Глава VIII. § 47. Производные некоторых элементарных функций — с. 249
831. Найти производную функции (831—839):
1) e^x + 1;
2) e^x + x²;
3) e^(2x) + 1/x;
4) e^(−3x) + √x.
1) e^x + 1;
2) e^x + x²;
3) e^(2x) + 1/x;
4) e^(−3x) + √x.
Используем (e^x)' = e^x, (e^(kx + b))' = k·e^(kx + b).
1) (e^x + 1)' = e^x.
2) (e^x + x²)' = e^x + 2x.
3) (e^(2x) + 1/x)' = 2e^(2x) − 1/x².
4) (e^(−3x) + √x)' = −3e^(−3x) + 1/(2√x).
1) (e^x + 1)' = e^x.
2) (e^x + x²)' = e^x + 2x.
3) (e^(2x) + 1/x)' = 2e^(2x) − 1/x².
4) (e^(−3x) + √x)' = −3e^(−3x) + 1/(2√x).
832. Найти производную функции:
1) e^(2x + 1) + 2x³;
2) e^(x/2 − 1) − √(x − 1);
3) e^(0,3x + 2) + 1/√x;
4) e^(1 − x) + x^(−3);
5) e^(x²);
6) e^(2x³).
1) e^(2x + 1) + 2x³;
2) e^(x/2 − 1) − √(x − 1);
3) e^(0,3x + 2) + 1/√x;
4) e^(1 − x) + x^(−3);
5) e^(x²);
6) e^(2x³).
1) 2e^(2x + 1) + 6x².
2) (1/2)e^(x/2 − 1) − 1/(2√(x − 1)).
3) 0,3e^(0,3x + 2) − 1/(2x√x), так как 1/√x = x^(−1/2) и (x^(−1/2))' = −(1/2)x^(−3/2).
4) −e^(1 − x) − 3x^(−4) = −e^(1 − x) − 3/x^4.
5) По правилу сложной функции (e^(x²))' = e^(x²) · 2x = 2x·e^(x²).
6) (e^(2x³))' = e^(2x³) · 6x² = 6x²·e^(2x³).
2) (1/2)e^(x/2 − 1) − 1/(2√(x − 1)).
3) 0,3e^(0,3x + 2) − 1/(2x√x), так как 1/√x = x^(−1/2) и (x^(−1/2))' = −(1/2)x^(−3/2).
4) −e^(1 − x) − 3x^(−4) = −e^(1 − x) − 3/x^4.
5) По правилу сложной функции (e^(x²))' = e^(x²) · 2x = 2x·e^(x²).
6) (e^(2x³))' = e^(2x³) · 6x² = 6x²·e^(2x³).
833. Найти производную функции:
1) 2^x + e^x;
2) 3^x − x^(−2);
3) e^(2x) − x;
4) e^(3x) + 2x²;
5) 3^(x² + 2).
1) 2^x + e^x;
2) 3^x − x^(−2);
3) e^(2x) − x;
4) e^(3x) + 2x²;
5) 3^(x² + 2).
Используем (a^x)' = a^x ln a.
1) 2^x ln 2 + e^x.
2) 3^x ln 3 + 2x^(−3) = 3^x ln 3 + 2/x³.
3) 2e^(2x) − 1.
4) 3e^(3x) + 4x.
5) (3^(x² + 2))' = 3^(x² + 2) · ln 3 · 2x = 2x · 3^(x² + 2) ln 3.
1) 2^x ln 2 + e^x.
2) 3^x ln 3 + 2x^(−3) = 3^x ln 3 + 2/x³.
3) 2e^(2x) − 1.
4) 3e^(3x) + 4x.
5) (3^(x² + 2))' = 3^(x² + 2) · ln 3 · 2x = 2x · 3^(x² + 2) ln 3.
834. Найти производную функции:
1) 0,5^x + e^(3x);
2) 3^x − e^(2x);
3) e^(2 − x) + корень 3-й степени из x;
4) e^(3 − x) + 1/x^4.
1) 0,5^x + e^(3x);
2) 3^x − e^(2x);
3) e^(2 − x) + корень 3-й степени из x;
4) e^(3 − x) + 1/x^4.
1) 0,5^x ln 0,5 + 3e^(3x) = −0,5^x ln 2 + 3e^(3x).
2) 3^x ln 3 − 2e^(2x).
