Глава VI. § 35. Уравнение tg х = а — с. 184
614. Решить уравнение:
1) arctg (5x − 1) = π/4;
2) arctg (3 − 5x) = −π/3.
1) arctg (5x − 1) = π/4;
2) arctg (3 − 5x) = −π/3.
Если arctg u = α, где α ∈ (−π/2; π/2), то u = tg α.
1) 5x − 1 = tg(π/4) = 1; 5x = 2; x = 2/5.
2) 3 − 5x = tg(−π/3) = −√3; 5x = 3 + √3; x = (3 + √3)/5.
Ответ: 1) 2/5; 2. (3 + √3)/5.
1) 5x − 1 = tg(π/4) = 1; 5x = 2; x = 2/5.
2) 3 − 5x = tg(−π/3) = −√3; 5x = 3 + √3; x = (3 + √3)/5.
Ответ: 1) 2/5; 2. (3 + √3)/5.
615. Доказать, что tg (arctg a) = a при любом a. Вычислить:
1) tg (arctg 2,1);
2) tg (arctg (−0,3));
3) tg (π − arctg 7);
4) ctg (π/2 + arctg 6).
1) tg (arctg 2,1);
2) tg (arctg (−0,3));
3) tg (π − arctg 7);
4) ctg (π/2 + arctg 6).
Доказательство. По определению arctg a — число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Значит, tg (arctg a) = a для любого действительного a.
1) tg (arctg 2,1) = 2,1.
2) tg (arctg (−0,3)) = −0,3.
3) tg (π − arctg 7) = −tg (arctg 7) = −7.
4) ctg (π/2 + arctg 6) = −tg (arctg 6) = −6 (формула приведения ctg (π/2 + α) = −tg α).
Ответ: 1) 2,1; 2) −0,3; 3) −7; 4) −6.
1) tg (arctg 2,1) = 2,1.
2) tg (arctg (−0,3)) = −0,3.
3) tg (π − arctg 7) = −tg (arctg 7) = −7.
4) ctg (π/2 + arctg 6) = −tg (arctg 6) = −6 (формула приведения ctg (π/2 + α) = −tg α).
Ответ: 1) 2,1; 2) −0,3; 3) −7; 4) −6.
616. Доказать, что arctg (tg α) = α при −π/2 < α < π/2. Вычислить:
1) 3 arctg (tg π/7);
2) 4 arctg (tg 0,5);
3) arctg (tg 7π/8);
4) arctg (tg 13).
1) 3 arctg (tg π/7);
2) 4 arctg (tg 0,5);
3) arctg (tg 7π/8);
4) arctg (tg 13).
Доказательство. Пусть −π/2 < α < π/2. Число α лежит в интервале (−π/2; π/2) и его тангенс равен tg α. Но arctg (tg α) — это единственное число из этого интервала с тангенсом tg α (тангенс на нём возрастает и принимает каждое значение один раз). Значит, arctg (tg α) = α.
1) π/7 ∈ (−π/2; π/2), поэтому 3 arctg (tg π/7) = 3·π/7 = 3π/7.
2) 0,5 < π/2 ≈ 1,57, поэтому arctg (tg 0,5) = 0,5 и 4·0,5 = 2.
3) 7π/8 не лежит в (−π/2; π/2). Период тангенса π: tg (7π/8) = tg (7π/8 − π) = tg (−π/8), а −π/8 ∈ (−π/2; π/2). Значит, arctg (tg 7π/8) = −π/8.
4) tg 13 = tg (13 − 4π), 13 − 4π ≈ 13 − 12,566 = 0,434 ∈ (−π/2; π/2). Значит, arctg (tg 13) = 13 − 4π.
Ответ: 1) 3π/7; 2) 2; 3) −π/8; 4) 13 − 4π.
1) π/7 ∈ (−π/2; π/2), поэтому 3 arctg (tg π/7) = 3·π/7 = 3π/7.
2) 0,5 < π/2 ≈ 1,57, поэтому arctg (tg 0,5) = 0,5 и 4·0,5 = 2.
3) 7π/8 не лежит в (−π/2; π/2). Период тангенса π: tg (7π/8) = tg (7π/8 − π) = tg (−π/8), а −π/8 ∈ (−π/2; π/2). Значит, arctg (tg 7π/8) = −π/8.
4) tg 13 = tg (13 − 4π), 13 − 4π ≈ 13 − 12,566 = 0,434 ∈ (−π/2; π/2). Значит, arctg (tg 13) = 13 − 4π.
Ответ: 1) 3π/7; 2) 2; 3) −π/8; 4) 13 − 4π.
617. Вычислить:
1) arctg (ctg 5π/6);
2) arctg (ctg 3π/4);
3) arctg (2 sin 5π/6);
4) arctg (2 sin π/3).
1) arctg (ctg 5π/6);
2) arctg (ctg 3π/4);
3) arctg (2 sin 5π/6);
4) arctg (2 sin π/3).
1) ctg (5π/6) = −√3; arctg (−√3) = −π/3.
2) ctg (3π/4) = −1; arctg (−1) = −π/4.
3) 2 sin (5π/6) = 2·1/2 = 1; arctg 1 = π/4.
4) 2 sin (π/3) = 2·√3/2 = √3; arctg √3 = π/3.
Ответ: 1) −π/3; 2) −π/4; 3) π/4; 4) π/3.
2) ctg (3π/4) = −1; arctg (−1) = −π/4.
3) 2 sin (5π/6) = 2·1/2 = 1; arctg 1 = π/4.
4) 2 sin (π/3) = 2·√3/2 = √3; arctg √3 = π/3.
Ответ: 1) −π/3; 2) −π/4; 3) π/4; 4) π/3.
618. Доказать, что при любом действительном значении a справедливо равенство cos (arctg a) = 1/√(1 + a²).
Пусть φ = arctg a. Тогда tg φ = a и φ ∈ (−π/2; π/2), поэтому cos φ > 0.
Из тождества 1 + tg² φ = 1/cos² φ получаем cos² φ = 1/(1 + a²).
Так как cos φ > 0, то cos φ = 1/√(1 + a²), то есть cos (arctg a) = 1/√(1 + a²). Что и требовалось доказать.
Из тождества 1 + tg² φ = 1/cos² φ получаем cos² φ = 1/(1 + a²).
Так как cos φ > 0, то cos φ = 1/√(1 + a²), то есть cos (arctg a) = 1/√(1 + a²). Что и требовалось доказать.
619. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) tg x = 9;
2) tg x = −7,8.
1) tg x = 9;
2) tg x = −7,8.
1) x = arctg 9 + πn. Калькулятор (радианы) даёт arctg 9 ≈ 1,4601. Ответ: x ≈ 1,46 + πn, n ∈ Z.
2) x = arctg (−7,8) + πn = −arctg 7,8 + πn. Калькулятор даёт arctg 7,8 ≈ 1,4433. Ответ: x ≈ −1,44 + πn, n ∈ Z.
2) x = arctg (−7,8) + πn = −arctg 7,8 + πn. Калькулятор даёт arctg 7,8 ≈ 1,4433. Ответ: x ≈ −1,44 + πn, n ∈ Z.