Глава VI. § 36. Решение тригонометрических уравнений — с. 192
620. Решить уравнение:
1) sin² x = 1/4;
2) cos² x = 1/2;
3) 2 sin² x + sin x − 1 = 0;
4) 2 cos² x + cos x − 6 = 0.
1) sin² x = 1/4;
2) cos² x = 1/2;
3) 2 sin² x + sin x − 1 = 0;
4) 2 cos² x + cos x − 6 = 0.
1) sin x = 1/2 или sin x = −1/2, то есть sin x = ±1/2; x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
2) cos x = ±√2/2; x = π/4 + πn/2, n ∈ Z (серии ±π/4 + πn объединяются).
3) Пусть y = sin x: 2y² + y − 1 = 0, D = 1 + 8 = 9, y = (−1 ± 3)/4, y₁ = 1/2, y₂ = −1.
sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) Пусть y = cos x: 2y² + y − 6 = 0, D = 1 + 48 = 49, y = (−1 ± 7)/4, y₁ = 3/2, y₂ = −2. Оба значения по модулю больше 1, корней нет.
Ответ: 1) ±π/6 + πn; 2) π/4 + πn/2; 3. (−1)^n·π/6 + πn, −π/2 + 2πn; 4) корней нет.
2) cos x = ±√2/2; x = π/4 + πn/2, n ∈ Z (серии ±π/4 + πn объединяются).
3) Пусть y = sin x: 2y² + y − 1 = 0, D = 1 + 8 = 9, y = (−1 ± 3)/4, y₁ = 1/2, y₂ = −1.
sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) Пусть y = cos x: 2y² + y − 6 = 0, D = 1 + 48 = 49, y = (−1 ± 7)/4, y₁ = 3/2, y₂ = −2. Оба значения по модулю больше 1, корней нет.
Ответ: 1) ±π/6 + πn; 2) π/4 + πn/2; 3. (−1)^n·π/6 + πn, −π/2 + 2πn; 4) корней нет.
621. Решить уравнение:
1) 2 cos² x − sin x + 1 = 0;
2) 3 cos² x − sin x − 1 = 0;
3) 4 sin² x − cos x − 1 = 0;
4) 2 sin² x + 3 cos x = 0.
1) 2 cos² x − sin x + 1 = 0;
2) 3 cos² x − sin x − 1 = 0;
3) 4 sin² x − cos x − 1 = 0;
4) 2 sin² x + 3 cos x = 0.
1) cos² x = 1 − sin² x: 2 − 2 sin² x − sin x + 1 = 0, 2 sin² x + sin x − 3 = 0. Пусть y = sin x: y = (−1 ± 5)/4, y₁ = 1, y₂ = −3/2 (не подходит, |y| > 1). sin x = 1: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) 3 − 3 sin² x − sin x − 1 = 0, 3 sin² x + sin x − 2 = 0, D = 25, y = (−1 ± 5)/6, y₁ = 2/3, y₂ = −1. sin x = 2/3: x = (−1)^n arcsin (2/3) + πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) sin² x = 1 − cos² x: 4 − 4 cos² x − cos x − 1 = 0, 4 cos² x + cos x − 3 = 0, D = 49, y = (−1 ± 7)/8, y₁ = 3/4, y₂ = −1. cos x = 3/4: x = ±arccos (3/4) + 2πn; cos x = −1: x = π + 2πn, n ∈ Z.
4) 2 − 2 cos² x + 3 cos x = 0, 2 cos² x − 3 cos x − 2 = 0, D = 25, y = (3 ± 5)/4, y₁ = 2 (не подходит), y₂ = −1/2. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) π/2 + 2πn; 2. (−1)^n arcsin (2/3) + πn, −π/2 + 2πn; 3) ±arccos (3/4) + 2πn, π + 2πn; 4) ±2π/3 + 2πn.
