Глава VIII. § 46. Правила дифференцирования — с. 243
802. Найти производную функции:
1) x² + x;
2) x² − x;
3) 3x²;
4) −17x²;
5) −4x³;
6) 0,5x³;
7) 13x² + 26;
8) 8x² − 16.
1) x² + x;
2) x² − x;
3) 3x²;
4) −17x²;
5) −4x³;
6) 0,5x³;
7) 13x² + 26;
8) 8x² − 16.
Используем формулы (x^n)' = n·x^(n−1), (cf)' = c·f', (C)' = 0 и производную суммы.
1) (x² + x)' = 2x + 1.
2) (x² − x)' = 2x − 1.
3) (3x²)' = 3 · 2x = 6x.
4) (−17x²)' = −17 · 2x = −34x.
5) (−4x³)' = −4 · 3x² = −12x².
6) (0,5x³)' = 0,5 · 3x² = 1,5x².
7) (13x² + 26)' = 26x + 0 = 26x.
8) (8x² − 16)' = 16x.
1) (x² + x)' = 2x + 1.
2) (x² − x)' = 2x − 1.
3) (3x²)' = 3 · 2x = 6x.
4) (−17x²)' = −17 · 2x = −34x.
5) (−4x³)' = −4 · 3x² = −12x².
6) (0,5x³)' = 0,5 · 3x² = 1,5x².
7) (13x² + 26)' = 26x + 0 = 26x.
8) (8x² − 16)' = 16x.
803. Найти производную функции:
1) 3x² − 5x + 5;
2) 5x² + 6x − 7;
3) x^4 + 2x²;
4) x^5 − 3x²;
5) x³ + 5x;
6) −2x³ + 18x;
7) 2x³ − 3x² + 6x + 1;
8) −3x³ + 2x² − x − 5.
1) 3x² − 5x + 5;
2) 5x² + 6x − 7;
3) x^4 + 2x²;
4) x^5 − 3x²;
5) x³ + 5x;
6) −2x³ + 18x;
7) 2x³ − 3x² + 6x + 1;
8) −3x³ + 2x² − x − 5.
Дифференцируем почленно.
1) (3x² − 5x + 5)' = 6x − 5.
2) (5x² + 6x − 7)' = 10x + 6.
3) (x^4 + 2x²)' = 4x³ + 4x.
4) (x^5 − 3x²)' = 5x^4 − 6x.
5) (x³ + 5x)' = 3x² + 5.
6) (−2x³ + 18x)' = −6x² + 18.
7) (2x³ − 3x² + 6x + 1)' = 6x² − 6x + 6.
8) (−3x³ + 2x² − x − 5)' = −9x² + 4x − 1.
1) (3x² − 5x + 5)' = 6x − 5.
2) (5x² + 6x − 7)' = 10x + 6.
3) (x^4 + 2x²)' = 4x³ + 4x.
4) (x^5 − 3x²)' = 5x^4 − 6x.
5) (x³ + 5x)' = 3x² + 5.
6) (−2x³ + 18x)' = −6x² + 18.
7) (2x³ − 3x² + 6x + 1)' = 6x² − 6x + 6.
8) (−3x³ + 2x² − x − 5)' = −9x² + 4x − 1.
804. Построить график функции y = 3(x − 2)² + 1 и график функции, являющейся её производной.
Графиком y = 3(x − 2)² + 1 является парабола с вершиной в точке (2; 1), ветви направлены вверх (коэффициент 3 > 0). Дополнительные точки: (1; 4), (3; 4), (0; 13), (4; 13).
Производная: y' = (3(x − 2)² + 1)' = 3 · 2(x − 2) = 6(x − 2) = 6x − 12. Её графиком является прямая, проходящая через точки (2; 0), (3; 6), (1; −6), (0; −12).
На рисунке парабола (исходная функция) показана чёрным, прямая y = 6x − 12 (производная) — красным. Заметим, что производная обращается в нуль в абсциссе вершины x = 2, отрицательна левее вершины (функция убывает) и положительна правее (функция возрастает).
Производная: y' = (3(x − 2)² + 1)' = 3 · 2(x − 2) = 6(x − 2) = 6x − 12. Её графиком является прямая, проходящая через точки (2; 0), (3; 6), (1; −6), (0; −12).
