Упражнения 632–647 — Глава VI. § 36. Решение тригонометрических…

1) cos(π − x) = −cos x, sin(π/2 + x/2) = cos(x/2). Уравнение принимает вид 1 + cos x + cos(x/2) = 0. Так как 1 + cos x = 2cos²(x/2), получаем 2cos²(x/2) + cos(x/2) = 0, то есть cos(x/2)·(2cos(x/2) + 1) = 0.
cos(x/2) = 0: x/2 = π/2 + πn, x = π + 2πn.
cos(x/2) = −1/2: x/2 = ±2π/3 + 2πk, x = ±4π/3 + 4πk.
Ответ: x = π + 2πn; x = ±4π/3 + 4πk; n, k ∈ Z.
2) √2 cos(x − π/4) = √2(cos x·√2/2 + sin x·√2/2) = cos x + sin x. Обозначим t = sin x + cos x, тогда t = t², откуда t = 0 или t = 1.
t = 0: sin x = −cos x, tg x = −1, x = −π/4 + πn.
t = 1: √2 sin(x + π/4) = 1, sin(x + π/4) = √2/2, откуда x + π/4 = π/4 + 2πk или x + π/4 = 3π/4 + 2πk, то есть x = 2πk или x = π/2 + 2πk.
Ответ: x = −π/4 + πn; x = 2πk; x = π/2 + 2πk; n, k ∈ Z.

1) 4 sin x cos x cos 2x = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x. Уравнение: sin 4x = sin² 4x, sin 4x·(1 − sin 4x) = 0.
sin 4x = 0: 4x = πn, x = πn/4.
sin 4x = 1: 4x = π/2 + 2πk, x = π/8 + πk/2.
Ответ: x = πn/4; x = π/8 + πk/2; n, k ∈ Z.
2) sin^4 x = (1 − cos² x)² = 1 − 2cos² x + cos^4 x. Уравнение: 1 + cos² x = 1 − 2cos² x + cos^4 x, откуда cos^4 x − 3cos² x = 0, cos² x·(cos² x − 3) = 0. Равенство cos² x = 3 невозможно, значит cos x = 0.
Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.

1) Так как sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, имеем 2cos² 2x + 6 sin 2x cos 2x + 4 sin² 2x = 0, то есть cos² 2x + 3 sin 2x cos 2x + 2 sin² 2x = 0. Если cos 2x = 0, то и sin 2x = 0, что невозможно; делим на cos² 2x: 2t² + 3t + 1 = 0, где t = tg 2x. Корни t = −1 и t = −1/2.
tg 2x = −1: 2x = −π/4 + πn, x = −π/8 + πn/2.
tg 2x = −1/2: 2x = −arctg(1/2) + πn, x = −(1/2) arctg(1/2) + πn/2.
Ответ: x = −π/8 + πn/2; x = −(1/2) arctg(1/2) + πn/2; n ∈ Z.
2) Заменим 1 = sin² x + cos² x: sin² x − sin x cos x + 3cos² x = 0. Если cos x = 0, то sin x = 0 — невозможно. Делим на cos² x: t² − t + 3 = 0, D = 1 − 12 < 0. Корней нет.
Ответ: корней нет.
3) 2 sin² x = 1 − cos 2x. Уравнение: 1 − cos 2x + (1/4)cos³ 2x = 1, откуда cos 2x·(cos² 2x − 4) = 0. Равенство cos² 2x = 4 невозможно, значит cos 2x = 0, 2x = π/2 + πn.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) sin² 2x = (1 − cos 4x)/2, cos² 3x = (1 + cos 6x)/2. Левая часть равна 1 + (cos 6x − cos 4x)/2 = 1 − sin 5x sin x. Уравнение: −sin 5x sin x = 4 sin x, sin x·(sin 5x + 4) = 0. Так как sin 5x + 4 ≥ 3 > 0, остаётся sin x = 0.
Ответ: x = πn, n ∈ Z.

