Глава V. § 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла — с. 150
498. Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:
1) sin 48°;
2) cos 164°;
3) tg 92°;
4) sin 4π/3;
5) cos 5π/3.
1) sin 48°;
2) cos 164°;
3) tg 92°;
4) sin 4π/3;
5) cos 5π/3.
Используем sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos² α − sin² α, tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α).
1) sin 48° = 2 sin 24° cos 24°.
2) cos 164° = cos² 82° − sin² 82°.
3) tg 92° = 2 tg 46°/(1 − tg² 46°).
4) sin(4π/3) = 2 sin(2π/3) cos(2π/3).
5) cos(5π/3) = cos²(5π/6) − sin²(5π/6).
1) sin 48° = 2 sin 24° cos 24°.
2) cos 164° = cos² 82° − sin² 82°.
3) tg 92° = 2 tg 46°/(1 − tg² 46°).
4) sin(4π/3) = 2 sin(2π/3) cos(2π/3).
5) cos(5π/3) = cos²(5π/6) − sin²(5π/6).
499. Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:
1) sin(π/2 + α);
2) sin(π/4 + β);
3) cos(π/2 − α);
4) cos(3π/2 + α);
5) sin α;
6) cos α.
1) sin(π/2 + α);
2) sin(π/4 + β);
3) cos(π/2 − α);
4) cos(3π/2 + α);
5) sin α;
6) cos α.
1) sin(π/2 + α) = 2 sin(π/4 + α/2) cos(π/4 + α/2).
2) sin(π/4 + β) = 2 sin(π/8 + β/2) cos(π/8 + β/2).
3) cos(π/2 − α) = cos²(π/4 − α/2) − sin²(π/4 − α/2).
4) cos(3π/2 + α) = cos²(3π/4 + α/2) − sin²(3π/4 + α/2).
5) sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2).
6) cos α = cos²(α/2) − sin²(α/2).
2) sin(π/4 + β) = 2 sin(π/8 + β/2) cos(π/8 + β/2).
3) cos(π/2 − α) = cos²(π/4 − α/2) − sin²(π/4 − α/2).
4) cos(3π/2 + α) = cos²(3π/4 + α/2) − sin²(3π/4 + α/2).
5) sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2).
6) cos α = cos²(α/2) − sin²(α/2).
500. Вычислить, не используя калькулятор:
1) 2 sin 15° · cos 15°;
2) cos² 15° − sin² 15°;
3) 2 tg 15°/(1 − tg² 15°);
4) (cos 75° − sin 75°)².
1) 2 sin 15° · cos 15°;
2) cos² 15° − sin² 15°;
3) 2 tg 15°/(1 − tg² 15°);
4) (cos 75° − sin 75°)².
1) 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2. Ответ: 1/2.
2) cos² 15° − sin² 15° = cos 30° = √3/2. Ответ: √3/2.
3) 2 tg 15°/(1 − tg² 15°) = tg 30° = √3/3. Ответ: √3/3.
4) (cos 75° − sin 75°)² = cos² 75° − 2 sin 75° cos 75° + sin² 75° = 1 − sin 150° = 1 − 1/2 = 1/2. Ответ: 1/2.
2) cos² 15° − sin² 15° = cos 30° = √3/2. Ответ: √3/2.
3) 2 tg 15°/(1 − tg² 15°) = tg 30° = √3/3. Ответ: √3/3.
4) (cos 75° − sin 75°)² = cos² 75° − 2 sin 75° cos 75° + sin² 75° = 1 − sin 150° = 1 − 1/2 = 1/2. Ответ: 1/2.
501. Вычислить, не используя калькулятор:
1) 2 sin π/8 · cos π/8;
2) cos² π/8 − sin² π/8;
3) 2 tg π/8/(1 − tg² π/8);
4) √2/2 − (cos π/8 + sin π/8)².
1) 2 sin π/8 · cos π/8;
2) cos² π/8 − sin² π/8;
3) 2 tg π/8/(1 − tg² π/8);
4) √2/2 − (cos π/8 + sin π/8)².
1) 2 sin(π/8) cos(π/8) = sin(π/4) = √2/2. Ответ: √2/2.
2) cos²(π/8) − sin²(π/8) = cos(π/4) = √2/2. Ответ: √2/2.
3) 2 tg(π/8)/(1 − tg²(π/8)) = tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
4) (cos π/8 + sin π/8)² = 1 + 2 sin(π/8) cos(π/8) = 1 + sin(π/4) = 1 + √2/2. Тогда √2/2 − 1 − √2/2 = −1. Ответ: −1.
2) cos²(π/8) − sin²(π/8) = cos(π/4) = √2/2. Ответ: √2/2.
3) 2 tg(π/8)/(1 − tg²(π/8)) = tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
4) (cos π/8 + sin π/8)² = 1 + 2 sin(π/8) cos(π/8) = 1 + sin(π/4) = 1 + √2/2. Тогда √2/2 − 1 − √2/2 = −1. Ответ: −1.