Упражнения 570–580, стр. 172 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 570–580 — Глава VI. § 33. Уравнение cos x = a

Страница 172 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VI. § 33. Уравнение cos x = a — с. 172

570. Сравнить числа:
1) arccos √3/2 и arccos 1/2;
2) arccos(−3/4) и arccos(−1);
3) arccos(−√2/2) и arccos(−1/2).
Функция arccos убывает на [−1; 1]: большему аргументу соответствует меньшее значение.
1) √3/2 > 1/2, поэтому arccos √3/2 < arccos 1/2 (π/6 < π/3).
2) −3/4 > −1, поэтому arccos(−3/4) < arccos(−1) = π.
3) −√2/2 < −1/2, поэтому arccos(−√2/2) > arccos(−1/2) (3π/4 > 2π/3).
571. Решить уравнение:
1) cos x = √2/2;
2) cos x = −√3/2;
3) cos x = −1/√2.
Используем формулу x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z.
1) x = ±π/4 + 2πn, n ∈ Z.
2) x = ±arccos(−√3/2) + 2πn = ±5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
3) −1/√2 = −√2/2, x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.
572. Решить уравнение:
1) cos x = 3/4;
2) cos x = −0,3;
3) cos x = −√3/3.
Значения a лежат в [−1; 1], корни есть; формула x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z.
1) x = ±arccos(3/4) + 2πn, n ∈ Z.
2) x = ±arccos(−0,3) + 2πn = ±(π − arccos 0,3) + 2πn, n ∈ Z.
3) |−√3/3| ≈ 0,577 < 1: x = ±arccos(−√3/3) + 2πn = ±(π − arccos(√3/3)) + 2πn, n ∈ Z.
573. Решить уравнение:
1) cos 4x = 1;
2) cos 2x = −1;
3) √2 cos(x/4) = −1;
4) 2 cos(x/3) = √3;
5) cos(x + π/3) = 0;
6) cos(2x − π/4) = 0.
1) 4x = 2πn, x = πn/2, n ∈ Z.
2) 2x = π + 2πn, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
3) cos(x/4) = −√2/2, x/4 = ±3π/4 + 2πn, x = ±3π + 8πn, n ∈ Z.
4) cos(x/3) = √3/2, x/3 = ±π/6 + 2πn, x = ±π/2 + 6πn, n ∈ Z.
5) x + π/3 = π/2 + πn, x = π/6 + πn, n ∈ Z.
6) 2x − π/4 = π/2 + πn, 2x = 3π/4 + πn, x = 3π/8 + πn/2, n ∈ Z.
574. Решить уравнение:
1) cos x cos 3x = sin 3x sin x;
2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0.
1) Переносим: cos x cos 3x − sin x sin 3x = 0, cos(x + 3x) = cos 4x = 0, 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4, n ∈ Z.
2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = cos(2x − x) = cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
575. Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1) arccos(√6 − 3);
2) arccos(√7 − 2);
3) arccos(2 − √10);
4) arccos(1 − √5);
5) tg(3 arccos 1/2).
Выражение arccos a имеет смысл при −1 ≤ a ≤ 1.
1) 2 < √6 < 3, поэтому −1 < √6 − 3 < 0: имеет смысл.
2) 2 < √7 < 3, поэтому 0 < √7 − 2 < 1: имеет смысл.
3) √10 > 3, поэтому 2 − √10 < −1: не имеет смысла.
4) √5 > 2, поэтому 1 − √5 < −1: не имеет смысла.
5) arccos 1/2 = π/3, 3 · π/3 = π, tg π = 0 определён: имеет смысл (значение 0).
576. Решить уравнение:
1) cos² 2x = 1 + sin² 2x;
2) 4 cos² x = 3;
3) 2 cos² x = 1 + 2 sin² x;
4) 2√2 cos² x = 1 + √2;
5) (1 + cos x)(3 − 2 cos x) = 0;
6) (1 − cos x)(4 + 3 cos 2x) = 0;
7) (1 + 2 cos x)(1 − 3 cos x) = 0;
8) (1 − 2 cos x)(2 + 3 cos x) = 0.
