Глава VI. § 37*. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств — с. 196
648. Решить неравенство:
1) cos x ≥ √2/2;
2) cos x < √3/2;
3) cos x > −√3/2;
4) cos x ≤ −√2/2.
1) cos x ≥ √2/2;
2) cos x < √3/2;
3) cos x > −√3/2;
4) cos x ≤ −√2/2.
Используем единичную окружность: cos x — абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) на угол x.
1) cos x = √2/2 при x = ±π/4. Абсциссу не меньше √2/2 имеют точки дуги от −π/4 до π/4.
Ответ: −π/4 + 2πn ≤ x ≤ π/4 + 2πn, n ∈ Z.
2) cos x = √3/2 при x = ±π/6. Абсциссу меньше √3/2 имеют точки дуги от π/6 до 2π − π/6 = 11π/6 (концы не входят).
Ответ: π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn, n ∈ Z.
3) cos x = −√3/2 при x = ±5π/6. Абсциссу больше −√3/2 имеют точки дуги от −5π/6 до 5π/6 (концы не входят).
Ответ: −5π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
4) cos x = −√2/2 при x = ±3π/4. Абсциссу не больше −√2/2 имеют точки дуги от 3π/4 до 5π/4.
Ответ: 3π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn, n ∈ Z.
1) cos x = √2/2 при x = ±π/4. Абсциссу не меньше √2/2 имеют точки дуги от −π/4 до π/4.
Ответ: −π/4 + 2πn ≤ x ≤ π/4 + 2πn, n ∈ Z.
2) cos x = √3/2 при x = ±π/6. Абсциссу меньше √3/2 имеют точки дуги от π/6 до 2π − π/6 = 11π/6 (концы не входят).
Ответ: π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn, n ∈ Z.
3) cos x = −√3/2 при x = ±5π/6. Абсциссу больше −√3/2 имеют точки дуги от −5π/6 до 5π/6 (концы не входят).
Ответ: −5π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
4) cos x = −√2/2 при x = ±3π/4. Абсциссу не больше −√2/2 имеют точки дуги от 3π/4 до 5π/4.
Ответ: 3π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn, n ∈ Z.
649. Решить неравенство:
1) cos x ≤ √3;
2) cos x < −2;
3) cos x ≥ 1;
4) cos x ≤ −1.
1) cos x ≤ √3;
2) cos x < −2;
3) cos x ≥ 1;
4) cos x ≤ −1.
Область значений косинуса — отрезок [−1; 1].
1) Так как √3 > 1, неравенство cos x ≤ √3 верно при любом x.
Ответ: x — любое действительное число.
2) Так как cos x ≥ −1 > −2, неравенство cos x < −2 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3) Неравенство cos x ≥ 1 выполняется только при cos x = 1.
Ответ: x = 2πn, n ∈ Z.
4) Неравенство cos x ≤ −1 выполняется только при cos x = −1.
Ответ: x = π + 2πn, n ∈ Z.
1) Так как √3 > 1, неравенство cos x ≤ √3 верно при любом x.
Ответ: x — любое действительное число.
2) Так как cos x ≥ −1 > −2, неравенство cos x < −2 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3) Неравенство cos x ≥ 1 выполняется только при cos x = 1.
Ответ: x = 2πn, n ∈ Z.
4) Неравенство cos x ≤ −1 выполняется только при cos x = −1.
Ответ: x = π + 2πn, n ∈ Z.
650. Решить неравенство:
1) sin x > 1/2;
2) sin x ≤ √2/2;
3) sin x ≤ −√2/2;
4) sin x > −√3/2.
1) sin x > 1/2;
2) sin x ≤ √2/2;
3) sin x ≤ −√2/2;
4) sin x > −√3/2.
Используем единичную окружность: sin x — ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) на угол x.
1) sin x = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6. Ординату больше 1/2 имеют точки дуги между ними.
