Глава VI. § 34. Уравнение sin x = a — с. 179
600. Доказать, что arcsin (sin α) = α при −π/2 ≤ α ≤ π/2. Вычислить:
1) 7 arcsin (sin π/7);
2) 4 arcsin (sin 1/2);
3) arcsin (sin 6π/7);
4) arcsin (sin 5).
1) 7 arcsin (sin π/7);
2) 4 arcsin (sin 1/2);
3) arcsin (sin 6π/7);
4) arcsin (sin 5).
Доказательство. Число sin α ∈ [−1; 1], а α ∈ [−π/2; π/2] и его синус равен sin α. По определению арксинуса arcsin (sin α) = α.
1) π/7 ∈ [−π/2; π/2], поэтому 7 · π/7 = π.
2) 1/2 ∈ [−π/2; π/2], поэтому 4 · 1/2 = 2.
3) 6π/7 > π/2, поэтому sin 6π/7 = sin (π − 6π/7) = sin π/7, причём π/7 ∈ [−π/2; π/2]. Ответ: π/7.
4) 5 > π/2; sin 5 = sin (5 − 2π), 5 − 2π ≈ −1,28 ∈ [−π/2; π/2]. Ответ: 5 − 2π.
1) π/7 ∈ [−π/2; π/2], поэтому 7 · π/7 = π.
2) 1/2 ∈ [−π/2; π/2], поэтому 4 · 1/2 = 2.
3) 6π/7 > π/2, поэтому sin 6π/7 = sin (π − 6π/7) = sin π/7, причём π/7 ∈ [−π/2; π/2]. Ответ: π/7.
4) 5 > π/2; sin 5 = sin (5 − 2π), 5 − 2π ≈ −1,28 ∈ [−π/2; π/2]. Ответ: 5 − 2π.
601. Вычислить:
1) cos (arcsin 3/5);
2) cos (arcsin (−4/5));
3) cos (arcsin (−1/3));
4) cos (arcsin 1/4).
1) cos (arcsin 3/5);
2) cos (arcsin (−4/5));
3) cos (arcsin (−1/3));
4) cos (arcsin 1/4).
Так как arcsin a ∈ [−π/2; π/2], то cos (arcsin a) ≥ 0 и cos (arcsin a) = √(1 − a²).
1) √(1 − 9/25) = 4/5.
2) √(1 − 16/25) = 3/5.
3) √(1 − 1/9) = 2√2/3.
4) √(1 − 1/16) = √15/4.
1) √(1 − 9/25) = 4/5.
2) √(1 − 16/25) = 3/5.
3) √(1 − 1/9) = 2√2/3.
4) √(1 − 1/16) = √15/4.
602. Вычислить:
1) sin (arccos 2/3);
2) sin (arccos (−1/2)).
1) sin (arccos 2/3);
2) sin (arccos (−1/2)).
Так как arccos a ∈ [0; π], то sin (arccos a) ≥ 0 и sin (arccos a) = √(1 − a²).
1) √(1 − 4/9) = √5/3.
2) √(1 − 1/4) = √3/2. (Проверка: arccos (−1/2) = 2π/3, sin 2π/3 = √3/2.)
1) √(1 − 4/9) = √5/3.
2) √(1 − 1/4) = √3/2. (Проверка: arccos (−1/2) = 2π/3, sin 2π/3 = √3/2.)
603. Вычислить:
1) sin (arcsin 1/3 + arccos 2√2/3);
2) cos (arcsin 3/5 + arccos 4/5).
1) sin (arcsin 1/3 + arccos 2√2/3);
2) cos (arcsin 3/5 + arccos 4/5).
1) Пусть α = arcsin 1/3 ∈ [−π/2; π/2], β = arccos 2√2/3 ∈ [0; π]. sin α = 1/3, cos α = √(1 − 1/9) = 2√2/3; cos β = 2√2/3, sin β = √(1 − 8/9) = 1/3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = (1/3)(2√2/3) + (2√2/3)(1/3) = 4√2/9. Ответ: 4√2/9.
2) α = arcsin 3/5: sin α = 3/5, cos α = 4/5; β = arccos 4/5: cos β = 4/5, sin β = 3/5. cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β = 16/25 − 9/25 = 7/25. Ответ: 7/25.
2) α = arcsin 3/5: sin α = 3/5, cos α = 4/5; β = arccos 4/5: cos β = 4/5, sin β = 3/5. cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β = 16/25 − 9/25 = 7/25. Ответ: 7/25.
604. Решить уравнение:
1) arcsin (x/2 − 3) = π/6;
2) arcsin (3 − 2x) = −π/4.
1) arcsin (x/2 − 3) = π/6;
2) arcsin (3 − 2x) = −π/4.
Если arcsin u = t, то u = sin t (при t ∈ [−π/2; π/2]).
1) x/2 − 3 = sin π/6 = 1/2; x/2 = 7/2; x = 7. Аргумент 1/2 ∈ [−1; 1]. Ответ: x = 7.
2) 3 − 2x = sin (−π/4) = −√2/2; 2x = 3 + √2/2; x = (6 + √2)/4. Аргумент −√2/2 ∈ [−1; 1]. Ответ: x = (6 + √2)/4.
1) x/2 − 3 = sin π/6 = 1/2; x/2 = 7/2; x = 7. Аргумент 1/2 ∈ [−1; 1]. Ответ: x = 7.
2) 3 − 2x = sin (−π/4) = −√2/2; 2x = 3 + √2/2; x = (6 + √2)/4. Аргумент −√2/2 ∈ [−1; 1]. Ответ: x = (6 + √2)/4.
605. Доказать, что если 0 ≤ a ≤ 1, то 2 arcsin a = arccos (1 − 2a²).
Пусть t = arcsin a. Так как 0 ≤ a ≤ 1, то t ∈ [0; π/2], а sin t = a. Тогда 2t ∈ [0; π].
cos 2t = 1 − 2 sin² t = 1 − 2a².
Число 2t лежит в [0; π] и его косинус равен 1 − 2a² (это число принадлежит [−1; 1]), поэтому по определению арккосинуса 2t = arccos (1 − 2a²), то есть 2 arcsin a = arccos (1 − 2a²). Что и требовалось доказать.
cos 2t = 1 − 2 sin² t = 1 − 2a².
Число 2t лежит в [0; π] и его косинус равен 1 − 2a² (это число принадлежит [−1; 1]), поэтому по определению арккосинуса 2t = arccos (1 − 2a²), то есть 2 arcsin a = arccos (1 − 2a²). Что и требовалось доказать.
606. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) sin x = 0,65;
2) sin x = −0,31.
1) sin x = 0,65;
2) sin x = −0,31.
Используем x = (−1)^n arcsin a + πn, n ∈ Z.
1) arcsin 0,65 ≈ 0,71. x ≈ (−1)^n · 0,71 + πn, n ∈ Z.
2) arcsin (−0,31) = −arcsin 0,31 ≈ −0,32. x ≈ (−1)^(n+1) · 0,32 + πn, n ∈ Z.
Оговорка: значения арксинусов приближённые, округлены до сотых (в радианах).
1) arcsin 0,65 ≈ 0,71. x ≈ (−1)^n · 0,71 + πn, n ∈ Z.
2) arcsin (−0,31) = −arcsin 0,31 ≈ −0,32. x ≈ (−1)^(n+1) · 0,32 + πn, n ∈ Z.
Оговорка: значения арксинусов приближённые, округлены до сотых (в радианах).