1) cos² 2x − sin² 2x = 1, cos 4x = 1, 4x = 2πn, x = πn/2, n ∈ Z.
2) cos² x = 3/4; cos 2x = 2 cos² x − 1 = 1/2, 2x = ±π/3 + 2πn, x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
3) 2(cos² x − sin² x) = 1, cos 2x = 1/2, x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
4) 2 cos² x = (1 + √2)/√2 = 1/√2 + 1, откуда cos 2x = 2 cos² x − 1 = √2/2; 2x = ±π/4 + 2πn, x = ±π/8 + πn, n ∈ Z.
5) cos x = −1 или cos x = 3/2 (нет корней). x = π + 2πn, n ∈ Z.
6) cos x = 1 или cos 2x = −4/3 (нет корней). x = 2πn, n ∈ Z.
7) cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn; cos x = 1/3: x = ±arccos(1/3) + 2πn, n ∈ Z.
8) cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn; cos x = −2/3: x = ±(π − arccos(2/3)) + 2πn, n ∈ Z.
577. Найти все корни уравнения cos 2x = −1/2 на отрезке [−π/2; 5π/2].
cos 2x = −1/2, 2x = ±2π/3 + 2πn, x = ±π/3 + πn, n ∈ Z.
Серия x = π/3 + πn: n = −1 даёт −2π/3 < −π/2 (не подходит); n = 0: π/3; n = 1: 4π/3; n = 2: 7π/3 (7π/3 < 5π/2); n = 3: 10π/3 > 5π/2.
Серия x = −π/3 + πn: n = 0: −π/3 (≥ −π/2); n = 1: 2π/3; n = 2: 5π/3; n = 3: 8π/3 > 5π/2.
Ответ: −π/3, π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3, 7π/3.
578. Найти все корни уравнения cos 4x = √2/2, удовлетворяющие неравенству |x| < π/4.
4x = ±π/4 + 2πn, x = ±π/16 + πn/2, n ∈ Z. Условие |x| < π/4 равносильно −π/4 < x < π/4.
n = 0: x = ±π/16, оба подходят. n = 1: π/16 + π/2 = 9π/16 и −π/16 + π/2 = 7π/16 больше π/4. n = −1: симметрично, значения меньше −π/4. Остальные n дают значения ещё дальше.
Ответ: x = −π/16, x = π/16.
579. Решить уравнение:
1) arccos(2x − 3) = π/3;
2) arccos((x + 1)/3) = 2π/3.
1) По определению 2x − 3 = cos π/3 = 1/2, откуда x = 7/4. Проверка: |1/2| ≤ 1, π/3 ∈ [0; π].
2) (x + 1)/3 = cos 2π/3 = −1/2, x + 1 = −3/2, x = −5/2.
Ответ: 1) 7/4; 2) −5/2.
580. Доказать, что при всех значениях a, таких, что −1 ≤ a ≤ 1, выполняется равенство cos(arccos a) = a. Вычислить:
1) cos(arccos 0,2);
2) cos(arccos(−2/3));
3) cos(π + arccos 3/4);
4) sin(π/2 + arccos 1/3);
5) sin(arccos 4/5);
6) tg(arccos 3/√10).
Доказательство: по определению arccos a = α, где cos α = a и 0 ≤ α ≤ π. Подставляя, получаем cos(arccos a) = cos α = a.
1) 0,2.
2) −2/3.
3) cos(π + t) = −cos t, где t = arccos 3/4: −3/4.
4) sin(π/2 + t) = cos t, где t = arccos 1/3: 1/3.
5) cos t = 4/5, t ∈ [0; π], sin t ≥ 0: sin t = √(1 − 16/25) = 3/5.
6) cos t = 3/√10, sin t = √(1 − 9/10) = 1/√10 (t ∈ [0; π/2]); tg t = 1/3.
Ответ: 1) 0,2; 2) −2/3; 3) −3/4; 4) 1/3; 5) 3/5; 6) 1/3.
Оговорка: пункты 3)–6) упражнения напечатаны на следующей странице (173).