Глава X. § 55. Правила нахождения первообразных — с. 296
989. Найти одну из первообразных функции:
1) 3 cos x − 4 sin x;
2) 5 sin x + 2 cos x;
3) e^x − 2 cos x;
4) 3e^x − sin x;
5) 5 − e^(−x) + 3 cos x;
6) 1 + 3e^x − 4 cos x;
7) 6 · ∛x − 2/x + 3e^x;
8) 4/√x + 3/x − 2e^(−x).
1) 3 cos x − 4 sin x;
2) 5 sin x + 2 cos x;
3) e^x − 2 cos x;
4) 3e^x − sin x;
5) 5 − e^(−x) + 3 cos x;
6) 1 + 3e^x − 4 cos x;
7) 6 · ∛x − 2/x + 3e^x;
8) 4/√x + 3/x − 2e^(−x).
Используем таблицу первообразных: (sin x)' = cos x, (−cos x)' = sin x, (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x.
1) 3 sin x + 4 cos x.
2) −5 cos x + 2 sin x.
3) e^x − 2 sin x.
4) 3e^x + cos x.
5) 5x + e^(−x) + 3 sin x (так как (e^(−x))' = −e^(−x)).
6) x + 3e^x − 4 sin x.
7) 6x^(1/3) → 6 · (3/4) x^(4/3) = (9/2)x∛x; −2/x → −2 ln|x|; 3e^x → 3e^x. Итого: (9/2)x∛x − 2 ln|x| + 3e^x.
8) 4x^(−1/2) → 4 · 2√x = 8√x; 3/x → 3 ln|x|; −2e^(−x) → 2e^(−x). Итого: 8√x + 3 ln x + 2e^(−x) при x > 0.
1) 3 sin x + 4 cos x.
2) −5 cos x + 2 sin x.
3) e^x − 2 sin x.
4) 3e^x + cos x.
5) 5x + e^(−x) + 3 sin x (так как (e^(−x))' = −e^(−x)).
6) x + 3e^x − 4 sin x.
7) 6x^(1/3) → 6 · (3/4) x^(4/3) = (9/2)x∛x; −2/x → −2 ln|x|; 3e^x → 3e^x. Итого: (9/2)x∛x − 2 ln|x| + 3e^x.
8) 4x^(−1/2) → 4 · 2√x = 8√x; 3/x → 3 ln|x|; −2e^(−x) → 2e^(−x). Итого: 8√x + 3 ln x + 2e^(−x) при x > 0.
990. Найти одну из первообразных функции:
1) (x + 1)^4;
2) (x − 2)³;
3) 2/√(x − 2);
4) 3/∛(x + 3);
5) 1/(x − 1) + 4 cos (x + 2);
6) 3/(x − 3) − 2 sin (x − 1).
1) (x + 1)^4;
2) (x − 2)³;
3) 2/√(x − 2);
4) 3/∛(x + 3);
5) 1/(x − 1) + 4 cos (x + 2);
6) 3/(x − 3) − 2 sin (x − 1).
Здесь k = 1, поэтому первообразная для (x + b)^p равна (x + b)^(p+1)/(p + 1).
1) (x + 1)^5/5.
2) (x − 2)^4/4.
3) 2(x − 2)^(−1/2) → 2 · (x − 2)^(1/2)/(1/2) = 4√(x − 2) (при x > 2).
4) 3(x + 3)^(−1/3) → 3 · (x + 3)^(2/3)/(2/3) = (9/2) · ∛((x + 3)²) (на промежутке x > −3 или x < −3).
5) ln|x − 1| + 4 sin (x + 2).
6) 3 ln|x − 3| + 2 cos (x − 1) (так как (cos (x − 1))' = −sin (x − 1)).
1) (x + 1)^5/5.
2) (x − 2)^4/4.
3) 2(x − 2)^(−1/2) → 2 · (x − 2)^(1/2)/(1/2) = 4√(x − 2) (при x > 2).
4) 3(x + 3)^(−1/3) → 3 · (x + 3)^(2/3)/(2/3) = (9/2) · ∛((x + 3)²) (на промежутке x > −3 или x < −3).
5) ln|x − 1| + 4 sin (x + 2).
6) 3 ln|x − 3| + 2 cos (x − 1) (так как (cos (x − 1))' = −sin (x − 1)).
991. Найти все первообразные функции:
1) sin (2x + 3);
2) cos (3x + 4);
3) cos (x/2 − 1);
4) sin (x/4 + 5);
5) e^((x + 1)/2);
6) e^(3x − 5);
7) 1/(2x);
8) 1/(3x − 1).