2) 3 − 3 sin² x − sin x − 1 = 0, 3 sin² x + sin x − 2 = 0, D = 25, y = (−1 ± 5)/6, y₁ = 2/3, y₂ = −1. sin x = 2/3: x = (−1)^n arcsin (2/3) + πn; sin x = −1: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) sin² x = 1 − cos² x: 4 − 4 cos² x − cos x − 1 = 0, 4 cos² x + cos x − 3 = 0, D = 49, y = (−1 ± 7)/8, y₁ = 3/4, y₂ = −1. cos x = 3/4: x = ±arccos (3/4) + 2πn; cos x = −1: x = π + 2πn, n ∈ Z.
4) 2 − 2 cos² x + 3 cos x = 0, 2 cos² x − 3 cos x − 2 = 0, D = 25, y = (3 ± 5)/4, y₁ = 2 (не подходит), y₂ = −1/2. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) π/2 + 2πn; 2. (−1)^n arcsin (2/3) + πn, −π/2 + 2πn; 3) ±arccos (3/4) + 2πn, π + 2πn; 4) ±2π/3 + 2πn.
622. Решить уравнение:
1) tg² x = 2;
2) tg x = ctg x;
3) tg² x − 3 tg x − 4 = 0;
4) tg² x − tg x + 1 = 0.
1) tg² x = 2;
2) tg x = ctg x;
3) tg² x − 3 tg x − 4 = 0;
4) tg² x − tg x + 1 = 0.
1) tg x = ±√2; x = ±arctg √2 + πn, n ∈ Z.
2) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0. Заменяя ctg x = 1/tg x и умножая на tg x ≠ 0, получаем tg² x = 1, tg x = ±1; x = π/4 + πn/2, n ∈ Z (в этих точках sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0).
3) Пусть y = tg x: y² − 3y − 4 = 0, y₁ = 4, y₂ = −1. tg x = 4: x = arctg 4 + πn; tg x = −1: x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
4) y² − y + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0, корней нет.
Ответ: 1) ±arctg √2 + πn; 2) π/4 + πn/2; 3) arctg 4 + πn, −π/4 + πn; 4) корней нет.
2) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0. Заменяя ctg x = 1/tg x и умножая на tg x ≠ 0, получаем tg² x = 1, tg x = ±1; x = π/4 + πn/2, n ∈ Z (в этих точках sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0).
3) Пусть y = tg x: y² − 3y − 4 = 0, y₁ = 4, y₂ = −1. tg x = 4: x = arctg 4 + πn; tg x = −1: x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
4) y² − y + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0, корней нет.
Ответ: 1) ±arctg √2 + πn; 2) π/4 + πn/2; 3) arctg 4 + πn, −π/4 + πn; 4) корней нет.
623. Решить уравнение:
1) 1 + 7 cos² x = 3 sin 2x;
2) 3 + sin 2x = 4 sin² x;
3) cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0;
4) 3 cos 2x + sin² x + 5 sin x cos x = 0.
1) 1 + 7 cos² x = 3 sin 2x;
2) 3 + sin 2x = 4 sin² x;
3) cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0;
4) 3 cos 2x + sin² x + 5 sin x cos x = 0.
Все уравнения сводятся к однородным второго порядка. Значение cos x = 0 корнем не является (тогда и sin x = 0, что невозможно), поэтому можно делить на cos² x.
1) 1 = sin² x + cos² x, sin 2x = 2 sin x cos x: sin² x + 8 cos² x − 6 sin x cos x = 0. Делим на cos² x: tg² x − 6 tg x + 8 = 0, tg x = 2 или tg x = 4. x = arctg 2 + πn, x = arctg 4 + πn, n ∈ Z.
2) 3 sin² x + 3 cos² x + 2 sin x cos x − 4 sin² x = 0, то есть sin² x − 2 sin x cos x − 3 cos² x = 0. tg² x − 2 tg x − 3 = 0, tg x = 3 или tg x = −1. x = arctg 3 + πn, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
3) cos 2x = cos² x − sin² x: 2 cos² x − sin² x + sin x cos x = 0, то есть sin² x − sin x cos x − 2 cos² x = 0. tg² x − tg x − 2 = 0, tg x = 2 или tg x = −1. x = arctg 2 + πn, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
4) 3 cos² x − 3 sin² x + sin² x + 5 sin x cos x = 0, то есть 2 sin² x − 5 sin x cos x − 3 cos² x = 0. 2 tg² x − 5 tg x − 3 = 0, D = 49, tg x = (5 ± 7)/4: tg x = 3 или tg x = −1/2. x = arctg 3 + πn, x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
1) 1 = sin² x + cos² x, sin 2x = 2 sin x cos x: sin² x + 8 cos² x − 6 sin x cos x = 0. Делим на cos² x: tg² x − 6 tg x + 8 = 0, tg x = 2 или tg x = 4. x = arctg 2 + πn, x = arctg 4 + πn, n ∈ Z.
