Глава VII. § 43*. Упражнения — с. 226
750. Сравнить числа:
1) arcsin (1/√3) и arcsin (2/√10);
2) arcsin (−2/3) и arcsin (−3/4).
1) arcsin (1/√3) и arcsin (2/√10);
2) arcsin (−2/3) и arcsin (−3/4).
Функция y = arcsin x возрастает на отрезке [−1; 1]: большему аргументу соответствует большее значение.
1) Сравним 1/√3 и 2/√10. Оба числа положительны, сравним квадраты: 1/3 и 4/10 = 2/5. Так как 1/3 = 5/15 < 6/15 = 2/5, то 1/√3 < 2/√10. Поэтому arcsin (1/√3) < arcsin (2/√10).
2) Сравним −2/3 и −3/4: 2/3 = 8/12 < 9/12 = 3/4, значит −2/3 > −3/4. Поэтому arcsin (−2/3) > arcsin (−3/4).
Ответ: 1) arcsin (1/√3) < arcsin (2/√10); 2) arcsin (−2/3) > arcsin (−3/4).
1) Сравним 1/√3 и 2/√10. Оба числа положительны, сравним квадраты: 1/3 и 4/10 = 2/5. Так как 1/3 = 5/15 < 6/15 = 2/5, то 1/√3 < 2/√10. Поэтому arcsin (1/√3) < arcsin (2/√10).
2) Сравним −2/3 и −3/4: 2/3 = 8/12 < 9/12 = 3/4, значит −2/3 > −3/4. Поэтому arcsin (−2/3) > arcsin (−3/4).
Ответ: 1) arcsin (1/√3) < arcsin (2/√10); 2) arcsin (−2/3) > arcsin (−3/4).
751. Сравнить числа:
1) arccos (1/√3) и arccos (1/√5);
2) arccos (−4/5) и arccos (−1/3).
1) arccos (1/√3) и arccos (1/√5);
2) arccos (−4/5) и arccos (−1/3).
Функция y = arccos x убывает на отрезке [−1; 1]: большему аргументу соответствует меньшее значение.
1) 1/√3 > 1/√5, так как √3 < √5. Поэтому arccos (1/√3) < arccos (1/√5).
2) −4/5 < −1/3 (4/5 > 1/3). Поэтому arccos (−4/5) > arccos (−1/3).
Ответ: 1) arccos (1/√3) < arccos (1/√5); 2) arccos (−4/5) > arccos (−1/3).
1) 1/√3 > 1/√5, так как √3 < √5. Поэтому arccos (1/√3) < arccos (1/√5).
2) −4/5 < −1/3 (4/5 > 1/3). Поэтому arccos (−4/5) > arccos (−1/3).
Ответ: 1) arccos (1/√3) < arccos (1/√5); 2) arccos (−4/5) > arccos (−1/3).
752. Сравнить числа:
1) arctg 2√3 и arctg 3√2;
2) arctg (−1/√2) и arctg (−1/√5).
1) arctg 2√3 и arctg 3√2;
2) arctg (−1/√2) и arctg (−1/√5).
Функция y = arctg x возрастает на всей числовой прямой.
1) 2√3 = √12, 3√2 = √18, √12 < √18, значит 2√3 < 3√2. Поэтому arctg 2√3 < arctg 3√2.
2) 1/√2 > 1/√5, поэтому −1/√2 < −1/√5. Следовательно, arctg (−1/√2) < arctg (−1/√5).
Ответ: 1) arctg 2√3 < arctg 3√2; 2) arctg (−1/√2) < arctg (−1/√5).
1) 2√3 = √12, 3√2 = √18, √12 < √18, значит 2√3 < 3√2. Поэтому arctg 2√3 < arctg 3√2.
2) 1/√2 > 1/√5, поэтому −1/√2 < −1/√5. Следовательно, arctg (−1/√2) < arctg (−1/√5).
Ответ: 1) arctg 2√3 < arctg 3√2; 2) arctg (−1/√2) < arctg (−1/√5).
753. Решить уравнение:
1) arcsin (2 − 3x) = π/6;
2) arcsin (3 − 2x) = π/4;
3) arcsin ((x − 2)/4) = −π/4;
4) arcsin ((x + 3)/2) = −π/3.
1) arcsin (2 − 3x) = π/6;
2) arcsin (3 − 2x) = π/4;
3) arcsin ((x − 2)/4) = −π/4;
4) arcsin ((x + 3)/2) = −π/3.
Так как все правые части принадлежат отрезку [−π/2; π/2], уравнение arcsin t = α равносильно уравнению t = sin α.
