Глава VII. Проверь себя! — с. 228
Проверь себя!
Задание 1. Найти область определения функции y = tg 4x. Является ли эта функция чётной?
Функция tg t определена при t ≠ π/2 + πn. Поэтому 4x ≠ π/2 + πn, откуда x ≠ π/8 + πn/4, n ∈ Z.
Область определения симметрична относительно нуля (если x ≠ π/8 + πn/4, то и −x не имеет такого вида). Проверяем: y(−x) = tg (−4x) = −tg 4x = −y(x). Функция нечётная, и так как она не равна тождественно нулю, чётной она не является.
Ответ: x ≠ π/8 + πn/4, n ∈ Z; функция не является чётной (она нечётная).
Область определения симметрична относительно нуля (если x ≠ π/8 + πn/4, то и −x не имеет такого вида). Проверяем: y(−x) = tg (−4x) = −tg 4x = −y(x). Функция нечётная, и так как она не равна тождественно нулю, чётной она не является.
Ответ: x ≠ π/8 + πn/4, n ∈ Z; функция не является чётной (она нечётная).
Проверь себя!
Задание 2. Построить графики функций y = sin x, y = cos x на отрезке [−π; 2π]. Для каждой из этих функций найти значения x из данного отрезка, при которых y(x) = 1, y(x) = −1, y(x) = 0, y(x) > 0, y(x) < 0.
Строим графики по характерным точкам на [−π; 2π] (красная линия — синус, синяя — косинус).
Функция y = sin x:
y = 1: x = π/2;
y = −1: x = −π/2 и x = 3π/2;
y = 0: x = −π, 0, π, 2π;
y > 0: x ∈ (0; π);
y < 0: x ∈ (−π; 0) ∪ (π; 2π).
Функция y = cos x:
y = 1: x = 0 и x = 2π;
y = −1: x = −π и x = π;
y = 0: x = −π/2, π/2, 3π/2;
y > 0: x ∈ (−π/2; π/2) ∪ (3π/2; 2π];
y < 0: x ∈ [−π; −π/2) ∪ (π/2; 3π/2).
Функция y = sin x:
y = 1: x = π/2;
y = −1: x = −π/2 и x = 3π/2;
y = 0: x = −π, 0, π, 2π;
y > 0: x ∈ (0; π);
y < 0: x ∈ (−π; 0) ∪ (π; 2π).
Функция y = cos x:
y = 1: x = 0 и x = 2π;
y = −1: x = −π и x = π;
y = 0: x = −π/2, π/2, 3π/2;
y > 0: x ∈ (−π/2; π/2) ∪ (3π/2; 2π];
y < 0: x ∈ [−π; −π/2) ∪ (π/2; 3π/2).
Проверь себя!
Задание 3. Построить схематически график функции y = tg x на отрезке [−3π/2; π/2]. Найти значения x, при которых tg x = 0, tg x < 0, tg x > 0 на данном отрезке.
На отрезке [−3π/2; π/2] функция tg x не определена в точках −3π/2, −π/2, π/2 (там график имеет вертикальные асимптоты). Период тангенса равен π, на каждом интервале (−π/2 + πn; π/2 + πn) функция возрастает от −∞ до +∞ и обращается в нуль в точке πn. На заданном отрезке получаются две полные ветви: на (−3π/2; −π/2) с нулём в точке −π и на (−π/2; π/2) с нулём в точке 0.
По графику:
tg x = 0 при x = −π и x = 0;
tg x > 0 при x ∈ (−π; −π/2) ∪ (0; π/2);
tg x < 0 при x ∈ (−3π/2; −π) ∪ (−π/2; 0).
По графику:
tg x = 0 при x = −π и x = 0;
tg x > 0 при x ∈ (−π; −π/2) ∪ (0; π/2);
tg x < 0 при x ∈ (−3π/2; −π) ∪ (−π/2; 0).
765. Найти область определения функции:
1) y = tg (2x + π/6);
2) y = √(tg x).
1) y = tg (2x + π/6);
2) y = √(tg x).
