Алгебра Алимов 10-11 класс, страница 166 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава V. Проверь себя! — с. 166 Проверь себя! Задание 1. Вычислить sin α, tg α, cos 2α, если cos α = −4/5 и π/2 Вторая четверть, sin α > 0: sin α = √(1 − 16/25) = 3/5. tg α = sin α/cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4. cos 2α = 2 cos² α − 1 = 2 · 16/25 − 1 = 7/25. Ответ: sin α = 3/5; tg α = −3/4; cos 2α = 7/25. Проверь себя! Задание 2. Найти значение выражения: 1) cos 135°; 2) sin 8π/3; 3) tg 7π/3; 4) cos² π/8 − sin² π/8. 1) cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2. 2) sin 8π/3 = sin(2π + 2π/3) = sin 2π/3 = √3/2. 3) tg 7π/3 = tg(2π + π/3) = tg π/3 = √3. 4) cos² π/8 − sin² π/8 = cos π/4 = √2/2. Ответ: 1) −√2/2; 2) √3/2; 3) √3; 4) √2/2. Проверь себя! Задание 3. Доказать тождество: 1) 3 cos 2α + sin² α − cos² α = 2 cos 2α; 2) (sin 5α − sin 3α)/(2 cos 4α) = sin α. 1) sin² α − cos² α = −cos 2α. Левая часть: 3 cos 2α − cos 2α = 2 cos 2α. 2) sin 5α − sin 3α = 2 sin α cos 4α. Дробь: 2 sin α cos 4α/(2 cos 4α) = sin α (при cos 4α ≠ 0). Проверь себя! Задание 4. Упростить выражение: 1) sin(α − β) − sin(π/2 − α) · sin(−β); 2) cos²(π − α) − cos²(π/2 − α); 3) 2 sin α sin β + cos(α + β). 1) sin(π/2 − α) = cos α, sin(−β) = −sin β. Выражение: sin(α − β) + cos α sin β = sin α cos β − cos α sin β + cos α sin β = sin α cos β. 2) cos(π − α) = −cos α, cos(π/2 − α) = sin α. Выражение: cos² α − sin² α = cos 2α. 3) 2 sin α sin β + cos α cos β − sin α sin β = cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β). Ответ: 1) sin α cos β; 2) cos 2α; 3) cos(α − β). 557. Упростить выражение (cos β/sin α + sin β/cos α) · (1 − cos 4α)/cos(π − β + α). Сумма в скобках: (cos β cos α + sin β sin α)/(sin α cos α) = cos(α − β)/(sin α cos α). cos(π − β + α) = cos(π − (β − α)) = −cos(β − α) = −cos(α − β). 1 − cos 4α = 2 sin² 2α = 8 sin² α cos² α. Выражение: cos(α − β)/(sin α cos α) · 8 sin² α cos² α/(−cos(α − β)) = −8 sin α cos α = −4 sin 2α. Ответ: −4 sin 2α (при cos(α − β) ≠ 0, sin α cos α ≠ 0). 558. Доказать тождество: 1) (sin(2α − 3π) + 2 cos(7π/6 + 2α))/(2 cos(π/6 − 2α) + √3 cos(2α − 3π)) = −√3 ctg 2α; 2) (2 cos(π/6 − 2α) − √3 sin(2,5π − 2α))/(cos(4,5π − 2α) + 2 cos(π/6 + 2α)) = tg 2α/√3. 1) sin(2α − 3π) = −sin 2α; cos(7π/6 + 2α) = −cos(π/6 + 2α); cos(2α − 3π) = −cos 2α. Числитель: −sin 2α − 2 cos(π/6 + 2α) = −sin 2α − √3 cos 2α + sin 2α = −√3 cos 2α. Знаменатель: 2 cos(π/6 − 2α) − √3 cos 2α = √3 cos 2α + sin 2α − √3 cos 2α = sin 2α. Дробь: −√3 cos 2α/sin 2α = −√3 ctg 2α. 2) sin(2,5π − 2α) = sin(π/2 − 2α) = cos 2α; cos(4,5π − 2α) = cos(π/2 − 2α) = sin 2α. Числитель: √3 cos 2α + sin 2α − √3 cos 2α = sin 2α. Знам