Глава IX. Упражнения к главе IX — с. 289
970. Построить график функции:
1) y = 2/(x² − 4);
2) y = 2/(x² + 4);
3) y = (x − 1)²(x + 2);
4) y = x(x − 1)³.
1) y = 2/(x² − 4);
2) y = 2/(x² + 4);
3) y = (x − 1)²(x + 2);
4) y = x(x − 1)³.
1) Область определения x ≠ ±2. Функция чётная. y′ = −4x/(x² − 4)². y′ > 0 при x < 0 (x ≠ −2), y′ < 0 при x > 0 (x ≠ 2). Единственная критическая точка x = 0: y(0) = −1/2 — максимум на интервале (−2; 2). Асимптоты: x = ±2 (при x → 2 справа y → +∞, слева y → −∞; при x → −2 слева y → +∞, справа y → −∞) и y = 0 (так как y → 0 при |x| → ∞). При |x| > 2 y > 0, при |x| < 2 y < 0. Ось Ox график не пересекает. Строим три ветви (рисунок).
2) Область определения R, функция чётная. Знаменатель x² + 4 ≥ 4, поэтому 0 < y ≤ 1/2. y′ = −4x/(x² + 4)²: y′ > 0 при x < 0, y′ < 0 при x > 0, x = 0 — максимум, y(0) = 1/2. Асимптота y = 0 (при |x| → ∞). Ось Ox график не пересекает. Строим колоколообразную кривую (рисунок).
3) Область определения R. y′ = 2(x − 1)(x + 2) + (x − 1)² = (x − 1)(3x + 3) = 3(x − 1)(x + 1). y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. x = −1 — максимум, y(−1) = 4 · 1 = 4; x = 1 — минимум, y(1) = 0. Нули: x = −2 и x = 1 (в точке x = 1 график касается оси Ox). y(0) = 2. При x → +∞ y → +∞, при x → −∞ y → −∞ (рисунок).
4) Область определения R. y′ = (x − 1)³ + 3x(x − 1)² = (x − 1)²(4x − 1). y′ < 0 при x < 1/4, y′ > 0 при x > 1/4 (при x = 1 знак y′ не меняется). x = 1/4 — минимум, y(1/4) = (1/4)(−3/4)³ = −27/256. x = 1 экстремумом не является: там график пересекает ось Ox, касательная горизонтальна. Нули: x = 0 и x = 1. y″ = 6(x − 1)(2x − 1): точки перегиба x = 1/2 и x = 1. При x → ±∞ y → +∞ (рисунок).
2) Область определения R, функция чётная. Знаменатель x² + 4 ≥ 4, поэтому 0 < y ≤ 1/2. y′ = −4x/(x² + 4)²: y′ > 0 при x < 0, y′ < 0 при x > 0, x = 0 — максимум, y(0) = 1/2. Асимптота y = 0 (при |x| → ∞). Ось Ox график не пересекает. Строим колоколообразную кривую (рисунок).
3) Область определения R. y′ = 2(x − 1)(x + 2) + (x − 1)² = (x − 1)(3x + 3) = 3(x − 1)(x + 1). y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. x = −1 — максимум, y(−1) = 4 · 1 = 4; x = 1 — минимум, y(1) = 0. Нули: x = −2 и x = 1 (в точке x = 1 график касается оси Ox). y(0) = 2. При x → +∞ y → +∞, при x → −∞ y → −∞ (рисунок).
4) Область определения R. y′ = (x − 1)³ + 3x(x − 1)² = (x − 1)²(4x − 1). y′ < 0 при x < 1/4, y′ > 0 при x > 1/4 (при x = 1 знак y′ не меняется). x = 1/4 — минимум, y(1/4) = (1/4)(−3/4)³ = −27/256. x = 1 экстремумом не является: там график пересекает ось Ox, касательная горизонтальна. Нули: x = 0 и x = 1. y″ = 6(x − 1)(2x − 1): точки перегиба x = 1/2 и x = 1. При x → ±∞ y → +∞ (рисунок).
971. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f(x) = 2 sin x + sin 2x на отрезке [0; 3π/2];
2) f(x) = 2 cos x + sin 2x на отрезке [0; π].
1) f(x) = 2 sin x + sin 2x на отрезке [0; 3π/2];
2) f(x) = 2 cos x + sin 2x на отрезке [0; π].
1) f′(x) = 2cos x + 2cos 2x = 2(2cos²x + cos x − 1) = 2(2cos x − 1)(cos x + 1). f′ = 0: cos x = 1/2 — на [0; 3π/2] корень x = π/3 (корень 5π/3 не принадлежит отрезку); cos x = −1 — x = π. Значения: f(0) = 0; f(π/3) = 2 · √3/2 + sin(2π/3) = √3 + √3/2 = 3√3/2; f(π) = 0 + 0 = 0; f(3π/2) = −2 + sin 3π = −2. Ответ: наибольшее значение 3√3/2, наименьшее −2.
2) f′(x) = −2 sin x + 2cos 2x = −2 sin x + 2(1 − 2sin²x) = −2(2sin²x + sin x − 1) = −2(2 sin x − 1)(sin x + 1). f′ = 0: sin x = 1/2 — на [0; π] корни x = π/6 и x = 5π/6; sin x = −1 корней на [0; π] не имеет. Значения: f(0) = 2; f(π/6) = 2 · √3/2 + sin(π/3) = √3 + √3/2 = 3√3/2; f(5π/6) = −√3 + sin(5π/3) = −√3 − √3/2 = −3√3/2; f(π) = −2. Так как 3√3/2 ≈ 2,6 > 2, ответ: наибольшее значение 3√3/2, наименьшее −3√3/2.