1) sin (2x + 3);
2) cos (3x + 4);
3) cos (x/2 − 1);
4) sin (x/4 + 5);
5) e^((x + 1)/2);
6) e^(3x − 5);
7) 1/(2x);
8) 1/(3x − 1).
Формулы: для sin (kx + b) — (−1/k) cos (kx + b); для cos (kx + b) — (1/k) sin (kx + b); для e^(kx+b) — (1/k) e^(kx+b); для 1/(kx + b) — (1/k) ln|kx + b|.
1) k = 2: −(1/2) cos (2x + 3) + C.
2) k = 3: (1/3) sin (3x + 4) + C.
3) k = 1/2: 2 sin (x/2 − 1) + C.
4) k = 1/4: −4 cos (x/4 + 5) + C.
5) k = 1/2: 2e^((x + 1)/2) + C.
6) k = 3: (1/3) e^(3x − 5) + C.
7) 1/(2x) = (1/2) · (1/x): (1/2) ln|x| + C.
8) k = 3: (1/3) ln|3x − 1| + C.
1) k = 2: −(1/2) cos (2x + 3) + C.
2) k = 3: (1/3) sin (3x + 4) + C.
3) k = 1/2: 2 sin (x/2 − 1) + C.
4) k = 1/4: −4 cos (x/4 + 5) + C.
5) k = 1/2: 2e^((x + 1)/2) + C.
6) k = 3: (1/3) e^(3x − 5) + C.
7) 1/(2x) = (1/2) · (1/x): (1/2) ln|x| + C.
8) k = 3: (1/3) ln|3x − 1| + C.
992. Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M:
1) f(x) = 2x + 3, M(1; 2);
2) f(x) = 4x − 1, M(−1; 3);
3) f(x) = sin 2x, M(π/2; 5);
4) f(x) = cos 3x, M(0; 0).
1) f(x) = 2x + 3, M(1; 2);
2) f(x) = 4x − 1, M(−1; 3);
3) f(x) = sin 2x, M(π/2; 5);
4) f(x) = cos 3x, M(0; 0).
1) F(x) = x² + 3x + C. При x = 1: 1 + 3 + C = 2, C = −2. Ответ: F(x) = x² + 3x − 2.
2) F(x) = 2x² − x + C. При x = −1: 2 + 1 + C = 3, C = 0. Ответ: F(x) = 2x² − x.
3) F(x) = −(1/2) cos 2x + C. При x = π/2: −(1/2) cos π + C = 1/2 + C = 5, C = 9/2. Ответ: F(x) = −(1/2) cos 2x + 9/2.
4) F(x) = (1/3) sin 3x + C. При x = 0: 0 + C = 0, C = 0. Ответ: F(x) = (1/3) sin 3x.
2) F(x) = 2x² − x + C. При x = −1: 2 + 1 + C = 3, C = 0. Ответ: F(x) = 2x² − x.
3) F(x) = −(1/2) cos 2x + C. При x = π/2: −(1/2) cos π + C = 1/2 + C = 5, C = 9/2. Ответ: F(x) = −(1/2) cos 2x + 9/2.
4) F(x) = (1/3) sin 3x + C. При x = 0: 0 + C = 0, C = 0. Ответ: F(x) = (1/3) sin 3x.
993. Найти одну из первообразных функции:
1) e^(2x) − cos 3x;
2) e^(x/4) + sin 2x;
3) 2 sin (x/5) − 5e^(2x + 1/3);
4) 3 cos (x/7) + 2e^(3x − 1/2);
5) √(x/5) + 4 sin (4x + 2);
6) 4/√(3x + 1) − 3/(2x − 5).
1) e^(2x) − cos 3x;
2) e^(x/4) + sin 2x;
3) 2 sin (x/5) − 5e^(2x + 1/3);
4) 3 cos (x/7) + 2e^(3x − 1/2);
5) √(x/5) + 4 sin (4x + 2);
6) 4/√(3x + 1) − 3/(2x − 5).
1) (1/2)e^(2x) − (1/3) sin 3x.
2) 4e^(x/4) − (1/2) cos 2x.
3) 2 sin (x/5) → 2 · (−5) cos (x/5) = −10 cos (x/5); −5e^(2x + 1/3) → −(5/2)e^(2x + 1/3). Итого: −10 cos (x/5) − (5/2)e^(2x + 1/3).
4) 3 cos (x/7) → 21 sin (x/7); 2e^(3x − 1/2) → (2/3)e^(3x − 1/2). Итого: 21 sin (x/7) + (2/3)e^(3x − 1/2).
5) √(x/5) = x^(1/2)/√5, первообразная (1/√5) · (2/3)x^(3/2) = (2/3)x√(x/5); 4 sin (4x + 2) → −cos (4x + 2). Итого: (2/3)x√(x/5) − cos (4x + 2) (при x ≥ 0).
