Глава V. Упражнения к главе V — с. 167
563. Доказать тождество:
1) sin²(α + β) = sin² α + sin² β + 2 sin α sin β cos(α + β);
2) sin α + 2 sin 3α + sin 5α = 4 sin 3α cos² α.
1) sin²(α + β) = sin² α + sin² β + 2 sin α sin β cos(α + β);
2) sin α + 2 sin 3α + sin 5α = 4 sin 3α cos² α.
1) sin² α + sin² β = 1 − (cos 2α + cos 2β)/2 = 1 − cos(α + β) cos(α − β). Правая часть: 1 − cos(α + β) cos(α − β) + 2 sin α sin β cos(α + β) = 1 − cos(α + β)(cos α cos β + sin α sin β − 2 sin α sin β) = 1 − cos(α + β) cos(α + β) = 1 − cos²(α + β) = sin²(α + β). Тождество доказано.
2) sin α + sin 5α = 2 sin 3α cos 2α. Левая часть: 2 sin 3α cos 2α + 2 sin 3α = 2 sin 3α (1 + cos 2α) = 2 sin 3α · 2 cos² α = 4 sin 3α cos² α.
2) sin α + sin 5α = 2 sin 3α cos 2α. Левая часть: 2 sin 3α cos 2α + 2 sin 3α = 2 sin 3α (1 + cos 2α) = 2 sin 3α · 2 cos² α = 4 sin 3α cos² α.
564. (sin α + sin 3α + sin 5α)/(cos α + cos 3α + cos 5α) = tg 3α.
Доказываем тождество. sin α + sin 5α = 2 sin 3α cos 2α, cos α + cos 5α = 2 cos 3α cos 2α.
Числитель: sin 3α (2 cos 2α + 1), знаменатель: cos 3α (2 cos 2α + 1). После сокращения на 2 cos 2α + 1 ≠ 0 получаем sin 3α/cos 3α = tg 3α.
Числитель: sin 3α (2 cos 2α + 1), знаменатель: cos 3α (2 cos 2α + 1). После сокращения на 2 cos 2α + 1 ≠ 0 получаем sin 3α/cos 3α = tg 3α.
565. Найти значение выражения sin α/(sin³ α + 3 cos³ α), если tg α = 2.
Делим числитель и знаменатель на cos³ α (cos α ≠ 0): числитель sin α/cos³ α = tg α · 1/cos² α = tg α (1 + tg² α) = 2 · 5 = 10; знаменатель tg³ α + 3 = 8 + 3 = 11.
Ответ: 10/11.
Ответ: 10/11.
566. Доказать тождество sin² α + cos(π/3 − α) cos(π/3 + α) = 1/4.
cos(π/3 − α) cos(π/3 + α) = (1/2)(cos(2π/3) + cos 2α) = (1/2)(−1/2 + 1 − 2 sin² α) = 1/4 − sin² α.
Тогда левая часть: sin² α + 1/4 − sin² α = 1/4.
Тогда левая часть: sin² α + 1/4 − sin² α = 1/4.
567. Доказать тождество:
1) sin⁶ α + cos⁶ α = (1/8)(5 + 3 cos 4α);
2) sin⁸ α + cos⁸ α = (1/32)(cos² 4α + 14 cos 4α + 17).
1) sin⁶ α + cos⁶ α = (1/8)(5 + 3 cos 4α);
2) sin⁸ α + cos⁸ α = (1/32)(cos² 4α + 14 cos 4α + 17).
1) sin⁶ α + cos⁶ α = (sin² α + cos² α)(sin⁴ α − sin² α cos² α + cos⁴ α) = (sin² α + cos² α)² − 3 sin² α cos² α = 1 − (3/4) sin² 2α = 1 − (3/8)(1 − cos 4α) = (5 + 3 cos 4α)/8.
2) Пусть c = cos 4α. sin⁴ α + cos⁴ α = 1 − 2 sin² α cos² α = 1 − (1/2) sin² 2α = 1 − (1 − c)/4 = (3 + c)/4. sin⁴ α cos⁴ α = sin⁴ 2α/16 = ((1 − c)/2)²/16 = (1 − c)²/64.
sin⁸ α + cos⁸ α = (sin⁴ α + cos⁴ α)² − 2 sin⁴ α cos⁴ α = (3 + c)²/16 − (1 − c)²/32 = (2(9 + 6c + c²) − (1 − 2c + c²))/32 = (c² + 14c + 17)/32.
2) Пусть c = cos 4α. sin⁴ α + cos⁴ α = 1 − 2 sin² α cos² α = 1 − (1/2) sin² 2α = 1 − (1 − c)/4 = (3 + c)/4. sin⁴ α cos⁴ α = sin⁴ 2α/16 = ((1 − c)/2)²/16 = (1 − c)²/64.
sin⁸ α + cos⁸ α = (sin⁴ α + cos⁴ α)² − 2 sin⁴ α cos⁴ α = (3 + c)²/16 − (1 − c)²/32 = (2(9 + 6c + c²) − (1 − 2c + c²))/32 = (c² + 14c + 17)/32.