Глава X. § 54. Первообразная — с. 293
983. Показать, что функция F(x) является первообразной функции f(x) на всей числовой прямой:
1) F(x) = x^6/6, f(x) = x^5;
2) F(x) = x^5/5 + 1, f(x) = x^4.
1) F(x) = x^6/6, f(x) = x^5;
2) F(x) = x^5/5 + 1, f(x) = x^4.
Функция F является первообразной f на промежутке, если F'(x) = f(x) для всех x из этого промежутка.
1) F'(x) = (x^6/6)' = 6x^5/6 = x^5 = f(x) для всех x ∈ (−∞; +∞). Значит, F — первообразная f на всей числовой прямой.
2) F'(x) = (x^5/5 + 1)' = 5x^4/5 + 0 = x^4 = f(x) для всех x ∈ (−∞; +∞). Значит, F — первообразная f на всей числовой прямой.
1) F'(x) = (x^6/6)' = 6x^5/6 = x^5 = f(x) для всех x ∈ (−∞; +∞). Значит, F — первообразная f на всей числовой прямой.
2) F'(x) = (x^5/5 + 1)' = 5x^4/5 + 0 = x^4 = f(x) для всех x ∈ (−∞; +∞). Значит, F — первообразная f на всей числовой прямой.
984. Показать, что функция F(x) является первообразной функции f(x) при x > 0:
1) F(x) = 2/x, f(x) = −2/x²;
2) F(x) = 1 + √x, f(x) = 1/(2√x).
1) F(x) = 2/x, f(x) = −2/x²;
2) F(x) = 1 + √x, f(x) = 1/(2√x).
Проверяем равенство F'(x) = f(x) при x > 0.
1) F(x) = 2x^(−1), F'(x) = 2 · (−1) · x^(−2) = −2/x² = f(x) при x > 0.
2) F'(x) = (1 + √x)' = 0 + 1/(2√x) = 1/(2√x) = f(x) при x > 0.
В обоих случаях F'(x) = f(x), поэтому F — первообразная f при x > 0.
1) F(x) = 2x^(−1), F'(x) = 2 · (−1) · x^(−2) = −2/x² = f(x) при x > 0.
2) F'(x) = (1 + √x)' = 0 + 1/(2√x) = 1/(2√x) = f(x) при x > 0.
В обоих случаях F'(x) = f(x), поэтому F — первообразная f при x > 0.
985. Найти все первообразные функции:
1) x^4;
2) x³;
3) x^(−3);
4) x^(−1/2).
1) x^4;
2) x³;
3) x^(−3);
4) x^(−1/2).
Используем формулу: все первообразные функции x^p (p ≠ −1) имеют вид x^(p+1)/(p + 1) + C.
1) p = 4: x^5/5 + C.
2) p = 3: x^4/4 + C.
3) p = −3: x^(−2)/(−2) + C = −1/(2x²) + C (на любом промежутке, не содержащем 0).
4) p = −1/2: x^(1/2)/(1/2) + C = 2√x + C (при x > 0).
1) p = 4: x^5/5 + C.
2) p = 3: x^4/4 + C.
3) p = −3: x^(−2)/(−2) + C = −1/(2x²) + C (на любом промежутке, не содержащем 0).
4) p = −1/2: x^(1/2)/(1/2) + C = 2√x + C (при x > 0).
986. Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M:
1) f(x) = x, M(−1; 3);
2) f(x) = √x, M(9; 10).
1) f(x) = x, M(−1; 3);
2) f(x) = √x, M(9; 10).
1) Все первообразные: F(x) = x²/2 + C. Подставляем x = −1, y = 3: 3 = 1/2 + C, откуда C = 5/2. Ответ: F(x) = x²/2 + 5/2.
2) Все первообразные: F(x) = (2/3)x^(3/2) + C = (2/3)x√x + C. Подставляем x = 9, y = 10: 10 = (2/3) · 9 · 3 + C = 18 + C, откуда C = −8. Ответ: F(x) = (2/3)x√x − 8.
2) Все первообразные: F(x) = (2/3)x^(3/2) + C = (2/3)x√x + C. Подставляем x = 9, y = 10: 10 = (2/3) · 9 · 3 + C = 18 + C, откуда C = −8. Ответ: F(x) = (2/3)x√x − 8.
987. Показать, что функция F(x) является первообразной функции f(x) на всей числовой прямой:
1) F(x) = 3e^(x/3), f(x) = e^(x/3);
2) F(x) = sin 2x, f(x) = 2 cos 2x.
1) F(x) = 3e^(x/3), f(x) = e^(x/3);
2) F(x) = sin 2x, f(x) = 2 cos 2x.
1) F'(x) = (3e^(x/3))' = 3 · (1/3) · e^(x/3) = e^(x/3) = f(x) для всех x.
2) F'(x) = (sin 2x)' = cos 2x · (2x)' = 2 cos 2x = f(x) для всех x.
Значит, в обоих случаях F — первообразная f на всей числовой прямой.
2) F'(x) = (sin 2x)' = cos 2x · (2x)' = 2 cos 2x = f(x) для всех x.
Значит, в обоих случаях F — первообразная f на всей числовой прямой.