2) 3 sin² x + 3 cos² x + 2 sin x cos x − 4 sin² x = 0, то есть sin² x − 2 sin x cos x − 3 cos² x = 0. tg² x − 2 tg x − 3 = 0, tg x = 3 или tg x = −1. x = arctg 3 + πn, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
3) cos 2x = cos² x − sin² x: 2 cos² x − sin² x + sin x cos x = 0, то есть sin² x − sin x cos x − 2 cos² x = 0. tg² x − tg x − 2 = 0, tg x = 2 или tg x = −1. x = arctg 2 + πn, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
4) 3 cos² x − 3 sin² x + sin² x + 5 sin x cos x = 0, то есть 2 sin² x − 5 sin x cos x − 3 cos² x = 0. 2 tg² x − 5 tg x − 3 = 0, D = 49, tg x = (5 ± 7)/4: tg x = 3 или tg x = −1/2. x = arctg 3 + πn, x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
624. Решить уравнение:
1) √3 cos x + sin x = 0;
2) cos x = sin x;
3) sin x = 2 cos x;
4) 2 sin x + cos x = 0.
1) √3 cos x + sin x = 0;
2) cos x = sin x;
3) sin x = 2 cos x;
4) 2 sin x + cos x = 0.
Однородные уравнения первого порядка. Если cos x = 0, то из уравнения следовало бы sin x = 0, что невозможно, поэтому делим на cos x.
1) tg x = −√3; x = −π/3 + πn, n ∈ Z.
2) tg x = 1; x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3) tg x = 2; x = arctg 2 + πn, n ∈ Z.
4) 2 tg x = −1, tg x = −1/2; x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
1) tg x = −√3; x = −π/3 + πn, n ∈ Z.
2) tg x = 1; x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3) tg x = 2; x = arctg 2 + πn, n ∈ Z.
4) 2 tg x = −1, tg x = −1/2; x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
625. Решить уравнение:
1) sin x − cos x = 1;
2) sin x + cos x = 1;
3) √3 sin x + cos x = 2;
4) sin 3x + cos 3x = √2.
1) sin x − cos x = 1;
2) sin x + cos x = 1;
3) √3 sin x + cos x = 2;
4) sin 3x + cos 3x = √2.
Применяем метод вспомогательного угла.
1) sin x − cos x = √2 sin (x − π/4) = 1, sin (x − π/4) = √2/2. Тогда x − π/4 = π/4 + 2πn или x − π/4 = 3π/4 + 2πn, то есть x = π/2 + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z. Проверка: x = π/2: 1 − 0 = 1; x = π: 0 + 1 = 1.
2) sin x + cos x = √2 sin (x + π/4) = 1, sin (x + π/4) = √2/2. x + π/4 = π/4 + 2πn или x + π/4 = 3π/4 + 2πn, откуда x = 2πn, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) Делим на 2: (√3/2) sin x + (1/2) cos x = 1, то есть sin (x + π/6) = 1. x + π/6 = π/2 + 2πn, x = π/3 + 2πn, n ∈ Z.
4) sin 3x + cos 3x = √2 sin (3x + π/4) = √2, sin (3x + π/4) = 1. 3x + π/4 = π/2 + 2πn, 3x = π/4 + 2πn, x = π/12 + 2πn/3, n ∈ Z.
1) sin x − cos x = √2 sin (x − π/4) = 1, sin (x − π/4) = √2/2. Тогда x − π/4 = π/4 + 2πn или x − π/4 = 3π/4 + 2πn, то есть x = π/2 + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z. Проверка: x = π/2: 1 − 0 = 1; x = π: 0 + 1 = 1.