1) tg t определён при t ≠ π/2 + πn: 2x + π/6 ≠ π/2 + πn; 2x ≠ π/3 + πn; x ≠ π/6 + πn/2, n ∈ Z.
2) Нужно, чтобы tg x был определён (x ≠ π/2 + πn) и tg x ≥ 0. Неравенство tg x ≥ 0 выполняется при πn ≤ x < π/2 + πn.
Ответ: 1) x ≠ π/6 + πn/2, n ∈ Z; 2) πn ≤ x < π/2 + πn, n ∈ Z.
2) Нужно, чтобы tg x был определён (x ≠ π/2 + πn) и tg x ≥ 0. Неравенство tg x ≥ 0 выполняется при πn ≤ x < π/2 + πn.
Ответ: 1) x ≠ π/6 + πn/2, n ∈ Z; 2) πn ≤ x < π/2 + πn, n ∈ Z.
766. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) y = cos⁴ x − sin⁴ x;
2) y = sin (x + π/4) sin (x − π/4);
3) y = 1 − 2 |sin 3x|;
4) y = sin² x − 2 cos² x.
1) y = cos⁴ x − sin⁴ x;
2) y = sin (x + π/4) sin (x − π/4);
3) y = 1 − 2 |sin 3x|;
4) y = sin² x − 2 cos² x.
1) cos⁴ x − sin⁴ x = (cos² x − sin² x)(cos² x + sin² x) = cos 2x. Наибольшее значение 1, наименьшее −1.
2) Произведение синусов: sin α sin β = (cos (α − β) − cos (α + β))/2. Здесь α − β = π/2, α + β = 2x, поэтому y = (cos π/2 − cos 2x)/2 = −(1/2) cos 2x. Наибольшее значение 1/2, наименьшее −1/2.
3) 0 ≤ |sin 3x| ≤ 1, поэтому −1 ≤ 1 − 2|sin 3x| ≤ 1. Наибольшее значение 1 (при sin 3x = 0), наименьшее −1 (при |sin 3x| = 1).
4) y = sin² x − 2 (1 − sin² x) = 3 sin² x − 2; 0 ≤ sin² x ≤ 1, поэтому −2 ≤ y ≤ 1. Наибольшее значение 1, наименьшее −2.
Ответ: 1) 1 и −1; 2) 1/2 и −1/2; 3) 1 и −1; 4) 1 и −2.
2) Произведение синусов: sin α sin β = (cos (α − β) − cos (α + β))/2. Здесь α − β = π/2, α + β = 2x, поэтому y = (cos π/2 − cos 2x)/2 = −(1/2) cos 2x. Наибольшее значение 1/2, наименьшее −1/2.
3) 0 ≤ |sin 3x| ≤ 1, поэтому −1 ≤ 1 − 2|sin 3x| ≤ 1. Наибольшее значение 1 (при sin 3x = 0), наименьшее −1 (при |sin 3x| = 1).
4) y = sin² x − 2 (1 − sin² x) = 3 sin² x − 2; 0 ≤ sin² x ≤ 1, поэтому −2 ≤ y ≤ 1. Наибольшее значение 1, наименьшее −2.
Ответ: 1) 1 и −1; 2) 1/2 и −1/2; 3) 1 и −1; 4) 1 и −2.
767. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
1) y = sin x + tg x;
2) y = sin x tg x;
3) y = sin x |cos x|.
1) y = sin x + tg x;
2) y = sin x tg x;
3) y = sin x |cos x|.
Областью определения во всех случаях является множество, симметричное относительно нуля (в п. 1 и 2: x ≠ π/2 + πn).
1) y(−x) = sin (−x) + tg (−x) = −sin x − tg x = −y(x): нечётная.
2) y(−x) = (−sin x)(−tg x) = sin x tg x = y(x): чётная.
3) y(−x) = sin (−x) |cos (−x)| = −sin x |cos x| = −y(x): нечётная.
1) y(−x) = sin (−x) + tg (−x) = −sin x − tg x = −y(x): нечётная.
2) y(−x) = (−sin x)(−tg x) = sin x tg x = y(x): чётная.
