Упражнения 547–556 — Глава V. Упражнения к главе V

1) sin(π − α) = sin α, cos(π/2 − α) = sin α, sin(π/2 − α) = cos α. Выражение: 2 sin² α + 3 cos² α − 2 = 2(sin² α + cos² α) + cos² α − 2 = cos² α.
2) Числитель: sin(π + α) = −sin α; cos(3π/2 − α) = −sin α; tg(α − π/2) = −ctg α. Произведение: −sin² α ctg α = −sin α cos α.
Знаменатель: cos(π/2 + α) = −sin α; cos(3π/2 + α) = sin α; tg(π + α) = tg α. Произведение: −sin² α tg α = −sin³ α/cos α.
Дробь: (−sin α cos α)/(−sin³ α/cos α) = cos² α/sin² α = ctg² α.
Ответ: 1) cos² α; 2) ctg² α.

Выделяем целое число периодов (период синуса и косинуса 2π, тангенса и котангенса π).
1) 47π/6 = 7π + 5π/6; sin(7π + 5π/6) = −sin(5π/6) = −1/2.
2) 25π/4 = 6π + π/4; tg = tg π/4 = 1.
3) 27π/4 = 6π + 3π/4; ctg 3π/4 = −1.
4) 21π/4 = 5π + π/4 = 4π + (π + π/4); cos(π + π/4) = −cos π/4 = −√2/2.
Ответ: 1) −1/2; 2) 1; 3) −1; 4) −√2/2.

1) 23π/4 = 6π − π/4: cos(−π/4) = √2/2. 15π/4 = 4π − π/4: sin(−π/4) = −√2/2. Разность: √2/2 + √2/2 = √2.
2) 25π/3 = 8π + π/3: sin π/3 = √3/2. 10π/3 = 3π + π/3: tg π/3 = √3. Разность: √3/2 − √3 = −√3/2.
3) 3660° = 10 · 360° + 60°: cos 60° = 1/2, 3 · 1/2 = 3/2. 1560° = 4 · 360° + 120°: sin(−120°) = −√3/2. Сумма: (3 − √3)/2.
4) cos(−945°) = cos 945° = cos(2 · 360° + 225°) = cos 225° = −√2/2. tg 1035° = tg(2 · 360° + 315°) = tg 315° = −1. Сумма: −√2/2 − 1 = −(2 + √2)/2.
Ответ: 1) √2; 2) −√3/2; 3. (3 − √3)/2; 4) −(2 + √2)/2.

1) (1 + cos² α)/sin α − sin α = (1 + cos² α − sin² α)/sin α = 2 cos² α/sin α. Умножаем на (1/2) tg α = sin α/(2 cos α): (2 cos² α/sin α) · sin α/(2 cos α) = cos α.
2) (1 + sin² α)/cos α − cos α = (1 + sin² α − cos² α)/cos α = 2 sin² α/cos α. Умножаем на ctg α = cos α/sin α: 2 sin² α/cos α · cos α/sin α = 2 sin α.
Ответ: 1) cos α; 2) 2 sin α.

Используем sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) и sin x − cos x = √2 sin(x − π/4).
1) x = π/4 + α. Числитель: √2 sin α. Знаменатель: √2 sin(α + π/2) = √2 cos α. Дробь равна tg α.
2) x = π/4 − α. Числитель: √2 sin(π/2 − α) = √2 cos α. Знаменатель: √2 sin(−α) = −√2 sin α. Дробь равна −ctg α.
Ответ: 1) tg α; 2) −ctg α.

1) 1 + tg α tg β = 1 + sin α sin β/(cos α cos β) = (cos α cos β + sin α sin β)/(cos α cos β) = cos(α − β)/(cos α cos β).
2) tg α − tg β = sin α/cos α − sin β/cos β = (sin α cos β − cos α sin β)/(cos α cos β) = sin(α − β)/(cos α cos β).

1) Выражение равно sin 6α (2 cos²(π/4 + 3α) − 1) = sin 6α cos(π/2 + 6α) = −sin² 6α. При α = 5π/24: 6α = 5π/4, sin 5π/4 = −√2/2, sin² = 1/2. Значение −1/2.
2) cos(π − 3α) = −cos 3α, поэтому выражение равно cos 3α (1 − 2 sin²(π/4 − 1,5α)) = cos 3α cos(π/2 − 3α) = cos 3α sin 3α = (1/2) sin 6α. При α = 5π/36: 6α = 5π/6, sin 5π/6 = 1/2. Значение 1/4.
Ответ: 1) −1/2; 2) 1/4.

1) cos 75° − cos 15° = −2 sin 45° sin 30° = −2 · (√2/2) · (1/2) = −√2/2. 1 − 2 sin² 15° = cos 30° = √3/2. Значение: √3 · (−√2/2)/(√3/2) = −√2.
2) Числитель: 2 cos² π/8 − 1 = cos π/4 = √2/2. Знаменатель: 1 + 8 sin² π/8 cos² π/8 = 1 + 2 (2 sin π/8 cos π/8)² = 1 + 2 sin² π/4 = 1 + 2 · 1/2 = 2. Значение: (√2/2)/2 = √2/4.
Ответ: 1) −√2; 2) √2/4.

1) sin 4α = 2 sin 2α cos 2α. Дробь: 2 sin 2α (1 − cos 2α)/(2 sin 2α (1 + cos 2α)) = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α) = 2 sin² α/(2 cos² α) = tg² α.
2) 2 cos 2α − sin 4α = 2 cos 2α (1 − sin 2α), 2 cos 2α + sin 4α = 2 cos 2α (1 + sin 2α). Дробь: (1 − sin 2α)/(1 + sin 2α). Так как sin 2α = cos(π/2 − 2α), то 1 − sin 2α = 2 sin²(π/4 − α), 1 + sin 2α = 2 cos²(π/4 − α). Дробь равна tg²(π/4 − α).
Тождества верны там, где знаменатели не равны нулю.

1) sin 35° + sin 25° = 2 sin 30° cos 5° = 2 · (1/2) cos 5° = cos 5°.
2) cos 12° − cos 48° = −2 sin 30° sin(−18°) = 2 · (1/2) sin 18° = sin 18°.