Глава V. § 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла — с. 151
502. Вычислить, не используя калькулятор:
1) 2 sin 75° · cos 75°;
2) cos² 75° − sin² 75°;
3) 6 tg 75°/(1 − tg² 75°);
4) (tg² 22°30′ − 1)/tg 22°30′.
1) 2 sin 75° · cos 75°;
2) cos² 75° − sin² 75°;
3) 6 tg 75°/(1 − tg² 75°);
4) (tg² 22°30′ − 1)/tg 22°30′.
1) 2 sin 75° cos 75° = sin 150° = 1/2. Ответ: 1/2.
2) cos² 75° − sin² 75° = cos 150° = −√3/2. Ответ: −√3/2.
3) 6 tg 75°/(1 − tg² 75°) = 3·tg 150° = 3·(−√3/3) = −√3. Ответ: −√3.
4) (tg² x − 1)/tg x = −(1 − tg² x)/tg x = −2/tg 2x = −2 ctg 2x при x = 22°30′. Получаем −2 ctg 45° = −2. Ответ: −2.
2) cos² 75° − sin² 75° = cos 150° = −√3/2. Ответ: −√3/2.
3) 6 tg 75°/(1 − tg² 75°) = 3·tg 150° = 3·(−√3/3) = −√3. Ответ: −√3.
4) (tg² x − 1)/tg x = −(1 − tg² x)/tg x = −2/tg 2x = −2 ctg 2x при x = 22°30′. Получаем −2 ctg 45° = −2. Ответ: −2.
503. Вычислить sin 2α, если:
1) sin α = 3/5 и π/2 < α < π;
2) cos α = −4/5 и π < α < 3π/2.
1) sin α = 3/5 и π/2 < α < π;
2) cos α = −4/5 и π < α < 3π/2.
1) Угол во второй четверти, cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5. sin 2α = 2·(3/5)(−4/5) = −24/25. Ответ: −24/25.
2) Угол в третьей четверти, sin α = −√(1 − 16/25) = −3/5. sin 2α = 2·(−3/5)(−4/5) = 24/25. Ответ: 24/25.
2) Угол в третьей четверти, sin α = −√(1 − 16/25) = −3/5. sin 2α = 2·(−3/5)(−4/5) = 24/25. Ответ: 24/25.
504. Вычислить cos 2α, если:
1) cos α = 4/5;
2) sin α = −3/5.
1) cos α = 4/5;
2) sin α = −3/5.
1) cos 2α = 2 cos² α − 1 = 2·16/25 − 1 = 7/25. Ответ: 7/25.
2) cos 2α = 1 − 2 sin² α = 1 − 2·9/25 = 7/25. Ответ: 7/25.
2) cos 2α = 1 − 2 sin² α = 1 − 2·9/25 = 7/25. Ответ: 7/25.
505. Вычислить tg 2α, если tg α = 0,5.
tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α) = 1/(1 − 0,25) = 1/0,75 = 4/3. Ответ: 4/3.
506. Упростить выражение:
1) 2 cos 40° · cos 50°;
2) 2 sin 25° · sin 65°;
3) sin 2α + (sin α − cos α)²;
4) cos 4α + sin² 2α.
1) 2 cos 40° · cos 50°;
2) 2 sin 25° · sin 65°;
3) sin 2α + (sin α − cos α)²;
4) cos 4α + sin² 2α.
1) cos 50° = sin 40°, поэтому 2 cos 40° sin 40° = sin 80°. Ответ: sin 80°.
2) sin 65° = cos 25°, поэтому 2 sin 25° cos 25° = sin 50°. Ответ: sin 50°.
3) sin 2α + sin² α − 2 sin α cos α + cos² α = sin 2α − sin 2α + 1 = 1. Ответ: 1.
4) cos 4α = cos² 2α − sin² 2α, значит cos 4α + sin² 2α = cos² 2α. Ответ: cos² 2α.
2) sin 65° = cos 25°, поэтому 2 sin 25° cos 25° = sin 50°. Ответ: sin 50°.
3) sin 2α + sin² α − 2 sin α cos α + cos² α = sin 2α − sin 2α + 1 = 1. Ответ: 1.
4) cos 4α = cos² 2α − sin² 2α, значит cos 4α + sin² 2α = cos² 2α. Ответ: cos² 2α.
507. Упростить выражение:
1) sin 2α/((sin α + cos α)² − 1);
2) (1 + cos 2α)/(1 − cos 2α).
1) sin 2α/((sin α + cos α)² − 1);
2) (1 + cos 2α)/(1 − cos 2α).
1) (sin α + cos α)² − 1 = 1 + 2 sin α cos α − 1 = sin 2α. Дробь равна 1 (при sin 2α ≠ 0). Ответ: 1.
2) 1 + cos 2α = 2 cos² α, 1 − cos 2α = 2 sin² α. Дробь равна cos² α/sin² α = ctg² α. Ответ: ctg² α.
2) 1 + cos 2α = 2 cos² α, 1 − cos 2α = 2 sin² α. Дробь равна cos² α/sin² α = ctg² α. Ответ: ctg² α.
