Упражнения 953–961 — Глава IX. § 53*. Выпуклость графика функции…

Вторая производная — это производная от первой производной: f″(x) = (f′(x))′.
1) f′(x) = 2x cos x − x² sin x. f″(x) = 2cos x − 2x sin x − 2x sin x − x² cos x = (2 − x²) cos x − 4x sin x.
2) f′(x) = 3x² sin x + x³ cos x. f″(x) = 6x sin x + 3x² cos x + 3x² cos x − x³ sin x = (6x − x³) sin x + 6x² cos x.
3) f′(x) = 5x^4 + 6x² − 2x. f″(x) = 20x³ + 12x − 2.
4) f′(x) = 4x³ − 9x² + 5. f″(x) = 12x² − 18x.

Если f″(x) > 0 на интервале, функция выпукла вниз; если f″(x) < 0 — выпукла вверх.
1) f′(x) = 4(x + 1)³, f″(x) = 12(x + 1)². f″(x) ≥ 0 при всех x и равна нулю только в точке x = −1, знак не меняется (f′ возрастает на всей оси). Ответ: выпукла вниз на (−∞; +∞), интервалов выпуклости вверх нет.
2) f′(x) = 4x³ − 12x, f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1). f″ > 0 при x < −1 и x > 1; f″ < 0 при −1 < x < 1. Ответ: выпукла вниз на (−∞; −1) и (1; +∞), выпукла вверх на (−1; 1).
3) f′(x) = (2x − 3)eˣ + (x² − 3x + 2)eˣ = (x² − x − 1)eˣ. f″(x) = (2x − 1)eˣ + (x² − x − 1)eˣ = (x² + x − 2)eˣ = (x + 2)(x − 1)eˣ. Так как eˣ > 0, знак f″ совпадает со знаком (x + 2)(x − 1): положителен при x < −2 и x > 1, отрицателен при −2 < x < 1. Ответ: выпукла вниз на (−∞; −2) и (1; +∞), выпукла вверх на (−2; 1).
4) Область определения x > 0. f′(x) = 3x² − 6 ln x − 6. f″(x) = 6x − 6/x = 6(x² − 1)/x. При 0 < x < 1 f″ < 0, при x > 1 f″ > 0. Ответ: выпукла вверх на (0; 1), выпукла вниз на (1; +∞).

Точка перегиба — точка, при переходе через которую f″(x) меняет знак.
1) f′(x) = −sin x, f″(x) = −cos x. На (−π; π) f″(x) = 0 при x = −π/2 и x = π/2. При −π < x < −π/2 имеем cos x < 0, f″ > 0; при −π/2 < x < π/2 cos x > 0, f″ < 0; при π/2 < x < π f″ > 0. Знак меняется в обеих точках. Ответ: x = −π/2 и x = π/2.
2) f′(x) = 5x^4 − 160x, f″(x) = 20x³ − 160 = 20(x³ − 8). f″ = 0 при x = 2; при x < 2 f″ < 0, при x > 2 f″ > 0. Ответ: x = 2.
3) f′(x) = 36x² − 48x + 12, f″(x) = 72x − 48 = 24(3x − 2). f″ = 0 при x = 2/3, слева f″ < 0, справа f″ > 0. Ответ: x = 2/3.
4) f′(x) = cos x − cos 2x, f″(x) = −sin x + 2 sin 2x = sin x (4cos x − 1). На (−π; π): sin x = 0 при x = 0; cos x = 1/4 при x = ±arccos(1/4). Все три корня простые, и в каждом f″ меняет знак (например, при x = 0 множитель sin x меняет знак, а 4cos x − 1 = 3 > 0). Ответ: x = −arccos(1/4), x = 0, x = arccos(1/4).

Находим y′ и промежутки её знакопостоянства.
1) y′ = 6x² + 6x = 6x(x + 1). y′ > 0 при x < −1 и x > 0; y′ < 0 при −1 < x < 0. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и [0; +∞), убывает на [−1; 0].
2) y′ = 2x² − 2x − 4 = 2(x + 1)(x − 2). y′ > 0 при x < −1 и x > 2; y′ < 0 при −1 < x < 2. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и [2; +∞), убывает на [−1; 2].
3) Область определения x ≠ 0. y′ = −3/x² < 0 при всех x ≠ 0. Ответ: убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞).
4) Область определения x ≠ 3. y′ = −2/(x − 3)² < 0. Ответ: убывает на (−∞; 3) и на (3; +∞).