Ответ: π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) sin x = √2/2 при x = π/4 и x = 3π/4. Ординату не больше √2/2 имеют точки дуги от 3π/4 до π/4 + 2π = 9π/4.
Ответ: 3π/4 + 2πn ≤ x ≤ 9π/4 + 2πn, n ∈ Z (или −5π/4 + 2πn ≤ x ≤ π/4 + 2πn).
3) sin x = −√2/2 при x = −π/4 и x = −3π/4. Ординату не больше −√2/2 имеют точки нижней дуги между ними.
Ответ: −3π/4 + 2πn ≤ x ≤ −π/4 + 2πn, n ∈ Z.
4) sin x = −√3/2 при x = −π/3 и x = 4π/3. Ординату больше −√3/2 имеют точки дуги от −π/3 до 4π/3 (концы не входят).
Ответ: −π/3 + 2πn < x < 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
1) sin x = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6. Ординату больше 1/2 имеют точки дуги между ними.
Ответ: π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) sin x = √2/2 при x = π/4 и x = 3π/4. Ординату не больше √2/2 имеют точки дуги от 3π/4 до π/4 + 2π = 9π/4.
Ответ: 3π/4 + 2πn ≤ x ≤ 9π/4 + 2πn, n ∈ Z (или −5π/4 + 2πn ≤ x ≤ π/4 + 2πn).
3) sin x = −√2/2 при x = −π/4 и x = −3π/4. Ординату не больше −√2/2 имеют точки нижней дуги между ними.
Ответ: −3π/4 + 2πn ≤ x ≤ −π/4 + 2πn, n ∈ Z.
4) sin x = −√3/2 при x = −π/3 и x = 4π/3. Ординату больше −√3/2 имеют точки дуги от −π/3 до 4π/3 (концы не входят).
Ответ: −π/3 + 2πn < x < 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
651. Решить неравенство:
1) sin x ≥ −√2;
2) sin x > 1;
3) sin x ≤ −1;
4) sin x ≥ 1.
1) sin x ≥ −√2;
2) sin x > 1;
3) sin x ≤ −1;
4) sin x ≥ 1.
Область значений синуса — отрезок [−1; 1].
1) Так как −√2 < −1, неравенство sin x ≥ −√2 верно при любом x.
Ответ: x — любое действительное число.
2) Так как sin x ≤ 1, неравенство sin x > 1 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3) Неравенство sin x ≤ −1 выполняется только при sin x = −1.
Ответ: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) Неравенство sin x ≥ 1 выполняется только при sin x = 1.
Ответ: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
1) Так как −√2 < −1, неравенство sin x ≥ −√2 верно при любом x.
Ответ: x — любое действительное число.
2) Так как sin x ≤ 1, неравенство sin x > 1 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3) Неравенство sin x ≤ −1 выполняется только при sin x = −1.
Ответ: x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) Неравенство sin x ≥ 1 выполняется только при sin x = 1.
Ответ: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
652. Решить неравенство:
1) √2 cos 2x ≤ 1;
2) 2 sin 3x > −1;
3) sin(x + π/4) ≤ √2/2;
4) cos(x − π/6) ≥ √3/2.
1) √2 cos 2x ≤ 1;
2) 2 sin 3x > −1;
3) sin(x + π/4) ≤ √2/2;
4) cos(x − π/6) ≥ √3/2.
1) cos 2x ≤ √2/2. Решения для t = 2x: π/4 + 2πn ≤ t ≤ 7π/4 + 2πn. Значит π/4 + 2πn ≤ 2x ≤ 7π/4 + 2πn.
Ответ: π/8 + πn ≤ x ≤ 7π/8 + πn, n ∈ Z.
2) sin 3x > −1/2. Для t = 3x: −π/6 + 2πn < t < 7π/6 + 2πn. Делим на 3.
Ответ: −π/18 + 2πn/3 < x < 7π/18 + 2πn/3, n ∈ Z.
