Глава V. § 31. Формулы приведения — с. 161
533. Доказать тождество:
1) sin (7π/6 + α) = −sin (π/6 + α);
2) sin (5π/4 + α) = −sin (3π/4 − α);
3) cos (α − 2π/3) = −cos (π/3 + α);
4) cos (α − 2π/3) = cos (α + 4π/3).
1) sin (7π/6 + α) = −sin (π/6 + α);
2) sin (5π/4 + α) = −sin (3π/4 − α);
3) cos (α − 2π/3) = −cos (π/3 + α);
4) cos (α − 2π/3) = cos (α + 4π/3).
1) sin (7π/6 + α) = sin (π + (π/6 + α)) = −sin (π/6 + α).
2) sin (5π/4 + α) = sin (π + (π/4 + α)) = −sin (π/4 + α). С другой стороны, sin (3π/4 − α) = sin (π − (π/4 + α)) = sin (π/4 + α), поэтому −sin (3π/4 − α) = −sin (π/4 + α). Левая и правая части равны.
3) cos (α − 2π/3) = cos (α + π/3 − π) = −cos (α + π/3) = −cos (π/3 + α).
4) cos (α + 4π/3) = cos (α − 2π/3 + 2π) = cos (α − 2π/3), так как период косинуса равен 2π.
2) sin (5π/4 + α) = sin (π + (π/4 + α)) = −sin (π/4 + α). С другой стороны, sin (3π/4 − α) = sin (π − (π/4 + α)) = sin (π/4 + α), поэтому −sin (3π/4 − α) = −sin (π/4 + α). Левая и правая части равны.
3) cos (α − 2π/3) = cos (α + π/3 − π) = −cos (α + π/3) = −cos (π/3 + α).
4) cos (α + 4π/3) = cos (α − 2π/3 + 2π) = cos (α − 2π/3), так как период косинуса равен 2π.
534. Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.
Пусть A, B, C — внутренние углы треугольника, тогда A + B + C = π, и A + B = π − C. По формуле приведения sin (A + B) = sin (π − C) = sin C. Что и требовалось доказать.
535. Решить уравнение:
1) cos (π/2 − x) = 1;
2) sin (3π/2 + x) = 1;
3) cos (x − π) = 0;
4) sin (x − π/2) = 1;
5) sin (2x + 3π) sin (3x + 3π/2) − sin 3x cos 2x = −1;
6) sin (5x − 3π/2) cos (2x + 4π) − sin (5x + π) sin 2x = 0.
1) cos (π/2 − x) = 1;
2) sin (3π/2 + x) = 1;
3) cos (x − π) = 0;
4) sin (x − π/2) = 1;
5) sin (2x + 3π) sin (3x + 3π/2) − sin 3x cos 2x = −1;
6) sin (5x − 3π/2) cos (2x + 4π) − sin (5x + π) sin 2x = 0.
1) cos (π/2 − x) = sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) sin (3π/2 + x) = −cos x = 1, cos x = −1, x = π + 2πk, k ∈ Z.
3) cos (x − π) = −cos x = 0, cos x = 0, x = π/2 + πk, k ∈ Z.
4) sin (x − π/2) = −cos x = 1, cos x = −1, x = π + 2πk, k ∈ Z.
5) sin (2x + 3π) = −sin 2x, sin (3x + 3π/2) = −cos 3x. Уравнение: sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = −1, т. е. sin (2x − 3x) = −sin x = −1, sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
6) sin (5x − 3π/2) = cos 5x, cos (2x + 4π) = cos 2x, sin (5x + π) = −sin 5x. Уравнение: cos 5x cos 2x + sin 5x sin 2x = 0, т. е. cos (5x − 2x) = cos 3x = 0, 3x = π/2 + πk, x = π/6 + πk/3, k ∈ Z.
Ответ: 1) π/2 + 2πk; 2) π + 2πk; 3) π/2 + πk; 4) π + 2πk; 5) π/2 + 2πk; 6) π/6 + πk/3, k ∈ Z.
2) sin (3π/2 + x) = −cos x = 1, cos x = −1, x = π + 2πk, k ∈ Z.
3) cos (x − π) = −cos x = 0, cos x = 0, x = π/2 + πk, k ∈ Z.
4) sin (x − π/2) = −cos x = 1, cos x = −1, x = π + 2πk, k ∈ Z.
5) sin (2x + 3π) = −sin 2x, sin (3x + 3π/2) = −cos 3x. Уравнение: sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = −1, т. е. sin (2x − 3x) = −sin x = −1, sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
6) sin (5x − 3π/2) = cos 5x, cos (2x + 4π) = cos 2x, sin (5x + π) = −sin 5x. Уравнение: cos 5x cos 2x + sin 5x sin 2x = 0, т. е. cos (5x − 2x) = cos 3x = 0, 3x = π/2 + πk, x = π/6 + πk/3, k ∈ Z.
Ответ: 1) π/2 + 2πk; 2) π + 2πk; 3) π/2 + πk; 4) π + 2πk; 5) π/2 + 2πk; 6) π/6 + πk/3, k ∈ Z.
536. Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до π/4.
1) Периодичность: sin и cos имеют период 2π, tg — период π, поэтому любой угол можно заменить углом из промежутка [0; 2π) (для тангенса — из [0; π)).
2) Формулы приведения: для угла α из промежутка (π/2; π) имеем sin α = sin (π − α), cos α = −cos (π − α), tg α = −tg (π − α); для α из (π; 3π/2): sin α = −sin (α − π), cos α = −cos (α − π), tg α = tg (α − π); для α из (3π/2; 2π): sin α = −sin (2π − α), cos α = cos (2π − α), tg α = −tg (2π − α). Во всех случаях получаем угол из промежутка [0; π/2].
3) Если угол β лежит в промежутке (π/4; π/2], то γ = π/2 − β лежит в промежутке [0; π/4), и sin β = cos γ, cos β = sin γ, tg β = ctg γ = 1/tg γ.
Таким образом, значения sin, cos, tg любого угла выражаются через значения этих функций (со знаком ±) для угла из промежутка [0; π/4]. Что и требовалось доказать.
2) Формулы приведения: для угла α из промежутка (π/2; π) имеем sin α = sin (π − α), cos α = −cos (π − α), tg α = −tg (π − α); для α из (π; 3π/2): sin α = −sin (α − π), cos α = −cos (α − π), tg α = tg (α − π); для α из (3π/2; 2π): sin α = −sin (2π − α), cos α = cos (2π − α), tg α = −tg (2π − α). Во всех случаях получаем угол из промежутка [0; π/2].
3) Если угол β лежит в промежутке (π/4; π/2], то γ = π/2 − β лежит в промежутке [0; π/4), и sin β = cos γ, cos β = sin γ, tg β = ctg γ = 1/tg γ.
Таким образом, значения sin, cos, tg любого угла выражаются через значения этих функций (со знаком ±) для угла из промежутка [0; π/4]. Что и требовалось доказать.