Глава V. § 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов — с. 164
539. Преобразовать в произведение:
1) 1 + 2 sin α;
2) 1 − 2 sin α;
3) 1 + 2 cos α;
4) 1 + sin α.
1) 1 + 2 sin α;
2) 1 − 2 sin α;
3) 1 + 2 cos α;
4) 1 + sin α.
Заменяем 1/2 значением синуса или косинуса табличного угла и применяем формулы суммы и разности.
1) 1 + 2 sin α = 2(sin π/6 + sin α) = 4 sin(α/2 + π/12) cos(α/2 − π/12).
2) 1 − 2 sin α = 2(sin π/6 − sin α) = 4 sin(π/12 − α/2) cos(π/12 + α/2).
3) 1 + 2 cos α = 2(cos π/3 + cos α) = 4 cos(α/2 + π/6) cos(α/2 − π/6).
4) 1 + sin α = sin π/2 + sin α = 2 sin(π/4 + α/2) cos(π/4 − α/2).
1) 1 + 2 sin α = 2(sin π/6 + sin α) = 4 sin(α/2 + π/12) cos(α/2 − π/12).
2) 1 − 2 sin α = 2(sin π/6 − sin α) = 4 sin(π/12 − α/2) cos(π/12 + α/2).
3) 1 + 2 cos α = 2(cos π/3 + cos α) = 4 cos(α/2 + π/6) cos(α/2 − π/6).
4) 1 + sin α = sin π/2 + sin α = 2 sin(π/4 + α/2) cos(π/4 − α/2).
540. Доказать тождество:
1) (sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α) = tg 2α;
2) (sin 2α + sin 4α)/(cos 2α − cos 4α) = ctg α.
1) (sin α + sin 3α)/(cos α + cos 3α) = tg 2α;
2) (sin 2α + sin 4α)/(cos 2α − cos 4α) = ctg α.
1) sin α + sin 3α = 2 sin 2α cos α, cos α + cos 3α = 2 cos 2α cos α. Дробь равна (2 sin 2α cos α)/(2 cos 2α cos α) = sin 2α/cos 2α = tg 2α.
2) sin 2α + sin 4α = 2 sin 3α cos α; cos 2α − cos 4α = −2 sin 3α sin(−α) = 2 sin 3α sin α. Дробь равна (2 sin 3α cos α)/(2 sin 3α sin α) = cos α/sin α = ctg α.
Тождества верны при значениях α, при которых знаменатели не равны нулю.
2) sin 2α + sin 4α = 2 sin 3α cos α; cos 2α − cos 4α = −2 sin 3α sin(−α) = 2 sin 3α sin α. Дробь равна (2 sin 3α cos α)/(2 sin 3α sin α) = cos α/sin α = ctg α.
Тождества верны при значениях α, при которых знаменатели не равны нулю.
541. Упростить выражение:
1) 2(cos α + cos 3α)/(2 sin 2α + sin 4α);
2) (1 + sin α − cos 2α − sin 3α)/(2 sin² α + sin α − 1).
1) 2(cos α + cos 3α)/(2 sin 2α + sin 4α);
2) (1 + sin α − cos 2α − sin 3α)/(2 sin² α + sin α − 1).
1) Числитель: 2(cos α + cos 3α) = 4 cos 2α cos α. Знаменатель: 2 sin 2α + sin 4α = 2 sin 2α + 2 sin 2α cos 2α = 2 sin 2α (1 + cos 2α) = 4 sin 2α cos² α. Дробь: (4 cos 2α cos α)/(4 sin 2α cos² α) = cos 2α/(sin 2α cos α) = ctg 2α / cos α.
2) Числитель: (1 − cos 2α) + (sin α − sin 3α) = 2 sin² α − 2 cos 2α sin α = 2 sin α (sin α − cos 2α) = 2 sin α (sin α − 1 + 2 sin² α) = 2 sin α (2 sin α − 1)(sin α + 1). Знаменатель: 2 sin² α + sin α − 1 = (2 sin α − 1)(sin α + 1). После сокращения получаем 2 sin α.
Ответ: 1) ctg 2α / cos α; 2) 2 sin α.
2) Числитель: (1 − cos 2α) + (sin α − sin 3α) = 2 sin² α − 2 cos 2α sin α = 2 sin α (sin α − cos 2α) = 2 sin α (sin α − 1 + 2 sin² α) = 2 sin α (2 sin α − 1)(sin α + 1). Знаменатель: 2 sin² α + sin α − 1 = (2 sin α − 1)(sin α + 1). После сокращения получаем 2 sin α.