Стационарные точки — внутренние точки области определения, в которых y′ = 0.
1) y′ = 4x³ − 12x² − 16x = 4x(x² − 3x − 4) = 4x(x − 4)(x + 1). Ответ: x = −1, x = 0, x = 4.
2) y′ = 16x³ − 4x = 4x(4x² − 1) = 4x(2x − 1)(2x + 1). Ответ: x = 0, x = −1/2, x = 1/2.
3) Область определения x ≠ 0. y′ = 1/3 + 12/x² > 0 при всех x ≠ 0, уравнение y′ = 0 корней не имеет. Ответ: стационарных точек нет.
4) y′ = −2 sin 2x − 2 sin x = −2 sin x (2cos x + 1). y′ = 0: sin x = 0, x = πn; или cos x = −1/2, x = ±2π/3 + 2πn. Ответ: x = πn, x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

1) y′ = 3x² − 8x = x(3x − 8). Критические точки x = 0 и x = 8/3. При x < 0 y′ > 0, при 0 < x < 8/3 y′ < 0, при x > 8/3 y′ > 0. Ответ: x = 0 — точка максимума, x = 8/3 — точка минимума.
2) y′ = 12x³ − 12x² = 12x²(x − 1). Критические точки x = 0 и x = 1. При x < 0 и при 0 < x < 1 имеем y′ < 0 (знак не меняется), при x > 1 y′ > 0. Ответ: x = 1 — точка минимума; x = 0 точкой экстремума не является.

1) y′ = 5x^4 − 5x = 5x(x³ − 1) = 5x(x − 1)(x² + x + 1). Критические точки x = 0 и x = 1. При x < 0 y′ > 0, при 0 < x < 1 y′ < 0, при x > 1 y′ > 0. x = 0 — максимум, y(0) = 3; x = 1 — минимум, y(1) = 1 − 2,5 + 3 = 1,5.
2) y′ = x^4 − 8x = x(x³ − 8) = x(x − 2)(x² + 2x + 4). Критические точки x = 0 и x = 2. При x < 0 y′ > 0, при 0 < x < 2 y′ < 0, при x > 2 y′ > 0. x = 0 — максимум, y(0) = −3; x = 2 — минимум, y(2) = 0,2 · 32 − 16 − 3 = 6,4 − 19 = −12,6.

1) Область определения R. y′ = x² + 6x = x(x + 6): y′ > 0 при x < −6 и x > 0, y′ < 0 при −6 < x < 0. Максимум в точке x = −6: y(−6) = −72 + 108 = 36; минимум в точке x = 0: y(0) = 0. y″ = 2x + 6, y″ = 0 при x = −3, y(−3) = −9 + 27 = 18 — точка перегиба. Нули: y = x²(x/3 + 3) = 0 при x = 0 и x = −9. Строим точки (−9; 0), (−6; 36), (−3; 18), (0; 0) и соединяем плавной кривой (рисунок).
2) Область определения R, функция чётная (график симметричен относительно оси Oy). y′ = −x³ + 2x = −x(x² − 2) = −x(x − √2)(x + √2): y′ > 0 при x < −√2 и 0 < x < √2; y′ < 0 при −√2 < x < 0 и x > √2. Максимумы в точках x = ±√2: y = −1 + 2 = 1; минимум в точке x = 0: y(0) = 0. Нули: x²(1 − x²/4) = 0, x = 0 и x = ±2. При |x| → ∞ y → −∞. Строим по этим точкам (рисунок).

1) Парабола ветвями вверх, вершина x₀ = 6/(2·3) = 1, y(1) = 3 − 6 + 5 = 2. На концах: y(0) = 5, y(3) = 27 − 18 + 5 = 14. На [0; 1] функция убывает (y′ = 6x − 6 < 0), на [1; 3] возрастает. Строим дугу через точки (0; 5), (1; 2), (2; 5), (3; 14) (рисунок).
2) y′ = x³ − 2x² − 3x = x(x² − 2x − 3) = x(x − 3)(x + 1). Критические точки −1, 0, 3 лежат внутри отрезка. Знаки y′: при −2 < x < −1 y′ < 0; при −1 < x < 0 y′ > 0; при 0 < x < 3 y′ < 0; при 3 < x < 4 y′ > 0. Значит, x = −1 — минимум, y(−1) = 1/4 + 2/3 − 3/2 + 2 = 17/12; x = 0 — максимум, y(0) = 2; x = 3 — минимум, y(3) = 81/4 − 18 − 27/2 + 2 = −9,25. На концах: y(−2) = 4 + 16/3 − 6 + 2 = 16/3, y(4) = 64 − 128/3 − 24 + 2 = −2/3. Строим график по точкам (−2; 16/3), (−1; 17/12), (0; 2), (3; −9,25), (4; −2/3) с учётом возрастания и убывания (рисунок).