Глава IX. § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции — с. 281
939. Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
1) f(x) = x² + 16/x² на промежутке (0; +∞);
2) f(x) = 2/x − x² на промежутке (−∞; 0).
1) f(x) = x² + 16/x² на промежутке (0; +∞);
2) f(x) = 2/x − x² на промежутке (−∞; 0).
1) f′(x) = 2x − 32/x³ = 2(x⁴ − 16)/x³. На (0; +∞) единственная стационарная точка x = 2; при x < 2 f′ < 0, при x > 2 f′ > 0, значит, это точка минимума, и в ней функция принимает наименьшее значение на промежутке: f(2) = 4 + 4 = 8. Наибольшего значения нет (f → +∞). Ответ: наименьшее значение 8.
2) f′(x) = −2/x² − 2x = −2(1 + x³)/x². На (−∞; 0) стационарная точка x = −1; при x < −1 f′ > 0, на (−1; 0) f′ < 0, значит, это точка максимума, и наибольшее значение на промежутке f(−1) = −2 − 1 = −3. Наименьшего значения нет (f → −∞). Ответ: наибольшее значение −3.
2) f′(x) = −2/x² − 2x = −2(1 + x³)/x². На (−∞; 0) стационарная точка x = −1; при x < −1 f′ > 0, на (−1; 0) f′ < 0, значит, это точка максимума, и наибольшее значение на промежутке f(−1) = −2 − 1 = −3. Наименьшего значения нет (f → −∞). Ответ: наибольшее значение −3.
940. Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
Пусть первое слагаемое x, тогда второе 50 − x. Сумма кубов f(x) = x³ + (50 − x)³, x ∈ R. f′(x) = 3x² − 3(50 − x)² = 3(x − (50 − x))(x + (50 − x)) = 150(2x − 50) = 300(x − 25). При x < 25 f′ < 0, при x > 25 f′ > 0, поэтому x = 25 — точка минимума и единственная, значит, в ней достигается наименьшее значение: f(25) = 2 · 25³ = 31 250.
Ответ: 50 = 25 + 25.
Ответ: 50 = 25 + 25.
941. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Пусть первый множитель x > 0, тогда второй 625/x. Сумма квадратов f(x) = x² + 625²/x². f′(x) = 2x − 2 · 625²/x³ = 2(x⁴ − 625²)/x³. На (0; +∞) стационарная точка x⁴ = 625², x² = 625, x = 25. При x < 25 f′ < 0, при x > 25 f′ > 0, значит, x = 25 — точка минимума, где f принимает наименьшее значение на (0; +∞). Второй множитель 625/25 = 25.
Ответ: 625 = 25 · 25.
Ответ: 625 = 25 · 25.
942. Из всех прямоугольников с периметром p найти прямоугольник наибольшей площади.
Пусть одна сторона x, тогда другая p/2 − x, 0 < x < p/2. Площадь S(x) = x(p/2 − x) = (p/2)x − x². S′(x) = p/2 − 2x = 0 при x = p/4. При x < p/4 S′ > 0, при x > p/4 S′ < 0, значит, x = p/4 — точка максимума, и на интервале (0; p/2) в ней площадь наибольшая. Другая сторона p/2 − p/4 = p/4.
Ответ: квадрат со стороной p/4 (площадь p²/16).
Ответ: квадрат со стороной p/4 (площадь p²/16).
943. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см², найти прямоугольник с наименьшим периметром.
Пусть одна сторона x см (x > 0), тогда другая 9/x см. Периметр P(x) = 2(x + 9/x). P′(x) = 2(1 − 9/x²) = 2(x² − 9)/x². На (0; +∞) стационарная точка x = 3; при x < 3 P′ < 0, при x > 3 P′ > 0, значит, x = 3 — точка минимума, в ней периметр наименьший: P(3) = 2(3 + 3) = 12 см. Другая сторона 9/3 = 3 см.
Ответ: квадрат со стороной 3 см (периметр 12 см).
Ответ: квадрат со стороной 3 см (периметр 12 см).
944. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f(x) = ln x − x на отрезке [1/2; 3];
2) f(x) = x + e^(−x) на отрезке [−1; 2];
3) f(x) = 2 cos x − cos 2x на отрезке [0; π].
1) f(x) = ln x − x на отрезке [1/2; 3];
2) f(x) = x + e^(−x) на отрезке [−1; 2];
3) f(x) = 2 cos x − cos 2x на отрезке [0; π].
1) f′(x) = 1/x − 1 = (1 − x)/x = 0 при x = 1 ∈ [1/2; 3]. f(1/2) = −ln 2 − 1/2 ≈ −1,19; f(1) = −1; f(3) = ln 3 − 3 ≈ −1,90. Наибольшее значение −1, наименьшее ln 3 − 3.
2) f′(x) = 1 − e^(−x) = 0 при x = 0 ∈ [−1; 2]. f(−1) = −1 + e ≈ 1,72; f(0) = 1; f(2) = 2 + e^(−2) ≈ 2,14. Наибольшее значение 2 + e^(−2), наименьшее 1.
3) f′(x) = −2 sin x + 2 sin 2x = 2 sin x(2 cos x − 1) = 0 при sin x = 0 или cos x = 1/2; на [0; π]: x = 0, π/3, π. f(0) = 2 − 1 = 1; f(π/3) = 1 − cos(2π/3) = 1 + 1/2 = 1,5; f(π) = −2 − 1 = −3. Наибольшее значение 1,5, наименьшее −3.
2) f′(x) = 1 − e^(−x) = 0 при x = 0 ∈ [−1; 2]. f(−1) = −1 + e ≈ 1,72; f(0) = 1; f(2) = 2 + e^(−2) ≈ 2,14. Наибольшее значение 2 + e^(−2), наименьшее 1.
3) f′(x) = −2 sin x + 2 sin 2x = 2 sin x(2 cos x − 1) = 0 при sin x = 0 или cos x = 1/2; на [0; π]: x = 0, π/3, π. f(0) = 2 − 1 = 1; f(π/3) = 1 − cos(2π/3) = 1 + 1/2 = 1,5; f(π) = −2 − 1 = −3. Наибольшее значение 1,5, наименьшее −3.
945. Найти наибольшее значение функции:
1) 3√x − x√x на промежутке (0; +∞);
2) 3x − 2x√x на промежутке (0; +∞).
1) 3√x − x√x на промежутке (0; +∞);
2) 3x − 2x√x на промежутке (0; +∞).
1) Положим t = √x > 0 (x = t²). Тогда f = 3t − t³ = g(t), g′(t) = 3 − 3t² = 3(1 − t)(1 + t). На (0; +∞): g′ > 0 при t < 1, g′ < 0 при t > 1, значит, t = 1 (x = 1) — точка максимума, g(1) = 3 − 1 = 2. Наибольшее значение 2.
2) Положим t = √x > 0. Тогда f = 3t² − 2t³ = g(t), g′(t) = 6t − 6t² = 6t(1 − t). g′ > 0 при 0 < t < 1, g′ < 0 при t > 1, значит, t = 1 (x = 1) — точка максимума, g(1) = 3 − 2 = 1. Наибольшее значение 1.
2) Положим t = √x > 0. Тогда f = 3t² − 2t³ = g(t), g′(t) = 6t − 6t² = 6t(1 − t). g′ > 0 при 0 < t < 1, g′ < 0 при t > 1, значит, t = 1 (x = 1) — точка максимума, g(1) = 3 − 2 = 1. Наибольшее значение 1.