На рисунке парабола (исходная функция) показана чёрным, прямая y = 6x − 12 (производная) — красным. Заметим, что производная обращается в нуль в абсциссе вершины x = 2, отрицательна левее вершины (функция убывает) и положительна правее (функция возрастает).
805. Найти производную функции:
1) x² + 1/x³;
2) x³ + 1/x²;
3) 2 · корень 4-й степени из x − √x;
4) 3 · корень 6-й степени из x + 7 · корень 14-й степени из x.
1) x² + 1/x³;
2) x³ + 1/x²;
3) 2 · корень 4-й степени из x − √x;
4) 3 · корень 6-й степени из x + 7 · корень 14-й степени из x.
Записываем корни и дроби степенями и применяем (x^p)' = p·x^(p−1).
1) x² + x^(−3); производная: 2x − 3x^(−4) = 2x − 3/x^4.
2) x³ + x^(−2); производная: 3x² − 2x^(−3) = 3x² − 2/x³.
3) 2x^(1/4) − x^(1/2); производная: 2 · (1/4)x^(−3/4) − (1/2)x^(−1/2) = 1/(2 · корень 4-й степени из x³) − 1/(2√x).
4) 3x^(1/6) + 7x^(1/14); производная: 3 · (1/6)x^(−5/6) + 7 · (1/14)x^(−13/14) = 1/(2 · корень 6-й степени из x^5) + 1/(2 · корень 14-й степени из x^13).
1) x² + x^(−3); производная: 2x − 3x^(−4) = 2x − 3/x^4.
2) x³ + x^(−2); производная: 3x² − 2x^(−3) = 3x² − 2/x³.
3) 2x^(1/4) − x^(1/2); производная: 2 · (1/4)x^(−3/4) − (1/2)x^(−1/2) = 1/(2 · корень 4-й степени из x³) − 1/(2√x).
4) 3x^(1/6) + 7x^(1/14); производная: 3 · (1/6)x^(−5/6) + 7 · (1/14)x^(−13/14) = 1/(2 · корень 6-й степени из x^5) + 1/(2 · корень 14-й степени из x^13).
806. Найти f'(0) и f'(2), если:
1) f(x) = x² − 2x + 1;
2) f(x) = x³ − 2x;
3) f(x) = −x³ + x²;
4) f(x) = x² + x + 1.
1) f(x) = x² − 2x + 1;
2) f(x) = x³ − 2x;
3) f(x) = −x³ + x²;
4) f(x) = x² + x + 1.
1) f'(x) = 2x − 2; f'(0) = −2; f'(2) = 4 − 2 = 2.
2) f'(x) = 3x² − 2; f'(0) = −2; f'(2) = 12 − 2 = 10.
3) f'(x) = −3x² + 2x; f'(0) = 0; f'(2) = −12 + 4 = −8.
4) f'(x) = 2x + 1; f'(0) = 1; f'(2) = 5.
2) f'(x) = 3x² − 2; f'(0) = −2; f'(2) = 12 − 2 = 10.
3) f'(x) = −3x² + 2x; f'(0) = 0; f'(2) = −12 + 4 = −8.
4) f'(x) = 2x + 1; f'(0) = 1; f'(2) = 5.
807. Найти f'(3) и f'(1), если:
1) f(x) = 1/x + 1/x²;
2) f(x) = √x + 1/x + 1;
3) f(x) = 3/√x − 2/x³;
4) f(x) = x^(3/2) − x^(−3/2).
1) f(x) = 1/x + 1/x²;
2) f(x) = √x + 1/x + 1;
3) f(x) = 3/√x − 2/x³;
4) f(x) = x^(3/2) − x^(−3/2).
1) f(x) = x^(−1) + x^(−2); f'(x) = −1/x² − 2/x³. f'(3) = −1/9 − 2/27 = −5/27; f'(1) = −1 − 2 = −3.
2) f'(x) = 1/(2√x) − 1/x². f'(3) = 1/(2√3) − 1/9 = √3/6 − 1/9; f'(1) = 1/2 − 1 = −1/2.
3) f(x) = 3x^(−1/2) − 2x^(−3); f'(x) = −(3/2)x^(−3/2) + 6x^(−4). f'(3) = −3/(2 · 3√3) + 6/81 = −1/(2√3) + 2/27 = −√3/6 + 2/27; f'(1) = −3/2 + 6 = 9/2.