2) sin x + cos x = √2 sin (x + π/4) = 1, sin (x + π/4) = √2/2. x + π/4 = π/4 + 2πn или x + π/4 = 3π/4 + 2πn, откуда x = 2πn, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) Делим на 2: (√3/2) sin x + (1/2) cos x = 1, то есть sin (x + π/6) = 1. x + π/6 = π/2 + 2πn, x = π/3 + 2πn, n ∈ Z.
4) sin 3x + cos 3x = √2 sin (3x + π/4) = √2, sin (3x + π/4) = 1. 3x + π/4 = π/2 + 2πn, 3x = π/4 + 2πn, x = π/12 + 2πn/3, n ∈ Z.
626. Решить уравнение:
1) cos x = cos 3x;
2) sin 5x = sin x;
3) sin 2x = cos 3x;
4) sin x + cos 3x = 0.
1) cos x = cos 3x;
2) sin 5x = sin x;
3) sin 2x = cos 3x;
4) sin x + cos 3x = 0.
1) cos x − cos 3x = 0; по формуле разности косинусов cos x − cos 3x = 2 sin 2x sin x. Получаем sin 2x sin x = 0. sin x = 0: x = πn; sin 2x = 0: x = πn/2 (эта серия содержит первую). Ответ: x = πn/2, n ∈ Z.
2) sin 5x − sin x = 2 cos 3x sin 2x = 0. cos 3x = 0: 3x = π/2 + πn, x = π/6 + πn/3; sin 2x = 0: x = πn/2. Ответ: x = π/6 + πn/3, x = πn/2, n ∈ Z.
3) sin 2x = cos (π/2 − 2x), поэтому cos 3x − cos (π/2 − 2x) = 0, то есть −2 sin (x/2 + π/4) sin (5x/2 − π/4) = 0.
sin (x/2 + π/4) = 0: x/2 + π/4 = πk, x = −π/2 + 2πk.
sin (5x/2 − π/4) = 0: 5x/2 = π/4 + πn, x = π/10 + 2πn/5.
Ответ: x = −π/2 + 2πk, x = π/10 + 2πn/5, k, n ∈ Z.
4) sin x = cos (π/2 − x): cos 3x + cos (π/2 − x) = 2 cos (x + π/4) cos (2x − π/4) = 0.
cos (x + π/4) = 0: x = π/4 + πn.
cos (2x − π/4) = 0: 2x − π/4 = π/2 + πn, x = 3π/8 + πn/2 (то же, что −π/8 + πn/2).
Ответ: x = π/4 + πn, x = 3π/8 + πn/2, n ∈ Z.
2) sin 5x − sin x = 2 cos 3x sin 2x = 0. cos 3x = 0: 3x = π/2 + πn, x = π/6 + πn/3; sin 2x = 0: x = πn/2. Ответ: x = π/6 + πn/3, x = πn/2, n ∈ Z.
3) sin 2x = cos (π/2 − 2x), поэтому cos 3x − cos (π/2 − 2x) = 0, то есть −2 sin (x/2 + π/4) sin (5x/2 − π/4) = 0.
sin (x/2 + π/4) = 0: x/2 + π/4 = πk, x = −π/2 + 2πk.
sin (5x/2 − π/4) = 0: 5x/2 = π/4 + πn, x = π/10 + 2πn/5.
Ответ: x = −π/2 + 2πk, x = π/10 + 2πn/5, k, n ∈ Z.
4) sin x = cos (π/2 − x): cos 3x + cos (π/2 − x) = 2 cos (x + π/4) cos (2x − π/4) = 0.
cos (x + π/4) = 0: x = π/4 + πn.
cos (2x − π/4) = 0: 2x − π/4 = π/2 + πn, x = 3π/8 + πn/2 (то же, что −π/8 + πn/2).
Ответ: x = π/4 + πn, x = 3π/8 + πn/2, n ∈ Z.
627. Решить уравнение:
1) cos 3x − cos 5x = sin 4x;
2) sin 7x − sin x = cos 4x;
3) cos x + cos 3x = 4 cos 2x;
4) sin² x − cos² x = cos 4x.