6) 4(3x + 1)^(−1/2) → 4 · (3x + 1)^(1/2)/(3 · 1/2) = (8/3)√(3x + 1); −3/(2x − 5) → −(3/2) ln|2x − 5|. Итого: (8/3)√(3x + 1) − (3/2) ln|2x − 5|.
2) 4e^(x/4) − (1/2) cos 2x.
3) 2 sin (x/5) → 2 · (−5) cos (x/5) = −10 cos (x/5); −5e^(2x + 1/3) → −(5/2)e^(2x + 1/3). Итого: −10 cos (x/5) − (5/2)e^(2x + 1/3).
4) 3 cos (x/7) → 21 sin (x/7); 2e^(3x − 1/2) → (2/3)e^(3x − 1/2). Итого: 21 sin (x/7) + (2/3)e^(3x − 1/2).
5) √(x/5) = x^(1/2)/√5, первообразная (1/√5) · (2/3)x^(3/2) = (2/3)x√(x/5); 4 sin (4x + 2) → −cos (4x + 2). Итого: (2/3)x√(x/5) − cos (4x + 2) (при x ≥ 0).
6) 4(3x + 1)^(−1/2) → 4 · (3x + 1)^(1/2)/(3 · 1/2) = (8/3)√(3x + 1); −3/(2x − 5) → −(3/2) ln|2x − 5|. Итого: (8/3)√(3x + 1) − (3/2) ln|2x − 5|.
994. Найти одну из первообразных функции:
1) (2x^4 − 4x³ + x)/3;
2) (6x³ − 3x + 2)/5;
3) (1 + 2x)(x − 3);
4) (2x − 3)(2 + 3x).
1) (2x^4 − 4x³ + x)/3;
2) (6x³ − 3x + 2)/5;
3) (1 + 2x)(x − 3);
4) (2x − 3)(2 + 3x).
1) Функция равна (2/3)x^4 − (4/3)x³ + (1/3)x. Первообразная: (2/3) · x^5/5 − (4/3) · x^4/4 + (1/3) · x²/2 = (2/15)x^5 − (1/3)x^4 + x²/6.
2) Функция равна (6/5)x³ − (3/5)x + 2/5. Первообразная: (6/5) · x^4/4 − (3/5) · x²/2 + (2/5)x = (3/10)x^4 − (3/10)x² + (2/5)x.
3) (1 + 2x)(x − 3) = x − 3 + 2x² − 6x = 2x² − 5x − 3. Первообразная: (2/3)x³ − (5/2)x² − 3x.
4) (2x − 3)(2 + 3x) = 4x + 6x² − 6 − 9x = 6x² − 5x − 6. Первообразная: 2x³ − (5/2)x² − 6x.
2) Функция равна (6/5)x³ − (3/5)x + 2/5. Первообразная: (6/5) · x^4/4 − (3/5) · x²/2 + (2/5)x = (3/10)x^4 − (3/10)x² + (2/5)x.
3) (1 + 2x)(x − 3) = x − 3 + 2x² − 6x = 2x² − 5x − 3. Первообразная: (2/3)x³ − (5/2)x² − 3x.
4) (2x − 3)(2 + 3x) = 4x + 6x² − 6 − 9x = 6x² − 5x − 6. Первообразная: 2x³ − (5/2)x² − 6x.
995. Найти одну из первообразных функции:
1) (2x + 1)√x;
2) (3x − 2) · ∛x;
3) (x + 4)/∛x;
4) (x − 3)/√x.
1) (2x + 1)√x;
2) (3x − 2) · ∛x;
3) (x + 4)/∛x;
4) (x − 3)/√x.
Раскрываем скобки и записываем функции в виде суммы степеней x.
1) (2x + 1)x^(1/2) = 2x^(3/2) + x^(1/2). Первообразная: 2 · x^(5/2)/(5/2) + x^(3/2)/(3/2) = (4/5)x²√x + (2/3)x√x.
2) (3x − 2)x^(1/3) = 3x^(4/3) − 2x^(1/3). Первообразная: 3 · x^(7/3)/(7/3) − 2 · x^(4/3)/(4/3) = (9/7)x^(7/3) − (3/2)x^(4/3) = (9/7)x²∛x − (3/2)x∛x.
3) (x + 4)x^(−1/3) = x^(2/3) + 4x^(−1/3). Первообразная: x^(5/3)/(5/3) + 4 · x^(2/3)/(2/3) = (3/5)x^(5/3) + 6x^(2/3) = (3/5)x∛(x²) + 6∛(x²).
