6) = 1/2. Ответ: 1/2.
2) arccos(1/2) = π/3, tg(π/3) = √3. Ответ: √3.
3) arccos(√2/2) = π/4, tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
2) arccos(1/2) = π/3, tg(π/3) = √3. Ответ: √3.
3) arccos(√2/2) = π/4, tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
667. Вычислить:
1) sin(4 arcsin 1);
2) sin(3 arcsin(√3/2));
3) cos(6 arcsin 1);
4) tg(4 arcsin(√2/2)).
1) sin(4 arcsin 1);
2) sin(3 arcsin(√3/2));
3) cos(6 arcsin 1);
4) tg(4 arcsin(√2/2)).
1) arcsin 1 = π/2, sin(4·π/2) = sin 2π = 0. Ответ: 0.
2) arcsin(√3/2) = π/3, sin(3·π/3) = sin π = 0. Ответ: 0.
3) cos(6·π/2) = cos 3π = −1. Ответ: −1.
4) arcsin(√2/2) = π/4, tg(4·π/4) = tg π = 0. Ответ: 0.
2) arcsin(√3/2) = π/3, sin(3·π/3) = sin π = 0. Ответ: 0.
3) cos(6·π/2) = cos 3π = −1. Ответ: −1.
4) arcsin(√2/2) = π/4, tg(4·π/4) = tg π = 0. Ответ: 0.
668. Решить уравнение:
1) sin 2x + 2cos 2x = 1;
2) cos 2x + 3 sin 2x = 3.
1) sin 2x + 2cos 2x = 1;
2) cos 2x + 3 sin 2x = 3.
Применим выражение через t = tg x: sin 2x = 2t/(1 + t²), cos 2x = (1 − t²)/(1 + t²). Значения x = π/2 + πn (cos x = 0) проверяем отдельно.
1) При cos x = 0: sin 2x = 0, cos 2x = −1, левая часть равна −2 ≠ 1, значит такие x не корни. Уравнение: 2t + 2 − 2t² = 1 + t², 3t² − 2t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/3.
Ответ: x = π/4 + πn; x = −arctg(1/3) + πn; n ∈ Z.
2) При cos x = 0: sin 2x = 0, cos 2x = −1, левая часть равна −1 ≠ 3, значит такие x не корни. Уравнение: 1 − t² + 6t = 3 + 3t², 4t² − 6t + 2 = 0, 2t² − 3t + 1 = 0, t = 1 или t = 1/2.
Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg(1/2) + πn; n ∈ Z.
1) При cos x = 0: sin 2x = 0, cos 2x = −1, левая часть равна −2 ≠ 1, значит такие x не корни. Уравнение: 2t + 2 − 2t² = 1 + t², 3t² − 2t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/3.
Ответ: x = π/4 + πn; x = −arctg(1/3) + πn; n ∈ Z.
2) При cos x = 0: sin 2x = 0, cos 2x = −1, левая часть равна −1 ≠ 3, значит такие x не корни. Уравнение: 1 − t² + 6t = 3 + 3t², 4t² − 6t + 2 = 0, 2t² − 3t + 1 = 0, t = 1 или t = 1/2.
Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg(1/2) + πn; n ∈ Z.
669. Решить уравнение:
1) 3 sin² x + sin x cos x − 2cos² x = 0;
2) 2 sin² x + 3 sin x cos x − 2cos² x = 0.
1) 3 sin² x + sin x cos x − 2cos² x = 0;
2) 2 sin² x + 3 sin x cos x − 2cos² x = 0.
Однородные уравнения: cos x = 0 не даёт корней (тогда sin x = 0). Делим на cos² x, t = tg x.
1) 3t² + t − 2 = 0, D = 1 + 24 = 25, t = (−1 ± 5)/6, t = 2/3 или t = −1.
Ответ: x = arctg(2/3) + πn; x = −π/4 + πn; n ∈ Z.
2) 2t² + 3t − 2 = 0, D = 9 + 16 = 25, t = (−3 ± 5)/4, t = 1/2 или t = −2.
Ответ: x = arctg(1/2) + πn; x = −arctg 2 + πn; n ∈ Z.
1) 3t² + t − 2 = 0, D = 1 + 24 = 25, t = (−1 ± 5)/6, t = 2/3 или t = −1.
Ответ: x = arctg(2/3) + πn; x = −π/4 + πn; n ∈ Z.