1) 2 − 3x = sin π/6 = 1/2; 3x = 3/2; x = 1/2.
2) 3 − 2x = sin π/4 = √2/2; 2x = 3 − √2/2; x = (6 − √2)/4.
3) (x − 2)/4 = sin (−π/4) = −√2/2; x − 2 = −2√2; x = 2 − 2√2.
4) (x + 3)/2 = sin (−π/3) = −√3/2; x + 3 = −√3; x = −3 − √3.
Проверка: значения аргумента арксинуса (1/2, √2/2, −√2/2, −√3/2) лежат в [−1; 1].
Ответ: 1) 1/2; 2. (6 − √2)/4; 3) 2 − 2√2; 4) −3 − √3.
1) 2 − 3x = sin π/6 = 1/2; 3x = 3/2; x = 1/2.
2) 3 − 2x = sin π/4 = √2/2; 2x = 3 − √2/2; x = (6 − √2)/4.
3) (x − 2)/4 = sin (−π/4) = −√2/2; x − 2 = −2√2; x = 2 − 2√2.
4) (x + 3)/2 = sin (−π/3) = −√3/2; x + 3 = −√3; x = −3 − √3.
Проверка: значения аргумента арксинуса (1/2, √2/2, −√2/2, −√3/2) лежат в [−1; 1].
Ответ: 1) 1/2; 2. (6 − √2)/4; 3) 2 − 2√2; 4) −3 − √3.
754. Решить уравнение:
1) arccos (2x + 3) = π/3;
2) arccos (3x + 1) = π/2;
3) arccos ((x + 1)/3) = 2π/3;
4) arccos ((2x − 1)/3) = π.
1) arccos (2x + 3) = π/3;
2) arccos (3x + 1) = π/2;
3) arccos ((x + 1)/3) = 2π/3;
4) arccos ((2x − 1)/3) = π.
Все правые части принадлежат отрезку [0; π], поэтому arccos t = α равносильно t = cos α.
1) 2x + 3 = cos π/3 = 1/2; 2x = −5/2; x = −5/4.
2) 3x + 1 = cos π/2 = 0; x = −1/3.
3) (x + 1)/3 = cos 2π/3 = −1/2; x + 1 = −3/2; x = −5/2.
4) (2x − 1)/3 = cos π = −1; 2x − 1 = −3; x = −1.
Ответ: 1) −5/4; 2) −1/3; 3) −5/2; 4) −1.
1) 2x + 3 = cos π/3 = 1/2; 2x = −5/2; x = −5/4.
2) 3x + 1 = cos π/2 = 0; x = −1/3.
3) (x + 1)/3 = cos 2π/3 = −1/2; x + 1 = −3/2; x = −5/2.
4) (2x − 1)/3 = cos π = −1; 2x − 1 = −3; x = −1.
Ответ: 1) −5/4; 2) −1/3; 3) −5/2; 4) −1.
755. Решить уравнение:
1) arctg ((1 − x)/4) = π/3;
2) arctg ((1 + 2x)/3) = π/4;
3) arctg (2x + 1) = −π/3;
4) arctg (2 − 3x) = −π/4.
1) arctg ((1 − x)/4) = π/3;
2) arctg ((1 + 2x)/3) = π/4;
3) arctg (2x + 1) = −π/3;
4) arctg (2 − 3x) = −π/4.
Функция arctg определена на всей прямой, значения лежат в (−π/2; π/2); так как правые части принадлежат этому интервалу, arctg t = α равносильно t = tg α.
1) (1 − x)/4 = tg π/3 = √3; 1 − x = 4√3; x = 1 − 4√3.
2) (1 + 2x)/3 = tg π/4 = 1; 1 + 2x = 3; x = 1.
3) 2x + 1 = tg (−π/3) = −√3; x = (−1 − √3)/2.
4) 2 − 3x = tg (−π/4) = −1; 3x = 3; x = 1.
Ответ: 1) 1 − 4√3; 2) 1; 3) −(1 + √3)/2; 4) 1.
1) (1 − x)/4 = tg π/3 = √3; 1 − x = 4√3; x = 1 − 4√3.
2) (1 + 2x)/3 = tg π/4 = 1; 1 + 2x = 3; x = 1.
3) 2x + 1 = tg (−π/3) = −√3; x = (−1 − √3)/2.
4) 2 − 3x = tg (−π/4) = −1; 3x = 3; x = 1.
Ответ: 1) 1 − 4√3; 2) 1; 3) −(1 + √3)/2; 4) 1.