Глава VI. § 33. Уравнение cos x = a — с. 173
581. Доказать, что arccos (cos α) = α при 0 ≤ α ≤ π. Вычислить:
1) 5 arccos (cos π/10);
2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos 8π/7);
4) arccos (cos 4).
1) 5 arccos (cos π/10);
2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos 8π/7);
4) arccos (cos 4).
Доказательство. По определению арккосинус числа a ∈ [−1; 1] — это число из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Число cos α лежит в [−1; 1], а α ∈ [0; π] и имеет косинус, равный cos α. Значит, α = arccos (cos α).
Вычисление.
1) π/10 ∈ [0; π], поэтому arccos (cos π/10) = π/10 и 5 · π/10 = π/2. Ответ: π/2.
2) 2 ∈ [0; π] (π ≈ 3,14), поэтому arccos (cos 2) = 2 и 3 · 2 = 6. Ответ: 6.
3) 8π/7 > π, поэтому сначала приводим угол к отрезку [0; π]: cos 8π/7 = cos (2π − 8π/7) = cos 6π/7, причём 6π/7 ∈ [0; π]. Значит, arccos (cos 8π/7) = 6π/7. Ответ: 6π/7.
4) 4 > π, поэтому cos 4 = cos (2π − 4); 2π − 4 ≈ 2,28 ∈ [0; π]. Значит, arccos (cos 4) = 2π − 4. Ответ: 2π − 4.
Вычисление.
1) π/10 ∈ [0; π], поэтому arccos (cos π/10) = π/10 и 5 · π/10 = π/2. Ответ: π/2.
2) 2 ∈ [0; π] (π ≈ 3,14), поэтому arccos (cos 2) = 2 и 3 · 2 = 6. Ответ: 6.
3) 8π/7 > π, поэтому сначала приводим угол к отрезку [0; π]: cos 8π/7 = cos (2π − 8π/7) = cos 6π/7, причём 6π/7 ∈ [0; π]. Значит, arccos (cos 8π/7) = 6π/7. Ответ: 6π/7.
4) 4 > π, поэтому cos 4 = cos (2π − 4); 2π − 4 ≈ 2,28 ∈ [0; π]. Значит, arccos (cos 4) = 2π − 4. Ответ: 2π − 4.
582. Вычислить:
1) sin (arccos 1/3 + arccos 2√2/3);
2) cos (arccos 4/5 − arccos 3/5).
1) sin (arccos 1/3 + arccos 2√2/3);
2) cos (arccos 4/5 − arccos 3/5).
Пусть α = arccos 1/3, β = arccos (2√2/3); для арккосинуса α, β ∈ [0; π], поэтому синусы неотрицательны.
1) cos α = 1/3, sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3; cos β = 2√2/3, sin β = √(1 − 8/9) = 1/3. Тогда sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = (2√2/3)·(2√2/3) + (1/3)·(1/3) = 8/9 + 1/9 = 1. Ответ: 1.
2) Пусть α = arccos 4/5, β = arccos 3/5. Тогда cos α = 4/5, sin α = 3/5; cos β = 3/5, sin β = 4/5. cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β = (4/5)(3/5) + (3/5)(4/5) = 24/25. Ответ: 24/25.
1) cos α = 1/3, sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3; cos β = 2√2/3, sin β = √(1 − 8/9) = 1/3. Тогда sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = (2√2/3)·(2√2/3) + (1/3)·(1/3) = 8/9 + 1/9 = 1. Ответ: 1.
2) Пусть α = arccos 4/5, β = arccos 3/5. Тогда cos α = 4/5, sin α = 3/5; cos β = 3/5, sin β = 4/5. cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β = (4/5)(3/5) + (3/5)(4/5) = 24/25. Ответ: 24/25.
583. Упростить выражение cos (2 arccos a), если −1 ≤ a ≤ 1.
Пусть t = arccos a, тогда cos t = a. По формуле косинуса двойного угла cos 2t = 2cos² t − 1 = 2a² − 1.
Ответ: 2a² − 1.
Ответ: 2a² − 1.
584. Доказать, что если −1 ≤ a ≤ 1, то 2 arccos √((1 + a)/2) = arccos a.
Так как −1 ≤ a ≤ 1, то 0 ≤ (1 + a)/2 ≤ 1 и число √((1 + a)/2) принадлежит [0; 1], так что арккосинус определён. Пусть t = arccos √((1 + a)/2). Тогда cos t = √((1 + a)/2) ≥ 0 и t ∈ [0; π/2], откуда 2t ∈ [0; π].
По формуле двойного угла cos 2t = 2cos² t − 1 = 2 · (1 + a)/2 − 1 = a.
Итак, cos 2t = a и 2t ∈ [0; π], то есть по определению 2t = arccos a. Что и требовалось доказать.
По формуле двойного угла cos 2t = 2cos² t − 1 = 2 · (1 + a)/2 − 1 = a.
Итак, cos 2t = a и 2t ∈ [0; π], то есть по определению 2t = arccos a. Что и требовалось доказать.
585. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) cos x = 0,35;
2) cos x = −0,27.
1) cos x = 0,35;
2) cos x = −0,27.
Корни уравнения cos x = a при |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z.
1) arccos 0,35 ≈ 1,21 (радиан). x ≈ ±1,21 + 2πn, n ∈ Z.
2) arccos (−0,27) = π − arccos 0,27 ≈ 1,84. x ≈ ±1,84 + 2πn, n ∈ Z.
Оговорка: значения арккосинусов приближённые, найдены вычислением с округлением до сотых.
1) arccos 0,35 ≈ 1,21 (радиан). x ≈ ±1,21 + 2πn, n ∈ Z.
2) arccos (−0,27) = π − arccos 0,27 ≈ 1,84. x ≈ ±1,84 + 2πn, n ∈ Z.
Оговорка: значения арккосинусов приближённые, найдены вычислением с округлением до сотых.