1) cos x cos 2x − sin x sin 2x = 0, cos 3x = 0, 3x = π/2 + πn.
Ответ: x = π/6 + πn/3, n ∈ Z.
2) sin 2x cos x − cos 2x sin x = 0, sin(2x − x) = 0, sin x = 0.
Ответ: x = πn, n ∈ Z.
3) sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x. Уравнение принимает вид cos 2x sin x = 0.
sin x = 0: x = πn; cos 2x = 0: x = π/4 + πk/2.
Ответ: x = πn; x = π/4 + πk/2; n, k ∈ Z.
4) cos 4x = cos(5x − x) = cos 5x cos x + sin 5x sin x. Уравнение: sin 5x sin x = 0.
sin x = 0: x = πn; sin 5x = 0: x = πk/5. Первая серия входит во вторую (k = 5n).
Ответ: x = πk/5, k ∈ Z.

Все уравнения однородные второй степени. Значение cos x = 0 корнем не является (тогда и sin x = 0), поэтому делим на cos² x и вводим t = tg x.
1) 4t² − 5t − 6 = 0, D = 25 + 96 = 121, t = (5 ± 11)/8, t = 2 или t = −3/4.
Ответ: x = arctg 2 + πn; x = −arctg(3/4) + πn; n ∈ Z.
2) 3t² − 7t + 2 = 0, D = 49 − 24 = 25, t = (7 ± 5)/6, t = 2 или t = 1/3.
Ответ: x = arctg 2 + πn; x = arctg(1/3) + πn; n ∈ Z.
3) Заменяем 1 = sin² x + cos² x: sin² x − 4 sin x cos x + 5cos² x = 0, t² − 4t + 5 = 0, D = 16 − 20 < 0.
Ответ: корней нет.
4) Заменяем 1 = sin² x + cos² x: 2 sin² x − 2 sin x cos x + cos² x = 0, 2t² − 2t + 1 = 0, D = 4 − 8 < 0.
Ответ: корней нет.

1) 2 sin x cos 2x = sin 3x − sin x, поэтому уравнение равносильно 3 sin 3x + sin 5x + sin x = 0. Так как sin 5x + sin x = 2 sin 3x cos 2x, получаем sin 3x·(3 + 2cos 2x) = 0. Множитель 3 + 2cos 2x ≥ 1 > 0, поэтому sin 3x = 0, 3x = πn.
Ответ: x = πn/3, n ∈ Z.
2) sin 2x = 2 sin x cos x: 6 cos 2x sin x + 14 sin x cos x = 0, 2 sin x·(3cos 2x + 7cos x) = 0.
sin x = 0: x = πn.
3cos 2x + 7cos x = 0: 3(2cos² x − 1) + 7cos x = 0, 6cos² x + 7cos x − 3 = 0, D = 49 + 72 = 121, cos x = (−7 ± 11)/12, cos x = 1/3 или cos x = −3/2 (не подходит). Тогда x = ±arccos(1/3) + 2πk.
Ответ: x = πn; x = ±arccos(1/3) + 2πk; n, k ∈ Z.

1) Умножим на 2 и применим формулу понижения степени: 1 − cos 2x + 1 − cos 4x = 1 − cos 6x, то есть 1 − cos 4x − (cos 2x − cos 6x) = 0. Здесь 1 − cos 4x = 2 sin² 2x, cos 2x − cos 6x = 2 sin 4x sin 2x. Получаем 2 sin² 2x − 2 sin 4x sin 2x = 0. Так как sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, имеем 2 sin² 2x·(1 − 2cos 2x) = 0.
sin 2x = 0: x = πn/2.
cos 2x = 1/2: 2x = ±π/3 + 2πk, x = ±π/6 + πk.
Ответ: x = πn/2; x = ±π/6 + πk; n, k ∈ Z.
2) Раскрываем скобки: sin x − 2 sin x cos x + sin x cos² x + cos x − 2 sin x cos x + cos x sin² x = (sin x + cos x) − 4 sin x cos x + sin x cos x (sin x + cos x). Пусть t = sin x + cos x, тогда sin x cos x = (t² − 1)/2 и уравнение принимает вид t − 2(t² − 1) + t(t² − 1)/2 = 2. Умножаем на 2: t³ − 4t² + t = 0, t(t² − 4t + 1) = 0. Корни: t = 0, t = 2 ± √3. Поскольку |t| ≤ √2, значение 2 + √3 не подходит; 2 − √3 ≈ 0,27 подходит.
t = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn.
t = 2 − √3: √2 sin(x + π/4) = 2 − √3, sin(x + π/4) = (2 − √3)/√2, x = −π/4 + (−1)^k arcsin((2 − √3)/√2) + πk.
Ответ: x = −π/4 + πn; x = −π/4 + (−1)^k arcsin((2 − √3)/√2) + πk; n, k ∈ Z.

1) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, sin x sin 3x = (cos 2x − cos 4x)/2. Уравнение: sin 2x·(cos 2x − cos 4x)/2 = (1/2) sin 2x cos 2x, откуда sin 2x·(cos 2x − cos 4x − cos 2x) = 0, то есть sin 2x cos 4x = 0.
sin 2x = 0: x = πn/2.
cos 4x = 0: 4x = π/2 + πk, x = π/8 + πk/4.
Ответ: x = πn/2; x = π/8 + πk/4; n, k ∈ Z.
2) sin^4 x + cos^4 x = (sin² x + cos² x)² − 2 sin² x cos² x = 1 − (1/2) sin² 2x. Уравнение: 1 − (1/2) sin² 2x = (1/2) sin² 2x, sin² 2x = 1, cos 2x = 0, 2x = π/2 + πn.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

1) По формуле cos² α = (1 + cos 2α)/2 уравнение равносильно cos 2x + cos 4x = cos 6x + cos 8x, то есть 2cos 3x cos x = 2cos 7x cos x. Тогда cos x·(cos 3x − cos 7x) = 0, cos x·2 sin 5x sin 2x = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πn (эти значения входят в серию sin 2x = 0).
sin 5x = 0: x = πk/5.
sin 2x = 0: x = πm/2.
Ответ: x = πk/5; x = πm/2; k, m ∈ Z.
2) sin^6 x + cos^6 x = (sin² x + cos² x)(sin^4 x − sin² x cos² x + cos^4 x) = 1 − 3 sin² x cos² x = 1 − (3/4) sin² 2x. Уравнение: 1 − (3/4) sin² 2x = 1/4, sin² 2x = 1, cos 2x = 0, 2x = π/2 + πn.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

1) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos 2x ≠ 0. Пусть a = cos 2x, b = cos x. Уравнение: a² + b² = ab, то есть a² − ab + b² = 0, или (a − b/2)² + 3b²/4 = 0. Это возможно только при b = 0 и a = 0, что противоречит ОДЗ.
Ответ: корней нет.
2) ОДЗ: sin x ≠ 0. Пусть u = sin x + 1/sin x, тогда sin² x + 1/sin² x = u² − 2. Уравнение: u = u² − 2, u² − u − 2 = 0, u = 2 или u = −1.
u = 2: sin x + 1/sin x = 2, (sin x − 1)² = 0, sin x = 1.
u = −1: sin² x + sin x + 1 = 0, D = 1 − 4 < 0, корней нет.
Итак, sin x = 1.
Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Так как |sin α| ≤ 1 и |cos α| ≤ 1, равенство произведения ±1 возможно только когда оба множителя по модулю равны 1.
1) Произведение равно 1, если sin x = sin 5x = 1 или sin x = sin 5x = −1. При sin x = 1: x = π/2 + 2πn, тогда sin 5x = sin(5π/2 + 10πn) = 1, подходит. При sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, sin 5x = sin(−5π/2 + 10πn) = −1, подходит. Обе серии объединяются: x = π/2 + πn (при чётном n получаем первую серию, при нечётном — вторую).
Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2) Произведение равно −1, если (sin x = 1 и cos 4x = −1) или (sin x = −1 и cos 4x = 1). При sin x = 1: x = π/2 + 2πn, 4x = 2π + 8πn, cos 4x = 1 ≠ −1, не подходит. При sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, 4x = −2π + 8πn, cos 4x = 1, подходит.
Ответ: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.