3) y(−x) = sin (−x) |cos (−x)| = −sin x |cos x| = −y(x): нечётная.
768. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = 2 sin (2x + 1);
2) y = 3 tg (1/4)(x + 1).
1) y = 2 sin (2x + 1);
2) y = 3 tg (1/4)(x + 1).
1) Период функции sin (kx + b) равен 2π/|k|; здесь k = 2, T = π.
2) Период функции tg (kx + b) равен π/|k|; здесь аргумент x/4 + 1/4, k = 1/4, T = π : (1/4) = 4π.
Ответ: 1) π; 2) 4π.
2) Период функции tg (kx + b) равен π/|k|; здесь аргумент x/4 + 1/4, k = 1/4, T = π : (1/4) = 4π.
Ответ: 1) π; 2) 4π.
769. Решить графически уравнение:
1) cos x = |x|;
2) sin x = −|x + 1|.
1) cos x = |x|;
2) sin x = −|x + 1|.
Строим графики левой и правой частей уравнения в одной системе координат, абсциссы точек пересечения — корни.
1) y = cos x и y = |x|. Обе функции чётные, поэтому корни симметричны относительно нуля. При x ≥ 0 уравнение cos x = x имеет один корень (cos x убывает от 1, а x возрастает от 0), x ≈ 0,74. Корни: x ≈ ±0,74.
2) y = sin x и y = −|x + 1| (график модуля, перевёрнутый вниз, с вершиной в точке (−1; 0)). Так как −|x + 1| ≤ 0, при x > 0 и при x < −2 правая часть меньше −1 ≤ sin x, пересечений нет. На отрезке [−2; −1] график модуля идёт по прямой y = x + 1 и пересекает синусоиду (x ≈ −1,93); на отрезке [−1; 0] он идёт по прямой y = −x − 1 и пересекает синусоиду (x ≈ −0,51).
Ответ: 1) x ≈ ±0,74; 2) x ≈ −1,93 и x ≈ −0,51.
1) y = cos x и y = |x|. Обе функции чётные, поэтому корни симметричны относительно нуля. При x ≥ 0 уравнение cos x = x имеет один корень (cos x убывает от 1, а x возрастает от 0), x ≈ 0,74. Корни: x ≈ ±0,74.
2) y = sin x и y = −|x + 1| (график модуля, перевёрнутый вниз, с вершиной в точке (−1; 0)). Так как −|x + 1| ≤ 0, при x > 0 и при x < −2 правая часть меньше −1 ≤ sin x, пересечений нет. На отрезке [−2; −1] график модуля идёт по прямой y = x + 1 и пересекает синусоиду (x ≈ −1,93); на отрезке [−1; 0] он идёт по прямой y = −x − 1 и пересекает синусоиду (x ≈ −0,51).
Ответ: 1) x ≈ ±0,74; 2) x ≈ −1,93 и x ≈ −0,51.
770. Найти нули функции:
1) y = cos² x − cos x;
2) y = cos x − cos 2x − sin 3x.
1) y = cos² x − cos x;
2) y = cos x − cos 2x − sin 3x.
1) cos² x − cos x = cos x (cos x − 1) = 0. Отсюда cos x = 0, x = π/2 + πn, или cos x = 1, x = 2πn, n ∈ Z.
2) Применим формулы: cos x − cos 2x = 2 sin (3x/2) sin (x/2), sin 3x = 2 sin (3x/2) cos (3x/2). Тогда уравнение принимает вид 2 sin (3x/2) (sin (x/2) − cos (3x/2)) = 0.
а) sin (3x/2) = 0: 3x/2 = πn, x = 2πn/3.
б) sin (x/2) = cos (3x/2) = sin (π/2 − 3x/2). Равенство синусов sin u = sin v выполняется в двух случаях: u = v + 2πn или u = π − v + 2πn.
Первый случай: x/2 = π/2 − 3x/2 + 2πn; 2x = π/2 + 2πn; x = π/4 + πn.
Второй случай: x/2 = π − (π/2 − 3x/2) + 2πn = π/2 + 3x/2 + 2πn; −x = π/2 + 2πn; x = −π/2 + 2πn.
