Упражнения 655–662, стр. 197 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 655–662 — Глава VI. Упражнения к главе VI

Страница 197 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VI. Упражнения к главе VI — с. 197

655. Вычислить:
1) 2 arcsin(√3/2) + 3 arcsin(−1/2);
2) arcsin(1/√2) − 4 arcsin 1;
3) arccos(−1/2) − arcsin(√3/2);
4) arccos(−1) − arcsin(−1);
5) 2 arctg 1 + 3 arctg(−1/√3);
6) 4 arctg(−1) + 3 arctg √3.
1) arcsin(√3/2) = π/3, arcsin(−1/2) = −π/6. Получаем 2π/3 − 3π/6 = 2π/3 − π/2 = π/6. Ответ: π/6.
2) arcsin(1/√2) = π/4, arcsin 1 = π/2. Получаем π/4 − 2π = −7π/4. Ответ: −7π/4.
3) arccos(−1/2) = 2π/3, arcsin(√3/2) = π/3. Получаем 2π/3 − π/3 = π/3. Ответ: π/3.
4) arccos(−1) = π, arcsin(−1) = −π/2. Получаем π + π/2 = 3π/2. Ответ: 3π/2.
5) arctg 1 = π/4, arctg(−1/√3) = −π/6. Получаем π/2 − π/2 = 0. Ответ: 0.
6) arctg(−1) = −π/4, arctg √3 = π/3. Получаем −π + π = 0. Ответ: 0.
656. Решить уравнение:
1) cos(4 − 2x) = −1/2;
2) cos(6 + 3x) = −√2/2;
3) √2 cos(2x + π/4) + 1 = 0;
4) 2 cos(π/3 − 3x) − √3 = 0.
1) 4 − 2x = ±2π/3 + 2πn, 2x = 4 ∓ 2π/3 − 2πn, x = 2 ∓ π/3 − πn. Так как n пробегает все целые числа, а знак ± симметричен, запишем так.
Ответ: x = 2 ± π/3 + πn, n ∈ Z.
2) 6 + 3x = ±3π/4 + 2πn, 3x = −6 ± 3π/4 + 2πn.
Ответ: x = −2 ± π/4 + 2πn/3, n ∈ Z.
3) cos(2x + π/4) = −√2/2, 2x + π/4 = ±3π/4 + 2πn. Знак «+»: 2x = π/2 + 2πn, x = π/4 + πn. Знак «−»: 2x = −π + 2πn, x = −π/2 + πn.
Ответ: x = π/4 + πn; x = −π/2 + πn; n ∈ Z.
4) Косинус чётный: cos(3x − π/3) = √3/2, 3x − π/3 = ±π/6 + 2πn, 3x = π/3 ± π/6 + 2πn, x = π/9 ± π/18 + 2πn/3.
Ответ: x = π/9 ± π/18 + 2πn/3, n ∈ Z (то есть x = π/6 + 2πn/3 и x = π/18 + 2πn/3).
657. Решить уравнение:
1) 2 sin(3x − π/4) + 1 = 0;
2) 1 − sin(x/2 + π/3) = 0;
3) 3 + 4 sin(2x + 1) = 0;
4) 5 sin(2x − 1) − 2 = 0.
1) sin(3x − π/4) = −1/2, 3x − π/4 = (−1)^(n+1) π/6 + πn, 3x = π/4 + (−1)^(n+1) π/6 + πn.
Ответ: x = π/12 + (−1)^(n+1) π/18 + πn/3, n ∈ Z.
2) sin(x/2 + π/3) = 1, x/2 + π/3 = π/2 + 2πn, x/2 = π/6 + 2πn.
Ответ: x = π/3 + 4πn, n ∈ Z.
3) sin(2x + 1) = −3/4, 2x + 1 = (−1)^(n+1) arcsin(3/4) + πn.
Ответ: x = −1/2 + (−1)^(n+1) (1/2) arcsin(3/4) + πn/2, n ∈ Z.
4) sin(2x − 1) = 2/5, 2x − 1 = (−1)^n arcsin(2/5) + πn.
Ответ: x = 1/2 + (−1)^n (1/2) arcsin(2/5) + πn/2, n ∈ Z.
658. Решить уравнение:
1) (1 + √2 cos x)(1 − 4 sin x cos x) = 0;
2) (1 − √2 cos x)(1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0.
1) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1 + √2 cos x = 0: cos x = −√2/2, x = ±3π/4 + 2πn.
1 − 4 sin x cos x = 0: 1 − 2 sin 2x = 0, sin 2x = 1/2, 2x = (−1)^k π/6 + πk, x = (−1)^k π/12 + πk/2.