1) cos 3x − cos 5x = sin 4x;
2) sin 7x − sin x = cos 4x;
3) cos x + cos 3x = 4 cos 2x;
4) sin² x − cos² x = cos 4x.
1) cos 3x − cos 5x = 2 sin 4x sin x. Уравнение: 2 sin 4x sin x − sin 4x = 0, sin 4x (2 sin x − 1) = 0. sin 4x = 0: x = πn/4; sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn, n ∈ Z.
2) sin 7x − sin x = 2 cos 4x sin 3x. Уравнение: cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0. cos 4x = 0: 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4; sin 3x = 1/2: 3x = (−1)^n·π/6 + πn, x = (−1)^n·π/18 + πn/3, n ∈ Z.
3) cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x. Уравнение: 2 cos 2x cos x − 4 cos 2x = 0, cos 2x (cos x − 2) = 0. Так как cos x − 2 ≠ 0, остаётся cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) sin² x − cos² x = −cos 2x, поэтому −cos 2x = cos 4x, cos 4x + cos 2x = 0, 2 cos 3x cos x = 0. cos 3x = 0: x = π/6 + πn/3; cos x = 0: x = π/2 + πn, эта серия входит в предыдущую (при n = 3k + 1). Ответ: x = π/6 + πn/3, n ∈ Z.
2) sin 7x − sin x = 2 cos 4x sin 3x. Уравнение: cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0. cos 4x = 0: 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4; sin 3x = 1/2: 3x = (−1)^n·π/6 + πn, x = (−1)^n·π/18 + πn/3, n ∈ Z.
3) cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x. Уравнение: 2 cos 2x cos x − 4 cos 2x = 0, cos 2x (cos x − 2) = 0. Так как cos x − 2 ≠ 0, остаётся cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
4) sin² x − cos² x = −cos 2x, поэтому −cos 2x = cos 4x, cos 4x + cos 2x = 0, 2 cos 3x cos x = 0. cos 3x = 0: x = π/6 + πn/3; cos x = 0: x = π/2 + πn, эта серия входит в предыдущую (при n = 3k + 1). Ответ: x = π/6 + πn/3, n ∈ Z.
628. Решить уравнение:
1) (tg x − √3)(2 sin (x/12) + 1) = 0;
2) (1 − √2 cos (x/4))(1 + √3 tg x) = 0;
3) (2 sin (x + π/6) − 1)(2 tg x + 1) = 0;
4) (1 + √2 cos (x + π/4))(tg x − 3) = 0.
1) (tg x − √3)(2 sin (x/12) + 1) = 0;
2) (1 − √2 cos (x/4))(1 + √3 tg x) = 0;
3) (2 sin (x + π/6) − 1)(2 tg x + 1) = 0;
4) (1 + √2 cos (x + π/4))(tg x − 3) = 0.
Каждый корень первого множителя должен лежать в области определения второго, и наоборот; tg x определён при cos x ≠ 0.
1) tg x = √3: x = π/3 + πn. sin (x/12) = −1/2: x/12 = (−1)^(n+1)·π/6 + πn, x = (−1)^(n+1)·2π + 12πn; здесь x = ±2π + 12πn, cos x = 1 ≠ 0, tg x определён. Ответ: x = π/3 + πn, x = (−1)^(n+1)·2π + 12πn, n ∈ Z.
2) cos (x/4) = 1/√2: x/4 = ±π/4 + 2πn, x = ±π + 8πn; в этих точках cos x = −1, tg x определён. tg x = −1/√3: x = −π/6 + πn. Ответ: x = ±π + 8πn, x = −π/6 + πn, n ∈ Z.
3) sin (x + π/6) = 1/2: x + π/6 = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn, то есть x = 2πn, x = 2π/3 + 2πn (cos x ≠ 0, подходят). tg x = −1/2: x = −arctg (1/2) + πn. Ответ: x = 2πn, x = 2π/3 + 2πn, x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
4) cos (x + π/4) = −√2/2: x + π/4 = ±3π/4 + 2πn, откуда x = π/2 + 2πn или x = −π + 2πn. При x = π/2 + 2πn имеем cos x = 0, tg x не определён, эти значения посторонние. x = −π + 2πn, то есть x = π + 2πn, подходит (cos x = −1). tg x = 3: x = arctg 3 + πn. Ответ: x = π + 2πn, x = arctg 3 + πn, n ∈ Z.