Ответ: 1) ctg 2α / cos α; 2) 2 sin α.
542. Доказать тождество:
1) cos⁴ α − sin⁴ α + sin 2α = √2 cos(2α − π/4);
2) cos α + cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 − α) = 0;
3) (sin 2α + sin 5α − sin 3α)/(cos α + 1 − 2 sin² 2α) = 2 sin α.
1) cos⁴ α − sin⁴ α + sin 2α = √2 cos(2α − π/4);
2) cos α + cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 − α) = 0;
3) (sin 2α + sin 5α − sin 3α)/(cos α + 1 − 2 sin² 2α) = 2 sin α.
1) cos⁴ α − sin⁴ α = (cos² α − sin² α)(cos² α + sin² α) = cos 2α. Левая часть: cos 2α + sin 2α = √2 (cos 2α · √2/2 + sin 2α · √2/2) = √2 (cos 2α cos π/4 + sin 2α sin π/4) = √2 cos(2α − π/4).
2) cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 − α) = 2 cos(2π/3) cos α = −cos α. Тогда вся сумма: cos α − cos α = 0.
3) sin 5α − sin 3α = 2 cos 4α sin α, поэтому числитель равен 2 sin α cos α + 2 sin α cos 4α = 2 sin α (cos α + cos 4α). В знаменателе 1 − 2 sin² 2α = cos 4α, он равен cos α + cos 4α. После сокращения получаем 2 sin α (при cos α + cos 4α ≠ 0).
2) cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 − α) = 2 cos(2π/3) cos α = −cos α. Тогда вся сумма: cos α − cos α = 0.
3) sin 5α − sin 3α = 2 cos 4α sin α, поэтому числитель равен 2 sin α cos α + 2 sin α cos 4α = 2 sin α (cos α + cos 4α). В знаменателе 1 − 2 sin² 2α = cos 4α, он равен cos α + cos 4α. После сокращения получаем 2 sin α (при cos α + cos 4α ≠ 0).
543. Записать в виде произведения:
1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos π/12 + cos π/4 + cos 5π/6.
1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos π/12 + cos π/4 + cos 5π/6.
1) Группируем: (cos 22° + cos 28°) + (cos 24° + cos 26°) = 2 cos 25° cos 3° + 2 cos 25° cos 1° = 2 cos 25° (cos 3° + cos 1°) = 4 cos 25° cos 2° cos 1°.
2) cos π/12 + cos π/4 = 2 cos(π/6) cos(π/12) = √3 cos(π/12); cos 5π/6 = −√3/2 = −√3 · cos(π/3). Тогда сумма = √3 (cos π/12 − cos π/3) = √3 · (−2) sin(5π/24) sin(−π/8) = 2√3 sin(5π/24) sin(π/8).
(Проверка: обе части ≈ 0,807.)
Ответ: 1) 4 cos 25° cos 2° cos 1°; 2) 2√3 sin(5π/24) sin(π/8).
2) cos π/12 + cos π/4 = 2 cos(π/6) cos(π/12) = √3 cos(π/12); cos 5π/6 = −√3/2 = −√3 · cos(π/3). Тогда сумма = √3 (cos π/12 − cos π/3) = √3 · (−2) sin(5π/24) sin(−π/8) = 2√3 sin(5π/24) sin(π/8).
(Проверка: обе части ≈ 0,807.)
Ответ: 1) 4 cos 25° cos 2° cos 1°; 2) 2√3 sin(5π/24) sin(π/8).
544. Доказать тождество tg α + tg β = sin(α + β)/(cos α cos β) и вычислить:
1) tg 267° + tg 93°;
2) tg 5π/12 + tg 7π/12.
1) tg 267° + tg 93°;
2) tg 5π/12 + tg 7π/12.
Доказательство: tg α + tg β = sin α/cos α + sin β/cos β = (sin α cos β + cos α sin β)/(cos α cos β) = sin(α + β)/(cos α cos β).
1) α = 267°, β = 93°, α + β = 360°, sin 360° = 0; cos 267° ≠ 0, cos 93° ≠ 0, значит сумма равна 0.
2) α + β = 5π/12 + 7π/12 = π, sin π = 0; косинусы углов не равны нулю, значит сумма равна 0.
Ответ: 1) 0; 2) 0.
1) α = 267°, β = 93°, α + β = 360°, sin 360° = 0; cos 267° ≠ 0, cos 93° ≠ 0, значит сумма равна 0.
