Упражнения 588–599, стр. 178 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 588–599 — Глава VI. § 34. Уравнение sin x = a

Страница 178 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VI. § 34. Уравнение sin x = a — с. 178

588. Сравнить числа:
1) arcsin 1/4 и arcsin (−1/4);
2) arcsin (−3/4) и arcsin (−1).
Функция arcsin возрастает на [−1; 1] (большему числу соответствует больший угол из [−π/2; π/2]).
1) 1/4 > −1/4, поэтому arcsin 1/4 > arcsin (−1/4). (Действительно, arcsin 1/4 > 0 > arcsin (−1/4).)
2) −3/4 > −1, поэтому arcsin (−3/4) > arcsin (−1) = −π/2.
589. Решить уравнение:
1) sin x = √3/2;
2) sin x = √2/2;
3) sin x = −1/√2.
Формула: sin x = a ⇒ x = (−1)^n arcsin a + πn, n ∈ Z.
1) x = (−1)^n arcsin √3/2 + πn = (−1)^n π/3 + πn, n ∈ Z.
2) x = (−1)^n π/4 + πn, n ∈ Z.
3) −1/√2 = −√2/2, arcsin (−√2/2) = −π/4. x = (−1)^n (−π/4) + πn = (−1)^(n+1) π/4 + πn, n ∈ Z.
590. Решить уравнение:
1) sin x = 2/7;
2) sin x = −1/4;
3) sin x = √5/3.
Во всех случаях |a| < 1 (√5/3 ≈ 0,75), корни есть; используем x = (−1)^n arcsin a + πn, n ∈ Z.
1) x = (−1)^n arcsin 2/7 + πn, n ∈ Z.
2) x = (−1)^n arcsin (−1/4) + πn = (−1)^(n+1) arcsin 1/4 + πn, n ∈ Z.
3) x = (−1)^n arcsin √5/3 + πn, n ∈ Z.
591. Решить уравнение:
1) sin 3x = 1;
2) sin 2x = −1;
3) √2 sin x/3 = −1;
4) 2 sin x/2 = √3;
5) sin (x + 3π/4) = 0;
6) sin (2x + π/2) = 0.
1) 3x = π/2 + 2πn, x = π/6 + 2πn/3, n ∈ Z.
2) 2x = −π/2 + 2πn, x = −π/4 + πn, n ∈ Z.
3) sin x/3 = −1/√2 = −√2/2; x/3 = (−1)^(n+1) π/4 + πn; x = (−1)^(n+1) 3π/4 + 3πn, n ∈ Z.
4) sin x/2 = √3/2; x/2 = (−1)^n π/3 + πn; x = (−1)^n 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
5) x + 3π/4 = πn; x = −3π/4 + πn, n ∈ Z.
6) 2x + π/2 = πn; 2x = −π/2 + πn; x = −π/4 + πn/2, n ∈ Z.
592. Решить уравнение:
1) sin 4x cos 2x = cos 4x sin 2x;
2) cos 2x sin 3x = sin 2x cos 3x.
1) Переносим: sin 4x cos 2x − cos 4x sin 2x = 0. По формуле разности углов sin (4x − 2x) = 0, то есть sin 2x = 0; 2x = πn, x = πn/2, n ∈ Z.
2) cos 2x sin 3x − sin 2x cos 3x = 0; sin (3x − 2x) = 0, sin x = 0; x = πn, n ∈ Z.
593. Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1) arcsin (√5 − 2);
2) arcsin (√5 − 3);
3) arcsin (3 − √17);
4) arcsin (2 − √10);
5) tg (6 arcsin 1/2);
6) tg (2 arcsin √2/2).
Арксинус определён, если аргумент принадлежит [−1; 1].
1) √5 ≈ 2,236, √5 − 2 ≈ 0,24 ∈ [−1; 1]. Имеет смысл.
2) √5 − 3 ≈ −0,76 ∈ [−1; 1]. Имеет смысл.
3) √17 ≈ 4,12, 3 − √17 ≈ −1,12 < −1. Не имеет смысла.
4) √10 ≈ 3,16, 2 − √10 ≈ −1,16 < −1. Не имеет смысла.
5) arcsin 1/2 = π/6, 6 · π/6 = π; tg π = 0 определён. Имеет смысл.
6) arcsin √2/2 = π/4, 2 · π/4 = π/2; tg π/2 не определён. Не имеет смысла.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) нет.
594. Решить уравнение:
1) 1 − 4 sin x cos x = 0;
2) √3 + 4 sin x cos x = 0;
3) 1 + 6 sin x/4 cos x/4 = 0;
4) 1 − 8 sin x/3 cos x/3 = 0.
Используем 2 sin t cos t = sin 2t.
1) 1 − 2 sin 2x = 0; sin 2x = 1/2; 2x = (−1)^n π/6 + πn; x = (−1)^n π/12 + πn/2, n ∈ Z.
2) √3 + 2 sin 2x = 0; sin 2x = −√3/2; 2x = (−1)^(n+1) π/3 + πn; x = (−1)^(n+1) π/6 + πn/2, n ∈ Z.