Проверка подстановкой (например, x = π/4: cos = √2/2, cos π/2 = 0, sin 3π/4 = √2/2 — нуль; x = −π/2: 0 + 1 − 1 = 0) подтверждает корни.
Ответ: 1) π/2 + πn, 2πn; 2) 2πn/3, π/4 + πn, −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) Применим формулы: cos x − cos 2x = 2 sin (3x/2) sin (x/2), sin 3x = 2 sin (3x/2) cos (3x/2). Тогда уравнение принимает вид 2 sin (3x/2) (sin (x/2) − cos (3x/2)) = 0.
а) sin (3x/2) = 0: 3x/2 = πn, x = 2πn/3.
б) sin (x/2) = cos (3x/2) = sin (π/2 − 3x/2). Равенство синусов sin u = sin v выполняется в двух случаях: u = v + 2πn или u = π − v + 2πn.
Первый случай: x/2 = π/2 − 3x/2 + 2πn; 2x = π/2 + 2πn; x = π/4 + πn.
Второй случай: x/2 = π − (π/2 − 3x/2) + 2πn = π/2 + 3x/2 + 2πn; −x = π/2 + 2πn; x = −π/2 + 2πn.
Проверка подстановкой (например, x = π/4: cos = √2/2, cos π/2 = 0, sin 3π/4 = √2/2 — нуль; x = −π/2: 0 + 1 − 1 = 0) подтверждает корни.
Ответ: 1) π/2 + πn, 2πn; 2) 2πn/3, π/4 + πn, −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
771. Найти все значения x, при которых функция y = 1,5 − 2 sin² (x/2) принимает положительные значения.
2 sin² (x/2) = 1 − cos x, поэтому y = 1,5 − (1 − cos x) = 0,5 + cos x.
Условие y > 0 равносильно cos x > −1/2. Решение: −2π/3 + 2πn < x < 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
Условие y > 0 равносильно cos x > −1/2. Решение: −2π/3 + 2πn < x < 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
772. Найти все значения x, при которых функция y = tg 2x − 1 принимает отрицательные значения.
tg 2x − 1 < 0 ⇔ tg 2x < 1. Функция tg t принимает значения меньше 1 на интервалах −π/2 + πn < t < π/4 + πn. При t = 2x: −π/2 + πn < 2x < π/4 + πn; −π/4 + πn/2 < x < π/8 + πn/2, n ∈ Z.
773. Построить график функции:
1) y = 2 sin (x/2 + π/3) − 2;
2) y = cos x − √(cos² x).
1) y = 2 sin (x/2 + π/3) − 2;
2) y = cos x − √(cos² x).
1) Преобразуем: y = 2 sin ((x + 2π/3)/2) − 2. График получается из синусоиды y = sin x: растяжением вдоль оси Ox в 2 раза (период 4π), растяжением вдоль оси Oy в 2 раза (амплитуда 2), сдвигом влево на 2π/3 и вниз на 2.
Ключевые точки (аргумент синуса u = x/2 + π/3 принимает значения 0, π/2, π, 3π/2, 2π): (−2π/3; −2), (π/3; 0) — наибольшее значение, (4π/3; −2), (7π/3; −4) — наименьшее значение, (10π/3; −2). Множество значений [−4; 0]. С осью Oy график пересекается в точке (0; √3 − 2).
2) Так как √(cos² x) = |cos x|, то y = cos x − |cos x|. Если cos x ≥ 0, то y = 0; если cos x < 0, то |cos x| = −cos x и y = 2 cos x. Значит, график совпадает с осью Ox на отрезках [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], а на интервалах (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn) повторяет косинусоиду y = 2 cos x (арки вниз до значения −2 в точках π + 2πn). Период функции 2π, множество значений [−2; 0].
Ключевые точки (аргумент синуса u = x/2 + π/3 принимает значения 0, π/2, π, 3π/2, 2π): (−2π/3; −2), (π/3; 0) — наибольшее значение, (4π/3; −2), (7π/3; −4) — наименьшее значение, (10π/3; −2). Множество значений [−4; 0]. С осью Oy график пересекается в точке (0; √3 − 2).