4) f'(x) = (3/2)x^(1/2) + (3/2)x^(−5/2). f'(3) = (3/2)√3 + (3/2) · 1/(9√3) = 3√3/2 + √3/18 = 14√3/9; f'(1) = 3/2 + 3/2 = 3.
2) f'(x) = 1/(2√x) − 1/x². f'(3) = 1/(2√3) − 1/9 = √3/6 − 1/9; f'(1) = 1/2 − 1 = −1/2.
3) f(x) = 3x^(−1/2) − 2x^(−3); f'(x) = −(3/2)x^(−3/2) + 6x^(−4). f'(3) = −3/(2 · 3√3) + 6/81 = −1/(2√3) + 2/27 = −√3/6 + 2/27; f'(1) = −3/2 + 6 = 9/2.
4) f'(x) = (3/2)x^(1/2) + (3/2)x^(−5/2). f'(3) = (3/2)√3 + (3/2) · 1/(9√3) = 3√3/2 + √3/18 = 14√3/9; f'(1) = 3/2 + 3/2 = 3.
808. Дифференцируема ли функция y = f(x) в точке x, если:
1) y = 2/(x − 1), x = 1;
2) y = (3x − 5)/(x − 3)², x = 3;
3) y = √(x + 1), x = 0;
4) y = √(5 − x), x = 4?
1) y = 2/(x − 1), x = 1;
2) y = (3x − 5)/(x − 3)², x = 3;
3) y = √(x + 1), x = 0;
4) y = √(5 − x), x = 4?
Функция дифференцируема в точке, если она определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производную.
1) При x = 1 знаменатель x − 1 равен нулю, функция в этой точке не определена, поэтому не дифференцируема.
2) При x = 3 знаменатель (x − 3)² равен нулю, функция не определена, значит, не дифференцируема.
3) Функция √(x + 1) определена при x ≥ −1, точка x = 0 внутренняя; y' = 1/(2√(x + 1)), y'(0) = 1/2. Дифференцируема.
4) Функция √(5 − x) определена при x ≤ 5, точка x = 4 внутренняя; y' = −1/(2√(5 − x)), y'(4) = −1/2. Дифференцируема.
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) да.
1) При x = 1 знаменатель x − 1 равен нулю, функция в этой точке не определена, поэтому не дифференцируема.
2) При x = 3 знаменатель (x − 3)² равен нулю, функция не определена, значит, не дифференцируема.
3) Функция √(x + 1) определена при x ≥ −1, точка x = 0 внутренняя; y' = 1/(2√(x + 1)), y'(0) = 1/2. Дифференцируема.
4) Функция √(5 − x) определена при x ≤ 5, точка x = 4 внутренняя; y' = −1/(2√(5 − x)), y'(4) = −1/2. Дифференцируема.
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) да.
809. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если:
1) f(x) = x³ − 2x;
2) f(x) = −x² + 3x + 1;
3) f(x) = 2x³ + 3x² − 12x − 3;
4) f(x) = x³ + 2x² − 7x + 1;
5) f(x) = 3x^4 − 4x³ − 12x²;
6) f(x) = x^4 + 4x³ − 8x² − 5.
1) f(x) = x³ − 2x;
2) f(x) = −x² + 3x + 1;
3) f(x) = 2x³ + 3x² − 12x − 3;
4) f(x) = x³ + 2x² − 7x + 1;
5) f(x) = 3x^4 − 4x³ − 12x²;
6) f(x) = x^4 + 4x³ − 8x² − 5.
1) f'(x) = 3x² − 2 = 0, x² = 2/3, x = ±√(2/3) = ±√6/3.
2) f'(x) = −2x + 3 = 0, x = 3/2.
3) f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x² + x − 2) = 0, x = 1 или x = −2.
4) f'(x) = 3x² + 4x − 7 = 0; D = 16 + 84 = 100, x = (−4 ± 10)/6, x = 1 или x = −7/3.
5) f'(x) = 12x³ − 12x² − 24x = 12x(x² − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1) = 0, x = 0, x = 2 или x = −1.
6) f'(x) = 4x³ + 12x² − 16x = 4x(x² + 3x − 4) = 4x(x + 4)(x − 1) = 0, x = 0, x = 1 или x = −4.