1) Необходимо −2 sin x ≥ 0, то есть sin x ≤ 0. Возводим в квадрат: 5cos x − cos 2x = 4 sin² x, 5cos x − (2cos² x − 1) = 4 − 4cos² x, 2cos² x + 5cos x − 3 = 0, cos x = (−5 ± 7)/4, cos x = 1/2 или cos x = −3 (не подходит). При cos x = 1/2 условие sin x ≤ 0 даёт x = −π/3 + 2πn. Проверка: 5·(1/2) − cos(−2π/3) = 5/2 + 1/2 = 3, √3 = −2·(−√3/2) = √3, верно.
Ответ: x = −π/3 + 2πn, n ∈ Z.
2) Необходимо cos x ≤ 0. Возводим в квадрат: cos x + cos 3x = 2cos² x. Так как cos x + cos 3x = 2cos 2x cos x, получаем 2cos x (cos 2x − cos x) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πn; при этом обе части равны 0 (cos 3x = 0), подходит.
cos 2x = cos x: 2cos² x − cos x − 1 = 0, cos x = 1 или cos x = −1/2. Условие cos x ≤ 0 оставляет cos x = −1/2, x = ±2π/3 + 2πk. Проверка: √(−1/2 + 1) = √2/2 = −√2·(−1/2), верно.
Ответ: x = π/2 + πn; x = ±2π/3 + 2πk; n, k ∈ Z.

1) Заменяем 4 sin² x = 4 − 4cos² x = 4 − 4|cos x|². Пусть u = |cos x|, u ≥ 0: 4u² + 4u − 1 = 0, D = 16 + 16 = 32, u = (−4 ± 4√2)/8 = (−1 ± √2)/2. Неотрицательный корень u = (√2 − 1)/2 ≈ 0,21 (он меньше 1). Значит cos x = ±(√2 − 1)/2, откуда x = ±arccos((√2 − 1)/2) + πn.
Ответ: x = ±arccos((√2 − 1)/2) + πn, n ∈ Z.
2) ОДЗ: cos x ≠ 0. Так как 1/cos² x = 1 + tg² x, уравнение принимает вид |t| = t², где t = tg x. Тогда t = 0 или |t| = 1.
tg x = 0: x = πk; tg x = ±1: x = ±π/4 + πk.
Ответ: x = πk; x = ±π/4 + πk; k ∈ Z.

1) Из второго уравнения x − y = 2πk, из первого x + y = π/2 + πn, где n, k ∈ Z. Складывая и вычитая: 2x = π/2 + π(n + 2k), 2y = π/2 + π(n − 2k).
Ответ: x = π/4 + π(n + 2k)/2, y = π/4 + π(n − 2k)/2; n, k ∈ Z.
2) Так как cos² y = 1 − sin² y, второе уравнение даёт sin² x − sin² y = 0, то есть sin y = sin x или sin y = −sin x. Случай sin y = sin x противоречит первому уравнению (разность была бы 0). Значит sin y = −sin x, и первое уравнение даёт 2 sin x = 1, sin x = 1/2, sin y = −1/2.
sin x = 1/2: x = (−1)^n π/6 + πn; sin y = −1/2: y = (−1)^(k+1) π/6 + πk.
Ответ: x = (−1)^n π/6 + πn, y = (−1)^(k+1) π/6 + πk; n, k ∈ Z.

Заменим sin² x = 1 − cos² x и обозначим c = cos x: 4 − 4c² + 2(a − 3)c + 3a − 4 = 0, то есть 4c² − 2(a − 3)c − 3a = 0. Дискриминант D = 4(a − 3)² + 48a = 4(a + 3)², поэтому c = (2(a − 3) ± 2(a + 3))/8, откуда c = a/2 или c = −3/2. Значение −3/2 не подходит (|cos x| ≤ 1), остаётся cos x = a/2. Корни существуют при |a/2| ≤ 1, то есть при −2 ≤ a ≤ 2, и тогда x = ±arccos(a/2) + 2πn.
Ответ: при −2 ≤ a ≤ 2 корни x = ±arccos(a/2) + 2πn, n ∈ Z; при остальных a корней нет.

Преобразуем левую часть: sin² x = (1 − cos 2x)/2, sin x cos x = (sin 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2. Получаем (1 − cos 2x)/2 − (sin 2x)/2 − (1 + cos 2x) = −1/2 − (3cos 2x + sin 2x)/2. Выражение 3cos 2x + sin 2x = √10 cos(2x − φ) принимает все значения от −√10 до √10. Поэтому левая часть принимает все значения из отрезка [(−1 − √10)/2; (−1 + √10)/2]. Уравнение не имеет корней, если a лежит вне этого отрезка.
Ответ: a < (−1 − √10)/2 или a > (−1 + √10)/2.