3) −e^(2 − x) + (1/3)x^(−2/3) = −e^(2 − x) + 1/(3 · корень 3-й степени из x²).
4) −e^(3 − x) − 4x^(−5) = −e^(3 − x) − 4/x^5.
2) 3^x ln 3 − 2e^(2x).
3) −e^(2 − x) + (1/3)x^(−2/3) = −e^(2 − x) + 1/(3 · корень 3-й степени из x²).
4) −e^(3 − x) − 4x^(−5) = −e^(3 − x) − 4/x^5.
835. Найти производную функции:
1) 2 ln x + 3^x;
2) 3 ln x − 2^x;
3) log₂ x + 1/(2x);
4) 3x^(−3) − log₃ x;
5) ln(x² − 2x);
6) (3x² − 2) log₃ x.
1) 2 ln x + 3^x;
2) 3 ln x − 2^x;
3) log₂ x + 1/(2x);
4) 3x^(−3) − log₃ x;
5) ln(x² − 2x);
6) (3x² − 2) log₃ x.
Используем (ln x)' = 1/x, (log_a x)' = 1/(x ln a).
1) 2/x + 3^x ln 3.
2) 3/x − 2^x ln 2.
3) 1/(x ln 2) − 1/(2x²).
4) −9x^(−4) − 1/(x ln 3) = −9/x^4 − 1/(x ln 3).
5) (2x − 2)/(x² − 2x) = 2(x − 1)/(x(x − 2)).
6) 6x log₃ x + (3x² − 2)/(x ln 3).
1) 2/x + 3^x ln 3.
2) 3/x − 2^x ln 2.
3) 1/(x ln 2) − 1/(2x²).
4) −9x^(−4) − 1/(x ln 3) = −9/x^4 − 1/(x ln 3).
5) (2x − 2)/(x² − 2x) = 2(x − 1)/(x(x − 2)).
6) 6x log₃ x + (3x² − 2)/(x ln 3).
836. Найти производную функции:
1) sin x + x²;
2) cos x − 1;
3) cos x + e^x;
4) sin x − 2^x.
1) sin x + x²;
2) cos x − 1;
3) cos x + e^x;
4) sin x − 2^x.
Используем (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x.
1) cos x + 2x.
2) −sin x.
3) −sin x + e^x.
4) cos x − 2^x ln 2.
1) cos x + 2x.
2) −sin x.
3) −sin x + e^x.
4) cos x − 2^x ln 2.
837. Найти производную функции:
1) sin(2x − 1);
2) cos(x + 2);
3) sin(3 − x);
4) cos(x³).
1) sin(2x − 1);
2) cos(x + 2);
3) sin(3 − x);
4) cos(x³).
1) (sin(2x − 1))' = 2cos(2x − 1).
2) (cos(x + 2))' = −sin(x + 2).
3) (sin(3 − x))' = −cos(3 − x).
4) (cos(x³))' = −sin(x³) · 3x² = −3x² sin(x³).
2) (cos(x + 2))' = −sin(x + 2).
3) (sin(3 − x))' = −cos(3 − x).
4) (cos(x³))' = −sin(x³) · 3x² = −3x² sin(x³).
838. Найти производную функции:
1) cos(x/2 − 1) + e^(3x);
2) sin(x/3 + 3) + 2^x;
3) 3cos 4x − 1/(2x).
1) cos(x/2 − 1) + e^(3x);
2) sin(x/3 + 3) + 2^x;
3) 3cos 4x − 1/(2x).
1) −(1/2)sin(x/2 − 1) + 3e^(3x).
2) (1/3)cos(x/3 + 3) + 2^x ln 2.
3) 3 · (−4 sin 4x) + 1/(2x²) = −12 sin 4x + 1/(2x²), так как (−1/(2x))' = 1/(2x²).
2) (1/3)cos(x/3 + 3) + 2^x ln 2.
3) 3 · (−4 sin 4x) + 1/(2x²) = −12 sin 4x + 1/(2x²), так как (−1/(2x))' = 1/(2x²).
839. Найти производную функции:
1) cos x/e^x;
2) 3^x/sin x;
3) ln x · cos 3x;
4) log₃ x · sin 2x.
1) cos x/e^x;
2) 3^x/sin x;
3) ln x · cos 3x;
4) log₃ x · sin 2x.