4) (x − 3)x^(−1/2) = x^(1/2) − 3x^(−1/2). Первообразная: x^(3/2)/(3/2) − 3 · x^(1/2)/(1/2) = (2/3)x√x − 6√x (при x > 0).
1) (2x + 1)x^(1/2) = 2x^(3/2) + x^(1/2). Первообразная: 2 · x^(5/2)/(5/2) + x^(3/2)/(3/2) = (4/5)x²√x + (2/3)x√x.
2) (3x − 2)x^(1/3) = 3x^(4/3) − 2x^(1/3). Первообразная: 3 · x^(7/3)/(7/3) − 2 · x^(4/3)/(4/3) = (9/7)x^(7/3) − (3/2)x^(4/3) = (9/7)x²∛x − (3/2)x∛x.
3) (x + 4)x^(−1/3) = x^(2/3) + 4x^(−1/3). Первообразная: x^(5/3)/(5/3) + 4 · x^(2/3)/(2/3) = (3/5)x^(5/3) + 6x^(2/3) = (3/5)x∛(x²) + 6∛(x²).
4) (x − 3)x^(−1/2) = x^(1/2) − 3x^(−1/2). Первообразная: x^(3/2)/(3/2) − 3 · x^(1/2)/(1/2) = (2/3)x√x − 6√x (при x > 0).
996. Найти одну из первообразных функции:
1) sin x cos x;
2) sin x cos 3x − cos x sin 3x.
1) sin x cos x;
2) sin x cos 3x − cos x sin 3x.
1) sin x cos x = (1/2) sin 2x. Первообразная: (1/2) · (−1/2) cos 2x = −(1/4) cos 2x.
2) По формуле синуса разности: sin x cos 3x − cos x sin 3x = sin (x − 3x) = sin (−2x) = −sin 2x. Первообразная: −(−(1/2) cos 2x) = (1/2) cos 2x.
2) По формуле синуса разности: sin x cos 3x − cos x sin 3x = sin (x − 3x) = sin (−2x) = −sin 2x. Первообразная: −(−(1/2) cos 2x) = (1/2) cos 2x.
997. Найти первообразную функции y = 2 sin 5x + 3 cos (x/2), которая при x = π/3 принимает значение, равное 0.
Все первообразные: F(x) = 2 · (−1/5) cos 5x + 3 · 2 sin (x/2) + C = −(2/5) cos 5x + 6 sin (x/2) + C.
При x = π/3: cos (5π/3) = 1/2, sin (π/6) = 1/2, поэтому F(π/3) = −(2/5) · (1/2) + 6 · (1/2) + C = −1/5 + 3 + C = 14/5 + C.
По условию 14/5 + C = 0, откуда C = −14/5 = −2,8.
Ответ: F(x) = −(2/5) cos 5x + 6 sin (x/2) − 2,8.
При x = π/3: cos (5π/3) = 1/2, sin (π/6) = 1/2, поэтому F(π/3) = −(2/5) · (1/2) + 6 · (1/2) + C = −1/5 + 3 + C = 14/5 + C.
По условию 14/5 + C = 0, откуда C = −14/5 = −2,8.
Ответ: F(x) = −(2/5) cos 5x + 6 sin (x/2) − 2,8.
998. Найти одну из первообразных функции:
1) x/(x − 3);
2) (x − 1)/(x² + x − 2);
3) cos² x;
4) sin 3x cos 5x.
1) x/(x − 3);
2) (x − 1)/(x² + x − 2);
3) cos² x;
4) sin 3x cos 5x.
1) x/(x − 3) = ((x − 3) + 3)/(x − 3) = 1 + 3/(x − 3). Первообразная: x + 3 ln|x − 3|.
2) x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2), поэтому при x ≠ 1 дробь равна 1/(x + 2). Первообразная: ln|x + 2|.
3) cos² x = (1 + cos 2x)/2 = 1/2 + (1/2) cos 2x. Первообразная: x/2 + (1/4) sin 2x.
4) sin 3x cos 5x = (1/2)(sin 8x + sin (−2x)) = (1/2) sin 8x − (1/2) sin 2x. Первообразная: −(1/16) cos 8x + (1/4) cos 2x.
2) x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2), поэтому при x ≠ 1 дробь равна 1/(x + 2). Первообразная: ln|x + 2|.
3) cos² x = (1 + cos 2x)/2 = 1/2 + (1/2) cos 2x. Первообразная: x/2 + (1/4) sin 2x.
4) sin 3x cos 5x = (1/2)(sin 8x + sin (−2x)) = (1/2) sin 8x − (1/2) sin 2x. Первообразная: −(1/16) cos 8x + (1/4) cos 2x.