2) 2t² + 3t − 2 = 0, D = 9 + 16 = 25, t = (−3 ± 5)/4, t = 1/2 или t = −2.
Ответ: x = arctg(1/2) + πn; x = −arctg 2 + πn; n ∈ Z.
670. Решить уравнение:
1) 1 + 2 sin x = sin 2x + 2cos x;
2) 1 + 3cos x = sin 2x + 3 sin x.
1) 1 + 2 sin x = sin 2x + 2cos x;
2) 1 + 3cos x = sin 2x + 3 sin x.
Пусть u = sin x − cos x, тогда u² = 1 − sin 2x и |u| ≤ √2.
1) 1 − sin 2x + 2(sin x − cos x) = 0, u² + 2u = 0, u(u + 2) = 0. Значение u = −2 невозможно (|u| ≤ √2), значит u = 0: sin x = cos x, tg x = 1.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
2) 1 − sin 2x + 3(cos x − sin x) = 0, u² − 3u = 0, u(u − 3) = 0. Значение u = 3 невозможно, значит u = 0, tg x = 1.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
1) 1 − sin 2x + 2(sin x − cos x) = 0, u² + 2u = 0, u(u + 2) = 0. Значение u = −2 невозможно (|u| ≤ √2), значит u = 0: sin x = cos x, tg x = 1.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
2) 1 − sin 2x + 3(cos x − sin x) = 0, u² − 3u = 0, u(u − 3) = 0. Значение u = 3 невозможно, значит u = 0, tg x = 1.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
671. Решить уравнение:
1) sin(x + π/6) + cos(x + π/3) = 1 + cos 2x;
2) sin(x − π/4) + cos(x − π/4) = sin 2x.
1) sin(x + π/6) + cos(x + π/3) = 1 + cos 2x;
2) sin(x − π/4) + cos(x − π/4) = sin 2x.
1) sin(x + π/6) = (√3/2) sin x + (1/2) cos x, cos(x + π/3) = (1/2) cos x − (√3/2) sin x. Сумма равна cos x. Правая часть: 1 + cos 2x = 2cos² x. Уравнение: cos x (2cos x − 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πn. cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±π/3 + 2πk; n, k ∈ Z.
2) sin α + cos α = √2 sin(α + π/4); при α = x − π/4 левая часть равна √2 sin x. Уравнение: √2 sin x = 2 sin x cos x, sin x (√2 − 2cos x) = 0.
sin x = 0: x = πn. cos x = √2/2: x = ±π/4 + 2πk.
Ответ: x = πn; x = ±π/4 + 2πk; n, k ∈ Z.
cos x = 0: x = π/2 + πn. cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±π/3 + 2πk; n, k ∈ Z.
2) sin α + cos α = √2 sin(α + π/4); при α = x − π/4 левая часть равна √2 sin x. Уравнение: √2 sin x = 2 sin x cos x, sin x (√2 − 2cos x) = 0.
sin x = 0: x = πn. cos x = √2/2: x = ±π/4 + 2πk.
Ответ: x = πn; x = ±π/4 + 2πk; n, k ∈ Z.
672. Решить уравнение:
1) cos³ x sin x − sin³ x cos x = 1/4;
2) sin³ x cos x + cos³ x sin x = 1/4.
1) cos³ x sin x − sin³ x cos x = 1/4;
2) sin³ x cos x + cos³ x sin x = 1/4.
1) Левая часть: sin x cos x (cos² x − sin² x) = (1/2) sin 2x cos 2x = (1/4) sin 4x. Уравнение: sin 4x = 1, 4x = π/2 + 2πn.
Ответ: x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
2) Левая часть: sin x cos x (sin² x + cos² x) = (1/2) sin 2x. Уравнение: sin 2x = 1/2, 2x = (−1)^n π/6 + πn.
Ответ: x = (−1)^n π/12 + πn/2, n ∈ Z.
Ответ: x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
2) Левая часть: sin x cos x (sin² x + cos² x) = (1/2) sin 2x. Уравнение: sin 2x = 1/2, 2x = (−1)^n π/6 + πn.
Ответ: x = (−1)^n π/12 + πn/2, n ∈ Z.
673. Решить уравнение:
1) sin² x + sin² 2x = 1;
2) sin² x + cos² 2x = 1;
3) sin 4x = 6cos² 2x − 4;
4) 2cos² 3x + sin 5x = 1.
