Глава V. § 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов — с. 163
537. Упростить выражение:
1) sin(π/3 + α) + sin(π/3 − α);
2) cos(π/4 − β) − cos(π/4 + β);
3) sin²(π/4 + α) − sin²(π/4 − α);
4) cos²(α − π/4) − cos²(α + π/4).
1) sin(π/3 + α) + sin(π/3 − α);
2) cos(π/4 − β) − cos(π/4 + β);
3) sin²(π/4 + α) − sin²(π/4 − α);
4) cos²(α − π/4) − cos²(α + π/4).
1) Сумма синусов: sin(π/3 + α) + sin(π/3 − α) = 2 sin(π/3) cos α = 2 · (√3/2) · cos α = √3 cos α.
2) Разность косинусов: cos u − cos v = −2 sin((u + v)/2) sin((u − v)/2). Здесь (u + v)/2 = π/4, (u − v)/2 = −β, поэтому выражение равно −2 sin(π/4) sin(−β) = 2 · (√2/2) · sin β = √2 sin β.
3) Разность квадратов: sin²u − sin²v = (sin u − sin v)(sin u + sin v) = sin(u + v) sin(u − v). При u = π/4 + α, v = π/4 − α: u + v = π/2, u − v = 2α, получаем sin(π/2) sin 2α = sin 2α.
4) cos²u − cos²v = −sin(u + v) sin(u − v). При u = α − π/4, v = α + π/4: u + v = 2α, u − v = −π/2, получаем −sin 2α · sin(−π/2) = sin 2α.
Ответ: 1) √3 cos α; 2) √2 sin β; 3) sin 2α; 4) sin 2α.
2) Разность косинусов: cos u − cos v = −2 sin((u + v)/2) sin((u − v)/2). Здесь (u + v)/2 = π/4, (u − v)/2 = −β, поэтому выражение равно −2 sin(π/4) sin(−β) = 2 · (√2/2) · sin β = √2 sin β.
3) Разность квадратов: sin²u − sin²v = (sin u − sin v)(sin u + sin v) = sin(u + v) sin(u − v). При u = π/4 + α, v = π/4 − α: u + v = π/2, u − v = 2α, получаем sin(π/2) sin 2α = sin 2α.
4) cos²u − cos²v = −sin(u + v) sin(u − v). При u = α − π/4, v = α + π/4: u + v = 2α, u − v = −π/2, получаем −sin 2α · sin(−π/2) = sin 2α.
Ответ: 1) √3 cos α; 2) √2 sin β; 3) sin 2α; 4) sin 2α.
538. Вычислить:
1) cos 105° + cos 75°;
2) sin 105° − sin 75°;
3) cos 11π/12 + cos 5π/12;
4) cos 11π/12 − cos 5π/12;
5) sin 7π/12 − sin π/12;
6) sin 105° + sin 165°.
1) cos 105° + cos 75°;
2) sin 105° − sin 75°;
3) cos 11π/12 + cos 5π/12;
4) cos 11π/12 − cos 5π/12;
5) sin 7π/12 − sin π/12;
6) sin 105° + sin 165°.
1) cos 105° + cos 75° = 2 cos 90° cos 15° = 0.
2) sin 105° − sin 75° = 2 cos 90° sin 15° = 0.
3) cos 11π/12 + cos 5π/12 = 2 cos(2π/3) cos(π/4) = 2 · (−1/2) · (√2/2) = −√2/2.
4) cos 11π/12 − cos 5π/12 = −2 sin(2π/3) sin(π/4) = −2 · (√3/2) · (√2/2) = −√6/2.
5) sin 7π/12 − sin π/12 = 2 cos(π/3) sin(π/4) = 2 · (1/2) · (√2/2) = √2/2.
6) sin 105° + sin 165° = 2 sin 135° cos 30° = 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) −√2/2; 4) −√6/2; 5) √2/2; 6) √6/2.
2) sin 105° − sin 75° = 2 cos 90° sin 15° = 0.
3) cos 11π/12 + cos 5π/12 = 2 cos(2π/3) cos(π/4) = 2 · (−1/2) · (√2/2) = −√2/2.
4) cos 11π/12 − cos 5π/12 = −2 sin(2π/3) sin(π/4) = −2 · (√3/2) · (√2/2) = −√6/2.
5) sin 7π/12 − sin π/12 = 2 cos(π/3) sin(π/4) = 2 · (1/2) · (√2/2) = √2/2.
6) sin 105° + sin 165° = 2 sin 135° cos 30° = 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) −√2/2; 4) −√6/2; 5) √2/2; 6) √6/2.