Глава VI. § 35. Уравнение tg х = а — с. 183
607. Вычислить:
1) arctg 0;
2) arctg (−1);
3) arctg (−√3/3);
4) arctg √3.
1) arctg 0;
2) arctg (−1);
3) arctg (−√3/3);
4) arctg √3.
Используем определение: arctg a — это число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a, и нечётность арктангенса.
1) tg 0 = 0, поэтому arctg 0 = 0.
2) arctg (−1) = −arctg 1 = −π/4.
3) arctg (−√3/3) = −arctg (√3/3) = −π/6.
4) tg(π/3) = √3 и π/3 ∈ (−π/2; π/2), поэтому arctg √3 = π/3.
Ответ: 1) 0; 2) −π/4; 3) −π/6; 4) π/3.
1) tg 0 = 0, поэтому arctg 0 = 0.
2) arctg (−1) = −arctg 1 = −π/4.
3) arctg (−√3/3) = −arctg (√3/3) = −π/6.
4) tg(π/3) = √3 и π/3 ∈ (−π/2; π/2), поэтому arctg √3 = π/3.
Ответ: 1) 0; 2) −π/4; 3) −π/6; 4) π/3.
608. Вычислить:
1) 6 arctg √3 − 4 arcsin (−1/√2);
2) 2 arctg 1 + 3 arcsin (−1/2);
3) 5 arctg (−√3) − 3 arccos (−√2/2).
1) 6 arctg √3 − 4 arcsin (−1/√2);
2) 2 arctg 1 + 3 arcsin (−1/2);
3) 5 arctg (−√3) − 3 arccos (−√2/2).
1) arctg √3 = π/3; arcsin (−1/√2) = −arcsin (√2/2) = −π/4. Получаем 6·π/3 − 4·(−π/4) = 2π + π = 3π.
2) arctg 1 = π/4; arcsin (−1/2) = −π/6. Получаем 2·π/4 + 3·(−π/6) = π/2 − π/2 = 0.
3) arctg (−√3) = −π/3; arccos (−√2/2) = π − arccos (√2/2) = π − π/4 = 3π/4. Получаем 5·(−π/3) − 3·(3π/4) = −5π/3 − 9π/4 = (−20π − 27π)/12 = −47π/12.
Ответ: 1) 3π; 2) 0; 3) −47π/12.
2) arctg 1 = π/4; arcsin (−1/2) = −π/6. Получаем 2·π/4 + 3·(−π/6) = π/2 − π/2 = 0.
3) arctg (−√3) = −π/3; arccos (−√2/2) = π − arccos (√2/2) = π − π/4 = 3π/4. Получаем 5·(−π/3) − 3·(3π/4) = −5π/3 − 9π/4 = (−20π − 27π)/12 = −47π/12.
Ответ: 1) 3π; 2) 0; 3) −47π/12.
609. Сравнить числа:
1) arctg (−1) и arcsin (−√3/2);
2) arctg √3 и arccos 1/2;
3) arctg (−3) и arctg 2;
4) arctg (−5) и arctg 0.
1) arctg (−1) и arcsin (−√3/2);
2) arctg √3 и arccos 1/2;
3) arctg (−3) и arctg 2;
4) arctg (−5) и arctg 0.
1) arctg (−1) = −π/4; arcsin (−√3/2) = −π/3. Так как −π/4 > −π/3, то arctg (−1) > arcsin (−√3/2).
2) arctg √3 = π/3; arccos 1/2 = π/3. Числа равны.
3) Функция y = arctg x возрастает, а −3 < 2, поэтому arctg (−3) < arctg 2.
4) arctg 0 = 0, а −5 < 0; по возрастанию арктангенса arctg (−5) < arctg 0.
Ответ: 1) >; 2) =; 3) <; 4) <.
2) arctg √3 = π/3; arccos 1/2 = π/3. Числа равны.
3) Функция y = arctg x возрастает, а −3 < 2, поэтому arctg (−3) < arctg 2.