3) 1 + 3 · 2 sin x/4 cos x/4 = 1 + 3 sin x/2 = 0; sin x/2 = −1/3; x/2 = (−1)^(n+1) arcsin 1/3 + πn; x = (−1)^(n+1) 2 arcsin 1/3 + 2πn, n ∈ Z.
4) 1 − 4 · 2 sin x/3 cos x/3 = 1 − 4 sin 2x/3 = 0; sin 2x/3 = 1/4; 2x/3 = (−1)^n arcsin 1/4 + πn; x = (−1)^n (3/2) arcsin 1/4 + 3πn/2, n ∈ Z.
595. Решить уравнение:
1) 1 + cos 5x sin 4x = cos 4x sin 5x;
2) 1 − sin x cos 2x = cos x sin 2x.
1) Перенесём: 1 = cos 4x sin 5x − cos 5x sin 4x = sin (5x − 4x) = sin x. Значит sin x = 1; x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) 1 = sin x cos 2x + cos x sin 2x = sin (x + 2x) = sin 3x. Значит sin 3x = 1; 3x = π/2 + 2πn; x = π/6 + 2πn/3, n ∈ Z.
596. Решить уравнение:
1) (4 sin x − 3)(2 sin x + 1) = 0;
2) (4 sin 3x − 1)(2 sin x + 3) = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю (другой при этом определён).
1) 4 sin x − 3 = 0: sin x = 3/4, x = (−1)^n arcsin 3/4 + πn. 2 sin x + 1 = 0: sin x = −1/2, x = (−1)^(n+1) π/6 + πn, n ∈ Z.
Ответ: x = (−1)^n arcsin 3/4 + πn; x = (−1)^(n+1) π/6 + πn, n ∈ Z.
2) 4 sin 3x − 1 = 0: sin 3x = 1/4; 3x = (−1)^n arcsin 1/4 + πn; x = (−1)^n (1/3) arcsin 1/4 + πn/3. 2 sin x + 3 = 0: sin x = −3/2 — решений нет, так как |sin x| ≤ 1.
Ответ: x = (−1)^n (1/3) arcsin 1/4 + πn/3, n ∈ Z.
597. Найти все корни уравнения sin 2x = 1/2, принадлежащие отрезку [0; 2π].
sin 2x = 1/2 ⇒ 2x = π/6 + 2πk или 2x = 5π/6 + 2πk, откуда x = π/12 + πk, x = 5π/12 + πk, k ∈ Z.
Отбор на [0; 2π]: из первой серии k = 0, 1: π/12, 13π/12 (при k = 2 получим 25π/12 > 2π). Из второй серии k = 0, 1: 5π/12, 17π/12 (при k = 2 получим 29π/12 > 2π); при k = −1 значения отрицательны.
Ответ: π/12; 5π/12; 13π/12; 17π/12.
598. Найти все корни уравнения sin x/2 = √3/2, удовлетворяющие неравенству log_π (x − 4π) < 1.
Решим уравнение: x/2 = π/3 + 2πk или x/2 = 2π/3 + 2πk, откуда x = 2π/3 + 4πk, x = 4π/3 + 4πk, k ∈ Z.
Неравенство: ОДЗ x − 4π > 0; так как основание π > 1, log_π (x − 4π) < 1 ⇔ 0 < x − 4π < π, то есть 4π < x < 5π.
Серия x = 2π/3 + 4πk: при k = 1 получаем 14π/3 ≈ 4,67π ∈ (4π; 5π); при k = 0 — 2π/3 < 4π; при k = 2 — 26π/3 > 5π.
Серия x = 4π/3 + 4πk: при k = 0 — 4π/3 < 4π; при k = 1 — 16π/3 ≈ 5,33π > 5π. Подходящих нет.
Ответ: x = 14π/3.
599. Доказать, что sin (arcsin a) = a при −1 ≤ a ≤ 1. Вычислить:
1) sin (arcsin 1/7);
2) sin (arcsin (−1/5));
3) sin (π + arcsin 3/4);
4) cos (3π/2 − arcsin 1/3);
5) cos (arcsin 4/5);
6) tg (arcsin 1/√10).
Доказательство. По определению arcsin a — число, синус которого равен a. Значит, sin (arcsin a) = a для всех a ∈ [−1; 1].
1) 1/7.
2) −1/5.
3) sin (π + t) = −sin t, значит sin (π + arcsin 3/4) = −3/4.
4) cos (3π/2 − t) = −sin t, значит cos (3π/2 − arcsin 1/3) = −1/3.
5) Пусть t = arcsin 4/5 ∈ [−π/2; π/2], тогда cos t ≥ 0 и cos t = √(1 − 16/25) = 3/5.
6) Пусть t = arcsin 1/√10, cos t = √(1 − 1/10) = 3/√10; tg t = sin t / cos t = (1/√10)/(3/√10) = 1/3.
Ответ: 1) 1/7; 2) −1/5; 3) −3/4; 4) −1/3; 5) 3/5; 6) 1/3.