2) Так как √(cos² x) = |cos x|, то y = cos x − |cos x|. Если cos x ≥ 0, то y = 0; если cos x < 0, то |cos x| = −cos x и y = 2 cos x. Значит, график совпадает с осью Ox на отрезках [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], а на интервалах (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn) повторяет косинусоиду y = 2 cos x (арки вниз до значения −2 в точках π + 2πn). Период функции 2π, множество значений [−2; 0].
774. Найти множество значений функции:
1) y = 12 sin x − 5 cos x;
2) y = cos² x − sin x.
1) y = 12 sin x − 5 cos x;
2) y = cos² x − sin x.
1) Вынесем √(12² + 5²) = 13: y = 13 ((12/13) sin x − (5/13) cos x). Так как (12/13)² + (5/13)² = 1, существует угол φ, для которого cos φ = 12/13, sin φ = 5/13. Тогда y = 13 (sin x cos φ − cos x sin φ) = 13 sin (x − φ). Значения синуса заполняют [−1; 1], поэтому E(y) = [−13; 13].
2) cos² x = 1 − sin² x. Пусть t = sin x, t ∈ [−1; 1]. Тогда y = 1 − t² − t = −t² − t + 1 — парабола с ветвями вниз и вершиной в t = −1/2; y(−1/2) = −1/4 + 1/2 + 1 = 5/4. На концах: y(−1) = −1 + 1 + 1 = 1, y(1) = −1 − 1 + 1 = −1. Наименьшее значение −1, наибольшее 5/4, функция непрерывна, поэтому E(y) = [−1; 5/4].
Ответ: 1) [−13; 13]; 2) [−1; 5/4].
2) cos² x = 1 − sin² x. Пусть t = sin x, t ∈ [−1; 1]. Тогда y = 1 − t² − t = −t² − t + 1 — парабола с ветвями вниз и вершиной в t = −1/2; y(−1/2) = −1/4 + 1/2 + 1 = 5/4. На концах: y(−1) = −1 + 1 + 1 = 1, y(1) = −1 − 1 + 1 = −1. Наименьшее значение −1, наибольшее 5/4, функция непрерывна, поэтому E(y) = [−1; 5/4].
Ответ: 1) [−13; 13]; 2) [−1; 5/4].
775. Решить неравенство:
1) sin x ≥ cos x;
2) tg x > sin x.
1) sin x ≥ cos x;
2) tg x > sin x.
1) sin x − cos x ≥ 0. Так как sin x − cos x = √2 sin (x − π/4), неравенство равносильно sin (x − π/4) ≥ 0: 2πn ≤ x − π/4 ≤ π + 2πn. Отсюда π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn, n ∈ Z.
2) Область определения: cos x ≠ 0. Перенесём: tg x − sin x = sin x/cos x − sin x = sin x (1 − cos x)/cos x > 0. Множитель 1 − cos x ≥ 0 и равен нулю лишь при x = 2πn (тогда выражение равно 0 и не удовлетворяет строгому неравенству). При остальных x (1 − cos x > 0) неравенство равносильно sin x/cos x > 0, т. е. tg x > 0. Это выполняется при πn < x < π/2 + πn, и в этих интервалах точек x = 2πn нет.
Ответ: 1) [π/4 + 2πn; 5π/4 + 2πn]; 2. (πn; π/2 + πn), n ∈ Z.
2) Область определения: cos x ≠ 0. Перенесём: tg x − sin x = sin x/cos x − sin x = sin x (1 − cos x)/cos x > 0. Множитель 1 − cos x ≥ 0 и равен нулю лишь при x = 2πn (тогда выражение равно 0 и не удовлетворяет строгому неравенству). При остальных x (1 − cos x > 0) неравенство равносильно sin x/cos x > 0, т. е. tg x > 0. Это выполняется при πn < x < π/2 + πn, и в этих интервалах точек x = 2πn нет.
Ответ: 1) [π/4 + 2πn; 5π/4 + 2πn]; 2. (πn; π/2 + πn), n ∈ Z.