4) arctg 0 = 0, а −5 < 0; по возрастанию арктангенса arctg (−5) < arctg 0.
Ответ: 1) >; 2) =; 3) <; 4) <.
610. Решить уравнение:
1) tg x = 1/√3;
2) tg x = √3;
3) tg x = −√3;
4) tg x = −1;
5) tg x = 4;
6) tg x = −5.
1) tg x = 1/√3;
2) tg x = √3;
3) tg x = −√3;
4) tg x = −1;
5) tg x = 4;
6) tg x = −5.
Корни уравнения tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z.
1) x = arctg (1/√3) + πn = π/6 + πn, n ∈ Z.
2) x = arctg √3 + πn = π/3 + πn, n ∈ Z.
3) x = arctg (−√3) + πn = −π/3 + πn, n ∈ Z.
4) x = arctg (−1) + πn = −π/4 + πn, n ∈ Z.
5) x = arctg 4 + πn, n ∈ Z.
6) x = arctg (−5) + πn = −arctg 5 + πn, n ∈ Z.
1) x = arctg (1/√3) + πn = π/6 + πn, n ∈ Z.
2) x = arctg √3 + πn = π/3 + πn, n ∈ Z.
3) x = arctg (−√3) + πn = −π/3 + πn, n ∈ Z.
4) x = arctg (−1) + πn = −π/4 + πn, n ∈ Z.
5) x = arctg 4 + πn, n ∈ Z.
6) x = arctg (−5) + πn = −arctg 5 + πn, n ∈ Z.
611. Решить уравнение:
1) tg 3x = 0;
2) 1 + tg (x/3) = 0;
3) √3 + tg (x/6) = 0.
1) tg 3x = 0;
2) 1 + tg (x/3) = 0;
3) √3 + tg (x/6) = 0.
1) 3x = arctg 0 + πn = πn, откуда x = πn/3, n ∈ Z.
2) tg (x/3) = −1; x/3 = −π/4 + πn; x = −3π/4 + 3πn, n ∈ Z.
3) tg (x/6) = −√3; x/6 = −π/3 + πn; x = −2π + 6πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) x = πn/3; 2) x = −3π/4 + 3πn; 3) x = −2π + 6πn, n ∈ Z.
2) tg (x/3) = −1; x/3 = −π/4 + πn; x = −3π/4 + 3πn, n ∈ Z.
3) tg (x/6) = −√3; x/6 = −π/3 + πn; x = −2π + 6πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) x = πn/3; 2) x = −3π/4 + 3πn; 3) x = −2π + 6πn, n ∈ Z.
612. Решить уравнение:
1) (tg x − 1)(tg x + √3) = 0;
2) (√3 tg x + 1)(tg x − √3) = 0;
3) (tg x − 2)(2 cos x − 1) = 0;
4) (tg x − 4,5)(1 + 2 sin x) = 0;
5) (tg x + 4)(tg (x/2) − 1) = 0;
6) (tg (x/6) + 1)(tg x − 1) = 0.
1) (tg x − 1)(tg x + √3) = 0;
2) (√3 tg x + 1)(tg x − √3) = 0;
3) (tg x − 2)(2 cos x − 1) = 0;
4) (tg x − 4,5)(1 + 2 sin x) = 0;
5) (tg x + 4)(tg (x/2) − 1) = 0;
6) (tg (x/6) + 1)(tg x − 1) = 0.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
1) tg x = 1: x = π/4 + πn; tg x = −√3: x = −π/3 + πn, n ∈ Z. Оба множителя определены при cos x ≠ 0, это выполнено.
2) tg x = −1/√3: x = −π/6 + πn; tg x = √3: x = π/3 + πn, n ∈ Z.
3) tg x = 2: x = arctg 2 + πn; cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z. В найденных точках cos x ≠ 0, поэтому tg x определён.
4) tg x = 4,5: x = arctg 4,5 + πn; sin x = −1/2: x = (−1)^(n+1)·π/6 + πn, n ∈ Z. В этих точках cos x ≠ 0.
5) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos (x/2) ≠ 0. tg x = −4: x = −arctg 4 + πn. Из tg (x/2) = 1 получаем x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn, но в этих точках tg x не определён, поэтому они посторонние. Для x = −arctg 4 + πn имеем cos x ≠ 0, а cos (x/2) = 0 означало бы x = π + 2πk, что невозможно, так как arctg 4 не кратен π. Ответ: x = −arctg 4 + πn, n ∈ Z.
6) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos (x/6) ≠ 0. tg (x/6) = −1: x/6 = −π/4 + πn, x = −3π/2 + 6πn; здесь cos x = 0, значит tg x не определён, и эта серия посторонняя. tg x = 1: x = π/4 + πn; при этом x/6 = π/24 + πn/6 и cos (x/6) = 0 потребовало бы 1 + 4n = 12 + 24k, то есть чётного числа, равного нечётному, что невозможно. Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) π/4 + πn, −π/3 + πn; 2) −π/6 + πn, π/3 + πn; 3) arctg 2 + πn, ±π/3 + 2πn; 4) arctg 4,5 + πn, (−1)^(n+1)·π/6 + πn; 5) −arctg 4 + πn; 6) π/4 + πn, n ∈ Z.
1) tg x = 1: x = π/4 + πn; tg x = −√3: x = −π/3 + πn, n ∈ Z. Оба множителя определены при cos x ≠ 0, это выполнено.
2) tg x = −1/√3: x = −π/6 + πn; tg x = √3: x = π/3 + πn, n ∈ Z.
3) tg x = 2: x = arctg 2 + πn; cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z. В найденных точках cos x ≠ 0, поэтому tg x определён.
4) tg x = 4,5: x = arctg 4,5 + πn; sin x = −1/2: x = (−1)^(n+1)·π/6 + πn, n ∈ Z. В этих точках cos x ≠ 0.
5) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos (x/2) ≠ 0. tg x = −4: x = −arctg 4 + πn. Из tg (x/2) = 1 получаем x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn, но в этих точках tg x не определён, поэтому они посторонние. Для x = −arctg 4 + πn имеем cos x ≠ 0, а cos (x/2) = 0 означало бы x = π + 2πk, что невозможно, так как arctg 4 не кратен π. Ответ: x = −arctg 4 + πn, n ∈ Z.
6) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos (x/6) ≠ 0. tg (x/6) = −1: x/6 = −π/4 + πn, x = −3π/2 + 6πn; здесь cos x = 0, значит tg x не определён, и эта серия посторонняя. tg x = 1: x = π/4 + πn; при этом x/6 = π/24 + πn/6 и cos (x/6) = 0 потребовало бы 1 + 4n = 12 + 24k, то есть чётного числа, равного нечётному, что невозможно. Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) π/4 + πn, −π/3 + πn; 2) −π/6 + πn, π/3 + πn; 3) arctg 2 + πn, ±π/3 + 2πn; 4) arctg 4,5 + πn, (−1)^(n+1)·π/6 + πn; 5) −arctg 4 + πn; 6) π/4 + πn, n ∈ Z.
613. Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3 tg x − √3 = 0.
tg x = √3/3 = 1/√3, откуда x = π/6 + πn, n ∈ Z.
Положительные корни: n = 0 даёт π/6, n ≥ 1 даёт большие значения, значит наименьший положительный корень π/6.
Отрицательные корни: n = −1 даёт π/6 − π = −5π/6, n = −2 даёт ещё меньшее число, значит наибольший отрицательный корень −5π/6.
Ответ: π/6 и −5π/6.
Положительные корни: n = 0 даёт π/6, n ≥ 1 даёт большие значения, значит наименьший положительный корень π/6.
Отрицательные корни: n = −1 даёт π/6 − π = −5π/6, n = −2 даёт ещё меньшее число, значит наибольший отрицательный корень −5π/6.
Ответ: π/6 и −5π/6.