1) (−sin x · e^x − cos x · e^x)/e^(2x) = −(sin x + cos x)/e^x.
2) (3^x ln 3 · sin x − 3^x cos x)/sin² x = 3^x(ln 3 · sin x − cos x)/sin² x.
3) (1/x) cos 3x − 3 ln x · sin 3x.
4) sin 2x/(x ln 3) + 2 log₃ x · cos 2x.
2) (3^x ln 3 · sin x − 3^x cos x)/sin² x = 3^x(ln 3 · sin x − cos x)/sin² x.
3) (1/x) cos 3x − 3 ln x · sin 3x.
4) sin 2x/(x ln 3) + 2 log₃ x · cos 2x.
840. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀:
1) f(x) = e^(2x − 4) + 2 ln x, x₀ = 2;
2) f(x) = e^(3x − 2) − ln(3x − 1), x₀ = 2/3;
3) f(x) = 2^x − log₂ x, x₀ = 1;
4) f(x) = log_0,5 x − 3^x, x₀ = 1.
1) f(x) = e^(2x − 4) + 2 ln x, x₀ = 2;
2) f(x) = e^(3x − 2) − ln(3x − 1), x₀ = 2/3;
3) f(x) = 2^x − log₂ x, x₀ = 1;
4) f(x) = log_0,5 x − 3^x, x₀ = 1.
1) f'(x) = 2e^(2x − 4) + 2/x; f'(2) = 2e⁰ + 1 = 3.
2) f'(x) = 3e^(3x − 2) − 3/(3x − 1); f'(2/3) = 3e⁰ − 3/1 = 0.
3) f'(x) = 2^x ln 2 − 1/(x ln 2); f'(1) = 2 ln 2 − 1/ln 2.
4) log_0,5 x = −log₂ x, f'(x) = −1/(x ln 2) − 3^x ln 3; f'(1) = −1/ln 2 − 3 ln 3.
2) f'(x) = 3e^(3x − 2) − 3/(3x − 1); f'(2/3) = 3e⁰ − 3/1 = 0.
3) f'(x) = 2^x ln 2 − 1/(x ln 2); f'(1) = 2 ln 2 − 1/ln 2.
4) log_0,5 x = −log₂ x, f'(x) = −1/(x ln 2) − 3^x ln 3; f'(1) = −1/ln 2 − 3 ln 3.
841. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f(x) равно 0:
1) f(x) = x − cos x;
2) f(x) = x/2 − sin x;
3) f(x) = 2 ln(x + 3) − x;
4) f(x) = ln(x + 1) − 2x;
5) f(x) = x² + 2x − 12 ln x;
6) f(x) = x² − 6x − 8 ln x.
1) f(x) = x − cos x;
2) f(x) = x/2 − sin x;
3) f(x) = 2 ln(x + 3) − x;
4) f(x) = ln(x + 1) − 2x;
5) f(x) = x² + 2x − 12 ln x;
6) f(x) = x² − 6x − 8 ln x.
1) f'(x) = 1 + sin x = 0, sin x = −1, x = −π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) f'(x) = 1/2 − cos x = 0, cos x = 1/2, x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
3) Область определения x > −3. f'(x) = 2/(x + 3) − 1 = 0, x + 3 = 2, x = −1 (входит в область определения).
4) Область определения x > −1. f'(x) = 1/(x + 1) − 2 = 0, x + 1 = 1/2, x = −1/2.
5) Область определения x > 0. f'(x) = 2x + 2 − 12/x = 0, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3; корень −3 не входит в область определения. Ответ: x = 2.
6) Область определения x > 0. f'(x) = 2x − 6 − 8/x = 0, x² − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1; корень −1 не входит в область определения. Ответ: x = 4.
2) f'(x) = 1/2 − cos x = 0, cos x = 1/2, x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
3) Область определения x > −3. f'(x) = 2/(x + 3) − 1 = 0, x + 3 = 2, x = −1 (входит в область определения).
4) Область определения x > −1. f'(x) = 1/(x + 1) − 2 = 0, x + 1 = 1/2, x = −1/2.
5) Область определения x > 0. f'(x) = 2x + 2 − 12/x = 0, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3; корень −3 не входит в область определения. Ответ: x = 2.
6) Область определения x > 0. f'(x) = 2x − 6 − 8/x = 0, x² − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1; корень −1 не входит в область определения. Ответ: x = 4.