1) tg x = √3: x = π/3 + πn. sin (x/12) = −1/2: x/12 = (−1)^(n+1)·π/6 + πn, x = (−1)^(n+1)·2π + 12πn; здесь x = ±2π + 12πn, cos x = 1 ≠ 0, tg x определён. Ответ: x = π/3 + πn, x = (−1)^(n+1)·2π + 12πn, n ∈ Z.
2) cos (x/4) = 1/√2: x/4 = ±π/4 + 2πn, x = ±π + 8πn; в этих точках cos x = −1, tg x определён. tg x = −1/√3: x = −π/6 + πn. Ответ: x = ±π + 8πn, x = −π/6 + πn, n ∈ Z.
3) sin (x + π/6) = 1/2: x + π/6 = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn, то есть x = 2πn, x = 2π/3 + 2πn (cos x ≠ 0, подходят). tg x = −1/2: x = −arctg (1/2) + πn. Ответ: x = 2πn, x = 2π/3 + 2πn, x = −arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.
4) cos (x + π/4) = −√2/2: x + π/4 = ±3π/4 + 2πn, откуда x = π/2 + 2πn или x = −π + 2πn. При x = π/2 + 2πn имеем cos x = 0, tg x не определён, эти значения посторонние. x = −π + 2πn, то есть x = π + 2πn, подходит (cos x = −1). tg x = 3: x = arctg 3 + πn. Ответ: x = π + 2πn, x = arctg 3 + πn, n ∈ Z.
629. Решить уравнение:
1) √3 sin x cos x = sin² x;
2) 2 sin x cos x = cos x;
3) sin 4x + sin² 2x = 0;
4) sin 2x + 2 cos² x = 0.
1) √3 sin x cos x = sin² x;
2) 2 sin x cos x = cos x;
3) sin 4x + sin² 2x = 0;
4) sin 2x + 2 cos² x = 0.
1) sin x (√3 cos x − sin x) = 0. sin x = 0: x = πn; √3 cos x = sin x, tg x = √3 (cos x = 0 не даёт корней): x = π/3 + πn, n ∈ Z.
2) cos x (2 sin x − 1) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn, n ∈ Z.
3) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x: sin 2x (2 cos 2x + sin 2x) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. 2 cos 2x + sin 2x = 0: cos 2x = 0 невозможно (тогда sin 2x = 0), делим на cos 2x: tg 2x = −2, 2x = −arctg 2 + πn, x = −(1/2) arctg 2 + πn/2, n ∈ Z.
4) 2 sin x cos x + 2 cos² x = 2 cos x (sin x + cos x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x + cos x = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
2) cos x (2 sin x − 1) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn, n ∈ Z.
3) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x: sin 2x (2 cos 2x + sin 2x) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. 2 cos 2x + sin 2x = 0: cos 2x = 0 невозможно (тогда sin 2x = 0), делим на cos 2x: tg 2x = −2, 2x = −arctg 2 + πn, x = −(1/2) arctg 2 + πn/2, n ∈ Z.
4) 2 sin x cos x + 2 cos² x = 2 cos x (sin x + cos x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x + cos x = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
630. Решить уравнение:
1) 2 sin² x = 1 + (1/3) sin 4x;
2) 2 cos² 2x − 1 = sin 4x;
3) 2 cos² 2x + 3 cos² x = 2;
4) (sin x + cos x)² = 1 + cos x.
1) 2 sin² x = 1 + (1/3) sin 4x;
2) 2 cos² 2x − 1 = sin 4x;
3) 2 cos² 2x + 3 cos² x = 2;
4) (sin x + cos x)² = 1 + cos x.