2) f'(x) = −2x + 3 = 0, x = 3/2.
3) f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x² + x − 2) = 0, x = 1 или x = −2.
4) f'(x) = 3x² + 4x − 7 = 0; D = 16 + 84 = 100, x = (−4 ± 10)/6, x = 1 или x = −7/3.
5) f'(x) = 12x³ − 12x² − 24x = 12x(x² − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1) = 0, x = 0, x = 2 или x = −1.
6) f'(x) = 4x³ + 12x² − 16x = 4x(x² + 3x − 4) = 4x(x + 4)(x − 1) = 0, x = 0, x = 1 или x = −4.
810. Найти производную функции:
1) (x² − x)(x³ + x);
2) (x + 2) · корень 3-й степени из x;
3) (x − 1)√x.
1) (x² − x)(x³ + x);
2) (x + 2) · корень 3-й степени из x;
3) (x − 1)√x.
Применяем правило производной произведения (uv)' = u'v + uv'.
1) (2x − 1)(x³ + x) + (x² − x)(3x² + 1) = 2x^4 − x³ + 2x² − x + 3x^4 − 3x³ + x² − x = 5x^4 − 4x³ + 3x² − 2x.
2) ((x + 2)x^(1/3))' = x^(1/3) + (x + 2) · (1/3)x^(−2/3) = (3x + x + 2)/(3x^(2/3)) = (4x + 2)/(3 · корень 3-й степени из x²).
3) (x − 1)√x = x^(3/2) − x^(1/2); производная: (3/2)√x − 1/(2√x) = (3x − 1)/(2√x).
1) (2x − 1)(x³ + x) + (x² − x)(3x² + 1) = 2x^4 − x³ + 2x² − x + 3x^4 − 3x³ + x² − x = 5x^4 − 4x³ + 3x² − 2x.
2) ((x + 2)x^(1/3))' = x^(1/3) + (x + 2) · (1/3)x^(−2/3) = (3x + x + 2)/(3x^(2/3)) = (4x + 2)/(3 · корень 3-й степени из x²).
3) (x − 1)√x = x^(3/2) − x^(1/2); производная: (3/2)√x − 1/(2√x) = (3x − 1)/(2√x).
811. Найти f'(1), если:
1) f(x) = (x − 1)^8 (2 − x)^7;
2) f(x) = (2x − 1)^5 (1 + x)^4;
3) f(x) = √(2 − x) (3 − 2x)^8;
4) f(x) = (5x − 4)^6 √(3x − 2).
1) f(x) = (x − 1)^8 (2 − x)^7;
2) f(x) = (2x − 1)^5 (1 + x)^4;
3) f(x) = √(2 − x) (3 − 2x)^8;
4) f(x) = (5x − 4)^6 √(3x − 2).
1) f'(x) = 8(x − 1)^7 (2 − x)^7 − 7(x − 1)^8 (2 − x)^6. При x = 1 оба слагаемых содержат множитель (x − 1) в степени не ниже 7, поэтому f'(1) = 0.
2) f'(x) = 10(2x − 1)^4 (1 + x)^4 + 4(2x − 1)^5 (1 + x)³. f'(1) = 10 · 1 · 16 + 4 · 1 · 8 = 160 + 32 = 192.
3) f'(x) = −(3 − 2x)^8/(2√(2 − x)) − 16√(2 − x)(3 − 2x)^7. f'(1) = −1/2 − 16 = −16,5.
4) f'(x) = 30(5x − 4)^5 √(3x − 2) + 3(5x − 4)^6/(2√(3x − 2)). f'(1) = 30 + 3/2 = 31,5.
2) f'(x) = 10(2x − 1)^4 (1 + x)^4 + 4(2x − 1)^5 (1 + x)³. f'(1) = 10 · 1 · 16 + 4 · 1 · 8 = 160 + 32 = 192.
3) f'(x) = −(3 − 2x)^8/(2√(2 − x)) − 16√(2 − x)(3 − 2x)^7. f'(1) = −1/2 − 16 = −16,5.
4) f'(x) = 30(5x − 4)^5 √(3x − 2) + 3(5x − 4)^6/(2√(3x − 2)). f'(1) = 30 + 3/2 = 31,5.