508. Доказать тождество:
1) sin 2α = (sin α + cos α)² − 1;
2) (sin α − cos α)² = 1 − sin 2α;
3) cos⁴ α − sin⁴ α = cos 2α;
4) 2 cos² α − cos 2α = 1.
1) sin 2α = (sin α + cos α)² − 1;
2) (sin α − cos α)² = 1 − sin 2α;
3) cos⁴ α − sin⁴ α = cos 2α;
4) 2 cos² α − cos 2α = 1.
1) (sin α + cos α)² − 1 = sin² α + 2 sin α cos α + cos² α − 1 = 2 sin α cos α = sin 2α.
2) (sin α − cos α)² = sin² α − 2 sin α cos α + cos² α = 1 − sin 2α.
3) cos⁴ α − sin⁴ α = (cos² α − sin² α)(cos² α + sin² α) = cos 2α · 1 = cos 2α.
4) 2 cos² α − cos 2α = 2 cos² α − (2 cos² α − 1) = 1.
Во всех пунктах левая и правая части совпадают, тождества доказаны.
2) (sin α − cos α)² = sin² α − 2 sin α cos α + cos² α = 1 − sin 2α.
3) cos⁴ α − sin⁴ α = (cos² α − sin² α)(cos² α + sin² α) = cos 2α · 1 = cos 2α.
4) 2 cos² α − cos 2α = 2 cos² α − (2 cos² α − 1) = 1.
Во всех пунктах левая и правая части совпадают, тождества доказаны.
509. Вычислить sin 2α, если:
1) sin α + cos α = 1/2;
2) sin α − cos α = −1/3.
1) sin α + cos α = 1/2;
2) sin α − cos α = −1/3.
1) Возведём в квадрат: sin² α + 2 sin α cos α + cos² α = 1/4, то есть 1 + sin 2α = 1/4, sin 2α = −3/4. Ответ: −3/4.
2) Возведём в квадрат: 1 − sin 2α = 1/9, sin 2α = 8/9. Ответ: 8/9.
2) Возведём в квадрат: 1 − sin 2α = 1/9, sin 2α = 8/9. Ответ: 8/9.
510. Доказать тождество:
1) cos 2α/(sin α cos α + sin² α) = ctg α − 1;
2) (sin 2α − 2 cos α)/(sin α − sin² α) = −2 ctg α;
3) tg α (1 + cos 2α) = sin 2α;
4) (1 − cos 2α + sin 2α)/(1 + cos 2α + sin 2α) · ctg α = 1;
5) (1 − 2 cos² α)(2 sin² α − 1)/(4 sin² α cos² α) = ctg² 2α;
6) 1 − 2 sin²(π/4 − α/2) = sin α;
7) (sin α + sin 2α)/(1 + cos α + cos 2α) = tg α.
1) cos 2α/(sin α cos α + sin² α) = ctg α − 1;
2) (sin 2α − 2 cos α)/(sin α − sin² α) = −2 ctg α;
3) tg α (1 + cos 2α) = sin 2α;
4) (1 − cos 2α + sin 2α)/(1 + cos 2α + sin 2α) · ctg α = 1;
5) (1 − 2 cos² α)(2 sin² α − 1)/(4 sin² α cos² α) = ctg² 2α;
6) 1 − 2 sin²(π/4 − α/2) = sin α;
7) (sin α + sin 2α)/(1 + cos α + cos 2α) = tg α.
1) Числитель: cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α). Знаменатель: sin α (cos α + sin α). После сокращения (cos α − sin α)/sin α = ctg α − 1.
2) Числитель: 2 sin α cos α − 2 cos α = 2 cos α (sin α − 1). Знаменатель: sin α (1 − sin α). Дробь равна −2 cos α/sin α = −2 ctg α (sin α ≠ 1).
3) 1 + cos 2α = 2 cos² α, поэтому tg α · 2 cos² α = 2 sin α cos α = sin 2α.
4) 1 − cos 2α = 2 sin² α, 1 + cos 2α = 2 cos² α, sin 2α = 2 sin α cos α. Дробь: (2 sin² α + 2 sin α cos α)/(2 cos² α + 2 sin α cos α) = 2 sin α (sin α + cos α)/(2 cos α (cos α + sin α)) = tg α. Умножаем на ctg α, получаем 1.
5) 1 − 2 cos² α = −cos 2α, 2 sin² α − 1 = −cos 2α, произведение равно cos² 2α. Знаменатель 4 sin² α cos² α = sin² 2α. Дробь равна cos² 2α/sin² 2α = ctg² 2α.
6) 1 − 2 sin² t = cos 2t. При t = π/4 − α/2 получаем cos(π/2 − α) = sin α.
7) Числитель: sin α + 2 sin α cos α = sin α (1 + 2 cos α). Знаменатель: 1 + cos α + 2 cos² α − 1 = cos α (1 + 2 cos α). Дробь равна tg α (при 1 + 2 cos α ≠ 0).
Во всех пунктах тождества доказаны.