2) α + β = 5π/12 + 7π/12 = π, sin π = 0; косинусы углов не равны нулю, значит сумма равна 0.
Ответ: 1) 0; 2) 0.
545. Разложить на множители:
1) 1 − cos α + sin α;
2) 1 − 2 cos α + cos 2α;
3) 1 + sin α − cos α − tg α;
4) 1 + sin α + cos α + tg α.
1) 1 − cos α + sin α;
2) 1 − 2 cos α + cos 2α;
3) 1 + sin α − cos α − tg α;
4) 1 + sin α + cos α + tg α.
1) 1 − cos α = 2 sin²(α/2), sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2). Выражение: 2 sin(α/2)(sin(α/2) + cos(α/2)) = 2√2 sin(α/2) sin(α/2 + π/4).
2) cos 2α = 2 cos² α − 1, поэтому 1 − 2 cos α + 2 cos² α − 1 = 2 cos α (cos α − 1) = −4 cos α sin²(α/2).
3) Группируем: (1 − cos α) + sin α (1 − 1/cos α) = (1 − cos α) − sin α (1 − cos α)/cos α = (1 − cos α)(1 − tg α) = (1 − cos α)(cos α − sin α)/cos α = 2 sin²(α/2) · √2 cos(α + π/4)/cos α.
4) (1 + cos α) + sin α (1 + 1/cos α) = (1 + cos α)(1 + tg α) = (1 + cos α)(cos α + sin α)/cos α = 2 cos²(α/2) · √2 sin(α + π/4)/cos α.
Оговорка: разложение определено неоднозначно, возможны другие равносильные записи произведения.
2) cos 2α = 2 cos² α − 1, поэтому 1 − 2 cos α + 2 cos² α − 1 = 2 cos α (cos α − 1) = −4 cos α sin²(α/2).
3) Группируем: (1 − cos α) + sin α (1 − 1/cos α) = (1 − cos α) − sin α (1 − cos α)/cos α = (1 − cos α)(1 − tg α) = (1 − cos α)(cos α − sin α)/cos α = 2 sin²(α/2) · √2 cos(α + π/4)/cos α.
4) (1 + cos α) + sin α (1 + 1/cos α) = (1 + cos α)(1 + tg α) = (1 + cos α)(cos α + sin α)/cos α = 2 cos²(α/2) · √2 sin(α + π/4)/cos α.
Оговорка: разложение определено неоднозначно, возможны другие равносильные записи произведения.
546. Найти:
1) cos α, если sin α = √3/3 и π/2 < α < π;
2) tg α, если cos α = −√5/3 и π < α < 3π/2;
3) sin α, если tg α = 2√2 и 0 < α < π/2;
4) cos α, если ctg α = √2 и π < α < 3π/2.
1) cos α, если sin α = √3/3 и π/2 < α < π;
2) tg α, если cos α = −√5/3 и π < α < 3π/2;
3) sin α, если tg α = 2√2 и 0 < α < π/2;
4) cos α, если ctg α = √2 и π < α < 3π/2.
1) Вторая четверть, cos α < 0: cos α = −√(1 − 1/3) = −√(2/3) = −√6/3.
2) Третья четверть, sin α < 0: sin α = −√(1 − 5/9) = −2/3; tg α = (−2/3)/(−√5/3) = 2/√5 = 2√5/5.
3) 1 + tg² α = 1/cos² α = 9; первая четверть, cos α = 1/3; sin α = tg α · cos α = 2√2/3.
4) 1 + ctg² α = 1/sin² α = 3, sin² α = 1/3; третья четверть, sin α = −√3/3; cos α = ctg α · sin α = −√2 · √3/3 = −√6/3.
Ответ: 1) −√6/3; 2) 2√5/5; 3) 2√2/3; 4) −√6/3.
2) Третья четверть, sin α < 0: sin α = −√(1 − 5/9) = −2/3; tg α = (−2/3)/(−√5/3) = 2/√5 = 2√5/5.
3) 1 + tg² α = 1/cos² α = 9; первая четверть, cos α = 1/3; sin α = tg α · cos α = 2√2/3.
4) 1 + ctg² α = 1/sin² α = 3, sin² α = 1/3; третья четверть, sin α = −√3/3; cos α = ctg α · sin α = −√2 · √3/3 = −√6/3.
Ответ: 1) −√6/3; 2) 2√5/5; 3) 2√2/3; 4) −√6/3.