Ответ: x = ±3π/4 + 2πn; x = (−1)^k π/12 + πk/2; n, k ∈ Z.
2) 1 − √2 cos x = 0: cos x = √2/2, x = ±π/4 + 2πn.
1 + 2 sin 2x cos 2x = 0: 1 + sin 4x = 0, sin 4x = −1, 4x = −π/2 + 2πk, x = −π/8 + πk/2.
Ответ: x = ±π/4 + 2πn; x = −π/8 + πk/2; n, k ∈ Z.
659. Решить уравнение:
1) tg(2x + π/4) = −1;
2) tg(3x − π/4) = 1/√3;
3) √3 − tg(x − π/5) = 0;
4) 1 − tg(x + π/7) = 0.
1) 2x + π/4 = −π/4 + πn, 2x = −π/2 + πn.
Ответ: x = −π/4 + πn/2, n ∈ Z.
2) 3x − π/4 = π/6 + πn, 3x = 5π/12 + πn.
Ответ: x = 5π/36 + πn/3, n ∈ Z.
3) tg(x − π/5) = √3, x − π/5 = π/3 + πn, x = π/5 + π/3 + πn.
Ответ: x = 8π/15 + πn, n ∈ Z.
4) tg(x + π/7) = 1, x + π/7 = π/4 + πn, x = π/4 − π/7 + πn.
Ответ: x = 3π/28 + πn, n ∈ Z.
660. Решить уравнение:
1) 2 sin² x + sin x = 0;
2) 3 sin² x − 5 sin x − 2 = 0;
3) cos² x − 2cos x = 0;
4) 6cos² x + 7cos x − 3 = 0.
1) sin x (2 sin x + 1) = 0. sin x = 0: x = πn. sin x = −1/2: x = (−1)^(k+1) π/6 + πk.
Ответ: x = πn; x = (−1)^(k+1) π/6 + πk; n, k ∈ Z.
2) Пусть y = sin x: 3y² − 5y − 2 = 0, D = 25 + 24 = 49, y = (5 ± 7)/6, y = 2 (не подходит) или y = −1/3.
Ответ: x = (−1)^(n+1) arcsin(1/3) + πn, n ∈ Z.
3) cos x (cos x − 2) = 0. Так как cos x ≠ 2, остаётся cos x = 0.
Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.
4) Пусть y = cos x: 6y² + 7y − 3 = 0, D = 49 + 72 = 121, y = (−7 ± 11)/12, y = 1/3 или y = −3/2 (не подходит).
Ответ: x = ±arccos(1/3) + 2πn, n ∈ Z.
661. Решить уравнение:
1) 6 sin² x − cos x + 6 = 0;
2) 8cos² x − 12 sin x + 7 = 0.
1) Заменяем sin² x = 1 − cos² x: 6 − 6cos² x − cos x + 6 = 0, 6cos² x + cos x − 12 = 0. D = 1 + 288 = 289, cos x = (−1 ± 17)/12, cos x = 4/3 или cos x = −3/2. Оба значения по модулю больше 1.
Ответ: корней нет.
2) Заменяем cos² x = 1 − sin² x: 8 − 8 sin² x − 12 sin x + 7 = 0, 8 sin² x + 12 sin x − 15 = 0. D = 144 + 480 = 624 = 16·39, sin x = (−12 ± 4√39)/16 = (−3 ± √39)/4. Значение (−3 − √39)/4 < −1 не подходит; (√39 − 3)/4 ≈ 0,81 подходит.
Ответ: x = (−1)^n arcsin((√39 − 3)/4) + πn, n ∈ Z.
662. Решить уравнение:
1) tg² x + 3 tg x = 0;
2) 2 tg² x − tg x − 3 = 0;
3) tg x − 12 ctg x + 1 = 0;
4) tg x + ctg x = 2.
Пусть t = tg x.
1) t(t + 3) = 0, t = 0 или t = −3.
Ответ: x = πn; x = −arctg 3 + πn; n ∈ Z.
2) D = 1 + 24 = 25, t = (1 ± 5)/4, t = 3/2 или t = −1.
Ответ: x = arctg 1,5 + πn; x = −π/4 + πn; n ∈ Z.
3) ОДЗ: t ≠ 0. Умножаем на t: t² + t − 12 = 0, t = 3 или t = −4.
Ответ: x = arctg 3 + πn; x = −arctg 4 + πn; n ∈ Z.
4) ОДЗ: t ≠ 0. t + 1/t = 2, t² − 2t + 1 = 0, t = 1.
Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.