1) 2 sin² x = 1 − cos 2x, sin 4x = 2 sin 2x cos 2x. Тогда 1 − cos 2x = 1 + (2/3) sin 2x cos 2x, то есть cos 2x ((2/3) sin 2x + 1) = 0. sin 2x = −3/2 невозможно, значит cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
2) 2 cos² 2x − 1 = cos 4x, поэтому cos 4x = sin 4x. cos 4x = 0 не подходит (тогда sin 4x = ±1), делим: tg 4x = 1, 4x = π/4 + πn, x = π/16 + πn/4, n ∈ Z.
3) Пусть c = cos 2x, cos² x = (1 + c)/2. 2c² + 3(1 + c)/2 = 2, 4c² + 3c − 1 = 0, D = 25, c = (−3 ± 5)/8, c₁ = 1/4, c₂ = −1. cos 2x = −1: 2x = π + 2πn, x = π/2 + πn; cos 2x = 1/4: x = ±(1/2) arccos (1/4) + πn, n ∈ Z.
4) 1 + sin 2x = 1 + cos x, 2 sin x cos x − cos x = 0, cos x (2 sin x − 1) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn, n ∈ Z.
2) 2 cos² 2x − 1 = cos 4x, поэтому cos 4x = sin 4x. cos 4x = 0 не подходит (тогда sin 4x = ±1), делим: tg 4x = 1, 4x = π/4 + πn, x = π/16 + πn/4, n ∈ Z.
3) Пусть c = cos 2x, cos² x = (1 + c)/2. 2c² + 3(1 + c)/2 = 2, 4c² + 3c − 1 = 0, D = 25, c = (−3 ± 5)/8, c₁ = 1/4, c₂ = −1. cos 2x = −1: 2x = π + 2πn, x = π/2 + πn; cos 2x = 1/4: x = ±(1/2) arccos (1/4) + πn, n ∈ Z.
4) 1 + sin 2x = 1 + cos x, 2 sin x cos x − cos x = 0, cos x (2 sin x − 1) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn; sin x = 1/2: x = (−1)^n·π/6 + πn, n ∈ Z.
631. Решить уравнение:
1) 2 sin 2x − 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2) sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3) sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4) sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.
1) 2 sin 2x − 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2) sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3) sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4) sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.
Замена t = sin x + cos x = √2 sin (x + π/4), |t| ≤ √2; t² = 1 + sin 2x, sin 2x = t² − 1.
1) 2 (t² − 1) − 3t + 2 = 0, 2t² − 3t = 0, t = 0 или t = 3/2. Но 3/2 > √2, не подходит. t = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
2) t² − 1 + 3 = 3t, t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2; t = 2 > √2 не подходит. t = 1: sin (x + π/4) = √2/2, x + π/4 = π/4 + 2πn или 3π/4 + 2πn, x = 2πn, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) t² − 1 + 4t + 4 = 0, t² + 4t + 3 = 0, t = −1 или t = −3 (не подходит, |t| ≤ √2). t = −1: sin (x + π/4) = −√2/2, x + π/4 = −π/4 + 2πn или −3π/4 + 2πn, x = −π/2 + 2πn, x = −π + 2πn, n ∈ Z.
4) t² − 1 + 5t + 5 = 0, t² + 5t + 4 = 0, t = −1 или t = −4 (не подходит). Как в пункте 3: x = −π/2 + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z.
1) 2 (t² − 1) − 3t + 2 = 0, 2t² − 3t = 0, t = 0 или t = 3/2. Но 3/2 > √2, не подходит. t = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
2) t² − 1 + 3 = 3t, t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2; t = 2 > √2 не подходит. t = 1: sin (x + π/4) = √2/2, x + π/4 = π/4 + 2πn или 3π/4 + 2πn, x = 2πn, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3) t² − 1 + 4t + 4 = 0, t² + 4t + 3 = 0, t = −1 или t = −3 (не подходит, |t| ≤ √2). t = −1: sin (x + π/4) = −√2/2, x + π/4 = −π/4 + 2πn или −3π/4 + 2πn, x = −π/2 + 2πn, x = −π + 2πn, n ∈ Z.
4) t² − 1 + 5t + 5 = 0, t² + 5t + 4 = 0, t = −1 или t = −4 (не подходит). Как в пункте 3: x = −π/2 + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z.