2) f′(x) = −2 sin x + 2cos 2x = −2 sin x + 2(1 − 2sin²x) = −2(2sin²x + sin x − 1) = −2(2 sin x − 1)(sin x + 1). f′ = 0: sin x = 1/2 — на [0; π] корни x = π/6 и x = 5π/6; sin x = −1 корней на [0; π] не имеет. Значения: f(0) = 2; f(π/6) = 2 · √3/2 + sin(π/3) = √3 + √3/2 = 3√3/2; f(5π/6) = −√3 + sin(5π/3) = −√3 − √3/2 = −3√3/2; f(π) = −2. Так как 3√3/2 ≈ 2,6 > 2, ответ: наибольшее значение 3√3/2, наименьшее −3√3/2.
972. Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна l, найти треугольник с наибольшей площадью.
Пусть катет a, гипотенуза c = l − a, второй катет b. Тогда b² = c² − a² = (l − a)² − a² = l² − 2la, 0 < a < l/2. Площадь S = (1/2)ab = (1/2)a√(l² − 2la). S² = (1/4)(l²a² − 2la³). Рассмотрим φ(a) = l²a² − 2la³: φ′(a) = 2l²a − 6la² = 2la(l − 3a). На (0; l/2) критическая точка a = l/3; слева φ′ > 0, справа φ′ < 0 — максимум.
При a = l/3: c = 2l/3, b = √(l² − 2l²/3) = l/√3 = l√3/3. Ответ: катеты l/3 и l√3/3, гипотенуза 2l/3 (угол, противолежащий катету l√3/3, равен 60°; площадь l²√3/18).
При a = l/3: c = 2l/3, b = √(l² − 2l²/3) = l/√3 = l√3/3. Ответ: катеты l/3 и l√3/3, гипотенуза 2l/3 (угол, противолежащий катету l√3/3, равен 60°; площадь l²√3/18).
973. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Пусть один катет x, тогда другой 40 − x, 0 < x < 40. Площадь S(x) = (1/2)x(40 − x) = 20x − x²/2. S′(x) = 20 − x = 0 при x = 20; при x < 20 S′ > 0, при x > 20 S′ < 0 — максимум. Другой катет 40 − 20 = 20. Ответ: оба катета по 20 (наибольшая площадь 200).
974. Сумма диагоналей параллелограмма равна a. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.
Пусть d₁ и d₂ — диагонали, d₁ + d₂ = a, стороны параллелограмма m и n. По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁² + d₂² = 2m² + 2n². Значит, нужно найти наименьшее значение f(d) = d² + (a − d)², 0 < d < a, где d = d₁. f′(d) = 2d − 2(a − d) = 4d − 2a = 0 при d = a/2; слева f′ < 0, справа f′ > 0 — минимум. f(a/2) = a²/4 + a²/4 = a²/2. Ответ: a²/2 (достигается, когда диагонали равны, то есть параллелограмм — прямоугольник).
975. Найти точки перегиба функции:
1) f(x) = 6x² − x³;
2) f(x) = 3x² + 4x³.
1) f(x) = 6x² − x³;
2) f(x) = 3x² + 4x³.
1) f′(x) = 12x − 3x², f″(x) = 12 − 6x = 6(2 − x). f″ = 0 при x = 2; при x < 2 f″ > 0, при x > 2 f″ < 0 — знак меняется. Ответ: x = 2 (точка графика (2; 16)).
2) f′(x) = 6x + 12x², f″(x) = 6 + 24x = 6(1 + 4x). f″ = 0 при x = −1/4; при x < −1/4 f″ < 0, при x > −1/4 f″ > 0 — знак меняется. Ответ: x = −1/4.
2) f′(x) = 6x + 12x², f″(x) = 6 + 24x = 6(1 + 4x). f″ = 0 при x = −1/4; при x < −1/4 f″ < 0, при x > −1/4 f″ > 0 — знак меняется. Ответ: x = −1/4.
976. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.
Пусть центр полукруга O, прямоугольник симметричен относительно перпендикуляра к диаметру в точке O (две вершины на диаметре, две на дуге). Пусть половина основания равна x, 0 < x < R; высота по теореме Пифагора √(R² − x²). Площадь S(x) = 2x√(R² − x²). S² = 4x²(R² − x²) = 4(R²t − t²), где t = x² ∈ (0; R²). Функция R²t − t² достигает наибольшего значения в вершине параболы t = R²/2 (производная R² − 2t меняет знак с «+» на «−»). Тогда S² = 4 · (R^4/2 − R^4/4) = R^4, S = R². Ответ: R² (при x = R/√2: основание R√2, высота R/√2).
977. Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.
Объём V = (1/3)S · 12 = 4S, где S — площадь основания. Пусть катет a, второй катет b = √(16 − a²), 0 < a < 4. S(a) = (1/2)a√(16 − a²). S² = (1/4)a²(16 − a²) = (1/4)(16u − u²), где u = a² ∈ (0; 16). Функция 16u − u² достигает наибольшего значения при u = 8 (производная 16 − 2u меняет знак с «+» на «−»), и тогда S² = (1/4)(128 − 64) = 16, S = 4. Значит, наибольшая площадь основания 4 (катеты 2√2 и 2√2, равнобедренный треугольник). Ответ: V = 4 · 4 = 16.