1) sin² x + sin² 2x = 1;
2) sin² x + cos² 2x = 1;
3) sin 4x = 6cos² 2x − 4;
4) 2cos² 3x + sin 5x = 1.
1) 1 − sin² x = cos² x, поэтому sin² 2x = cos² x, 4 sin² x cos² x = cos² x, cos² x (4 sin² x − 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πn. sin x = ±1/2: x = ±π/6 + πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±π/6 + πk; n, k ∈ Z.
2) cos² 2x = 1 − sin² x = cos² x, откуда (1 + cos 4x)/2 = (1 + cos 2x)/2, cos 4x − cos 2x = −2 sin 3x sin x = 0. sin 3x = 0: x = πn/3 (серия sin x = 0 входит в неё).
Ответ: x = πn/3, n ∈ Z (то есть x = πn и x = ±π/3 + πn).
3) Запишем 6cos² 2x − 4 = 2cos² 2x − 4 sin² 2x (так как 4 = 4 sin² 2x + 4cos² 2x). Уравнение: 2 sin 2x cos 2x = 2cos² 2x − 4 sin² 2x, откуда cos² 2x − sin 2x cos 2x − 2 sin² 2x = 0. Если cos 2x = 0, то и sin 2x = 0 — невозможно. Делим на cos² 2x: 2t² + t − 1 = 0, где t = tg 2x, t = 1/2 или t = −1.
tg 2x = 1/2: x = (1/2) arctg(1/2) + πn/2. tg 2x = −1: x = −π/8 + πk/2.
Ответ: x = (1/2) arctg(1/2) + πn/2; x = −π/8 + πk/2; n, k ∈ Z.
4) 2cos² 3x − 1 = cos 6x, поэтому уравнение: cos 6x + sin 5x = 0, то есть sin 5x = −cos 6x = sin(6x − π/2). Перенесём всё в одну часть и применим формулу разности синусов: sin 5x − sin(6x − π/2) = 2 cos((11x − π/2)/2) sin((π/2 − x)/2) = 0.
cos((11x − π/2)/2) = 0: 11x − π/2 = π + 2πn, x = 3π/22 + 2πn/11.
sin((π/2 − x)/2) = 0: π/2 − x = 2πk, x = π/2 − 2πk, то есть x = π/2 + 2πm.
Ответ: x = 3π/22 + 2πn/11; x = π/2 + 2πm; n, m ∈ Z.
cos x = 0: x = π/2 + πn. sin x = ±1/2: x = ±π/6 + πk.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±π/6 + πk; n, k ∈ Z.
2) cos² 2x = 1 − sin² x = cos² x, откуда (1 + cos 4x)/2 = (1 + cos 2x)/2, cos 4x − cos 2x = −2 sin 3x sin x = 0. sin 3x = 0: x = πn/3 (серия sin x = 0 входит в неё).
Ответ: x = πn/3, n ∈ Z (то есть x = πn и x = ±π/3 + πn).
3) Запишем 6cos² 2x − 4 = 2cos² 2x − 4 sin² 2x (так как 4 = 4 sin² 2x + 4cos² 2x). Уравнение: 2 sin 2x cos 2x = 2cos² 2x − 4 sin² 2x, откуда cos² 2x − sin 2x cos 2x − 2 sin² 2x = 0. Если cos 2x = 0, то и sin 2x = 0 — невозможно. Делим на cos² 2x: 2t² + t − 1 = 0, где t = tg 2x, t = 1/2 или t = −1.
tg 2x = 1/2: x = (1/2) arctg(1/2) + πn/2. tg 2x = −1: x = −π/8 + πk/2.
Ответ: x = (1/2) arctg(1/2) + πn/2; x = −π/8 + πk/2; n, k ∈ Z.
4) 2cos² 3x − 1 = cos 6x, поэтому уравнение: cos 6x + sin 5x = 0, то есть sin 5x = −cos 6x = sin(6x − π/2). Перенесём всё в одну часть и применим формулу разности синусов: sin 5x − sin(6x − π/2) = 2 cos((11x − π/2)/2) sin((π/2 − x)/2) = 0.
cos((11x − π/2)/2) = 0: 11x − π/2 = π + 2πn, x = 3π/22 + 2πn/11.
sin((π/2 − x)/2) = 0: π/2 − x = 2πk, x = π/2 − 2πk, то есть x = π/2 + 2πm.
Ответ: x = 3π/22 + 2πn/11; x = π/2 + 2πm; n, m ∈ Z.