3) Для t = x + π/4 неравенство sin t ≤ √2/2 даёт 3π/4 + 2πn ≤ t ≤ 9π/4 + 2πn. Вычитаем π/4.
Ответ: π/2 + 2πn ≤ x ≤ 2π + 2πn, n ∈ Z.
4) Для t = x − π/6 неравенство cos t ≥ √3/2 даёт −π/6 + 2πn ≤ t ≤ π/6 + 2πn. Прибавляем π/6.
Ответ: 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: π/8 + πn ≤ x ≤ 7π/8 + πn, n ∈ Z.
2) sin 3x > −1/2. Для t = 3x: −π/6 + 2πn < t < 7π/6 + 2πn. Делим на 3.
Ответ: −π/18 + 2πn/3 < x < 7π/18 + 2πn/3, n ∈ Z.
3) Для t = x + π/4 неравенство sin t ≤ √2/2 даёт 3π/4 + 2πn ≤ t ≤ 9π/4 + 2πn. Вычитаем π/4.
Ответ: π/2 + 2πn ≤ x ≤ 2π + 2πn, n ∈ Z.
4) Для t = x − π/6 неравенство cos t ≥ √3/2 даёт −π/6 + 2πn ≤ t ≤ π/6 + 2πn. Прибавляем π/6.
Ответ: 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn, n ∈ Z.
653. Решить неравенство:
1) cos(x/3 + 2) ≥ 1/2;
2) sin(x/4 − 3) < −√2/2.
1) cos(x/3 + 2) ≥ 1/2;
2) sin(x/4 − 3) < −√2/2.
1) Для t = x/3 + 2: −π/3 + 2πn ≤ t ≤ π/3 + 2πn. Тогда −π/3 − 2 + 2πn ≤ x/3 ≤ π/3 − 2 + 2πn. Умножаем на 3.
Ответ: −π − 6 + 6πn ≤ x ≤ π − 6 + 6πn, n ∈ Z.
2) Для t = x/4 − 3: −3π/4 + 2πn < t < −π/4 + 2πn. Тогда 3 − 3π/4 + 2πn < x/4 < 3 − π/4 + 2πn. Умножаем на 4.
Ответ: 12 − 3π + 8πn < x < 12 − π + 8πn, n ∈ Z.
Ответ: −π − 6 + 6πn ≤ x ≤ π − 6 + 6πn, n ∈ Z.
2) Для t = x/4 − 3: −3π/4 + 2πn < t < −π/4 + 2πn. Тогда 3 − 3π/4 + 2πn < x/4 < 3 − π/4 + 2πn. Умножаем на 4.
Ответ: 12 − 3π + 8πn < x < 12 − π + 8πn, n ∈ Z.
654. Решить неравенство:
1) sin² x + 2 sin x > 0;
2) cos² x − cos x < 0.
1) sin² x + 2 sin x > 0;
2) cos² x − cos x < 0.
1) sin x (sin x + 2) > 0. Так как sin x + 2 ≥ 1 > 0, неравенство равносильно sin x > 0.
Ответ: 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z.
2) cos x (cos x − 1) < 0. Так как cos x − 1 ≤ 0, произведение отрицательно, если cos x − 1 < 0 (то есть cos x ≠ 1) и cos x > 0. Итак, 0 < cos x < 1: это дуга −π/2 < x < π/2 без точки x = 0 (по модулю 2π).
Ответ: −π/2 + 2πn < x < 2πn и 2πn < x < π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z.
2) cos x (cos x − 1) < 0. Так как cos x − 1 ≤ 0, произведение отрицательно, если cos x − 1 < 0 (то есть cos x ≠ 1) и cos x > 0. Итак, 0 < cos x < 1: это дуга −π/2 < x < π/2 без точки x = 0 (по модулю 2π).
Ответ: −π/2 + 2πn < x < 2πn и 2πn < x < π/2 + 2πn, n ∈ Z.