2) Числитель: 2 sin α cos α − 2 cos α = 2 cos α (sin α − 1). Знаменатель: sin α (1 − sin α). Дробь равна −2 cos α/sin α = −2 ctg α (sin α ≠ 1).
3) 1 + cos 2α = 2 cos² α, поэтому tg α · 2 cos² α = 2 sin α cos α = sin 2α.
4) 1 − cos 2α = 2 sin² α, 1 + cos 2α = 2 cos² α, sin 2α = 2 sin α cos α. Дробь: (2 sin² α + 2 sin α cos α)/(2 cos² α + 2 sin α cos α) = 2 sin α (sin α + cos α)/(2 cos α (cos α + sin α)) = tg α. Умножаем на ctg α, получаем 1.
5) 1 − 2 cos² α = −cos 2α, 2 sin² α − 1 = −cos 2α, произведение равно cos² 2α. Знаменатель 4 sin² α cos² α = sin² 2α. Дробь равна cos² 2α/sin² 2α = ctg² 2α.
6) 1 − 2 sin² t = cos 2t. При t = π/4 − α/2 получаем cos(π/2 − α) = sin α.
7) Числитель: sin α + 2 sin α cos α = sin α (1 + 2 cos α). Знаменатель: 1 + cos α + 2 cos² α − 1 = cos α (1 + 2 cos α). Дробь равна tg α (при 1 + 2 cos α ≠ 0).
Во всех пунктах тождества доказаны.
511. Доказать тождество
sin² α/(cos α (1 + ctg α)) − cos² α/(sin α (1 + tg α)) = 2√2 sin(α − π/4)/sin 2α.
sin² α/(cos α (1 + ctg α)) − cos² α/(sin α (1 + tg α)) = 2√2 sin(α − π/4)/sin 2α.
Преобразуем: cos α (1 + ctg α) = cos α (sin α + cos α)/sin α, поэтому первая дробь равна sin³ α/(cos α (sin α + cos α)). Аналогично sin α (1 + tg α) = sin α (cos α + sin α)/cos α, вторая дробь равна cos³ α/(sin α (sin α + cos α)).
Разность: (sin⁴ α − cos⁴ α)/(sin α cos α (sin α + cos α)) = (sin² α − cos² α)/(sin α cos α (sin α + cos α)) = (sin α − cos α)/(sin α cos α) = 2 (sin α − cos α)/sin 2α.
Правая часть: 2√2 sin(α − π/4) = 2√2 (sin α·(√2/2) − cos α·(√2/2)) = 2 (sin α − cos α), то есть правая часть равна 2 (sin α − cos α)/sin 2α. Части совпадают, тождество доказано.
Разность: (sin⁴ α − cos⁴ α)/(sin α cos α (sin α + cos α)) = (sin² α − cos² α)/(sin α cos α (sin α + cos α)) = (sin α − cos α)/(sin α cos α) = 2 (sin α − cos α)/sin 2α.
Правая часть: 2√2 sin(α − π/4) = 2√2 (sin α·(√2/2) − cos α·(√2/2)) = 2 (sin α − cos α), то есть правая часть равна 2 (sin α − cos α)/sin 2α. Части совпадают, тождество доказано.
512. Решить уравнение:
1) sin 2x − 2 cos x = 0;
2) cos 2x + sin² x = 1;
3) 4 cos x = sin 2x;
4) sin² x = −cos 2x;
5) sin(x/2) cos(x/2) + 1/2 = 0;
6) cos²(x/2) = sin²(x/2).
1) sin 2x − 2 cos x = 0;
2) cos 2x + sin² x = 1;
3) 4 cos x = sin 2x;
4) sin² x = −cos 2x;
5) sin(x/2) cos(x/2) + 1/2 = 0;
6) cos²(x/2) = sin²(x/2).
1) 2 sin x cos x − 2 cos x = 0, 2 cos x (sin x − 1) = 0. Если cos x = 0, то x = π/2 + πn; если sin x = 1, то x = π/2 + 2πn (уже входит в первую серию). Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2) 1 − 2 sin² x + sin² x = 1, sin² x = 0, x = πn, n ∈ Z.
3) 4 cos x = 2 sin x cos x, 2 cos x (2 − sin x) = 0. Так как sin x ≠ 2, то cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
4) sin² x = −(1 − 2 sin² x) = 2 sin² x − 1, откуда sin² x = 1, sin x = ±1, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
5) Умножим на 2: 2 sin(x/2) cos(x/2) + 1 = 0, sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
6) cos²(x/2) − sin²(x/2) = 0, cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2) 1 − 2 sin² x + sin² x = 1, sin² x = 0, x = πn, n ∈ Z.
3) 4 cos x = 2 sin x cos x, 2 cos x (2 − sin x) = 0. Так как sin x ≠ 2, то cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
4) sin² x = −(1 − 2 sin² x) = 2 sin² x − 1, откуда sin² x = 1, sin x = ±1, x = π/2 + πn, n ∈ Z.
5) Умножим на 2: 2 sin(x/2) cos(x/2) + 1 = 0, sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
6) cos²(x/2) − sin²(x/2) = 0, cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.