Глава V. § 28. Формулы сложения — с. 147
485. Найти значение выражения:
1) sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°;
2) sin 73° cos 13° − cos 73° sin 13°;
3) sin 5π/12 cos π/12 + sin π/12 cos 5π/12;
4) sin 7π/12 cos π/12 − sin π/12 cos 7π/12.
1) sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°;
2) sin 73° cos 13° − cos 73° sin 13°;
3) sin 5π/12 cos π/12 + sin π/12 cos 5π/12;
4) sin 7π/12 cos π/12 − sin π/12 cos 7π/12.
1) sin(73° + 17°) = sin 90° = 1. Ответ: 1.
2) sin(73° − 13°) = sin 60° = √3/2. Ответ: √3/2.
3) sin(5π/12 + π/12) = sin(π/2) = 1. Ответ: 1.
4) sin(7π/12 − π/12) = sin(π/2) = 1. Ответ: 1.
2) sin(73° − 13°) = sin 60° = √3/2. Ответ: √3/2.
3) sin(5π/12 + π/12) = sin(π/2) = 1. Ответ: 1.
4) sin(7π/12 − π/12) = sin(π/2) = 1. Ответ: 1.
486. Вычислить:
1) sin(α + π/6), если cos α = −3/5 и π < α < 3π/2;
2) sin(π/4 − α), если sin α = √2/3 и π/2 < α < π.
1) sin(α + π/6), если cos α = −3/5 и π < α < 3π/2;
2) sin(π/4 − α), если sin α = √2/3 и π/2 < α < π.
1) Угол α в третьей четверти, sin α < 0: sin α = −√(1 − 9/25) = −4/5. Тогда sin(α + π/6) = sin α cos(π/6) + cos α sin(π/6) = (−4/5)(√3/2) + (−3/5)(1/2) = −(4√3 + 3)/10. Ответ: −(4√3 + 3)/10.
2) Угол α во второй четверти, cos α < 0: cos α = −√(1 − 2/9) = −√7/3. Тогда sin(π/4 − α) = sin(π/4) cos α − cos(π/4) sin α = (√2/2)(−√7/3 − √2/3) = −(√14 + 2)/6. Ответ: −(√14 + 2)/6.
2) Угол α во второй четверти, cos α < 0: cos α = −√(1 − 2/9) = −√7/3. Тогда sin(π/4 − α) = sin(π/4) cos α − cos(π/4) sin α = (√2/2)(−√7/3 − √2/3) = −(√14 + 2)/6. Ответ: −(√14 + 2)/6.
487. Упростить выражение:
1) sin(α + β) + sin(−α) cos(−β);
2) cos(−α) sin(−β) − sin(α − β);
3) cos(π/2 − α) sin(π/2 − β) − sin(α − β);
4) sin(α + β) + sin(π/2 − α) sin(−β).
1) sin(α + β) + sin(−α) cos(−β);
2) cos(−α) sin(−β) − sin(α − β);
3) cos(π/2 − α) sin(π/2 − β) − sin(α − β);
4) sin(α + β) + sin(π/2 − α) sin(−β).
1) sin(α + β) − sin α cos β = sin α cos β + cos α sin β − sin α cos β = cos α sin β. Ответ: cos α sin β.
2) −cos α sin β − (sin α cos β − cos α sin β) = −cos α sin β − sin α cos β + cos α sin β = −sin α cos β. Ответ: −sin α cos β.
3) cos(π/2 − α) = sin α, sin(π/2 − β) = cos β. Выражение: sin α cos β − sin α cos β + cos α sin β = cos α sin β. Ответ: cos α sin β.
4) sin(π/2 − α) = cos α, sin(−β) = −sin β. Выражение: sin α cos β + cos α sin β − cos α sin β = sin α cos β. Ответ: sin α cos β.
2) −cos α sin β − (sin α cos β − cos α sin β) = −cos α sin β − sin α cos β + cos α sin β = −sin α cos β. Ответ: −sin α cos β.
3) cos(π/2 − α) = sin α, sin(π/2 − β) = cos β. Выражение: sin α cos β − sin α cos β + cos α sin β = cos α sin β. Ответ: cos α sin β.
4) sin(π/2 − α) = cos α, sin(−β) = −sin β. Выражение: sin α cos β + cos α sin β − cos α sin β = sin α cos β. Ответ: sin α cos β.
488. Вычислить cos(α + β) и cos(α − β), если sin α = −3/5, 3π/2 < α < 2π, и sin β = 8/17, 0 < β < π/2.
Угол α в четвёртой четверти, cos α > 0: cos α = √(1 − 9/25) = 4/5. Угол β в первой четверти: cos β = √(1 − 64/289) = 15/17.
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β = (4/5)(15/17) − (−3/5)(8/17) = 60/85 + 24/85 = 84/85.
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = 60/85 − 24/85 = 36/85.
Ответ: cos(α + β) = 84/85, cos(α − β) = 36/85.
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β = (4/5)(15/17) − (−3/5)(8/17) = 60/85 + 24/85 = 84/85.
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = 60/85 − 24/85 = 36/85.
Ответ: cos(α + β) = 84/85, cos(α − β) = 36/85.
489. Вычислить sin(α − β), если cos α = −0,8, π/2 < α < π, и sin β = −12/13, π < β < 3π/2.
Угол α во второй четверти, sin α > 0: sin α = √(1 − 0,64) = 0,6. Угол β в третьей четверти, cos β < 0: cos β = −√(1 − 144/169) = −5/13.
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β = 0,6·(−5/13) − (−0,8)(−12/13) = −3/13 − 9,6/13 = −12,6/13 = −63/65.
Ответ: −63/65.
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β = 0,6·(−5/13) − (−0,8)(−12/13) = −3/13 − 9,6/13 = −12,6/13 = −63/65.
Ответ: −63/65.
490. Вычислить tg(α + β), если sin α = 4/5, π/2 < α < π, и cos β = 8/17, 3π/2 < β < 2π.
Угол α во второй четверти: cos α = −3/5, tg α = (4/5)/(−3/5) = −4/3. Угол β в четвёртой четверти: sin β = −15/17, tg β = (−15/17)/(8/17) = −15/8.
tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) = (−4/3 − 15/8)/(1 − (−4/3)(−15/8)) = (−77/24)/(1 − 5/2) = (−77/24)/(−3/2) = 77/36.
Ответ: 77/36.
tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) = (−4/3 − 15/8)/(1 − (−4/3)(−15/8)) = (−77/24)/(1 − 5/2) = (−77/24)/(−3/2) = 77/36.
Ответ: 77/36.
491. Упростить выражение:
1) cos(α − β) − cos(α + β);
2) cos(π/4 + α) cos(π/4 − α) + (1/2) sin² α;
3) cos 3α + sin α sin 2α;
4) cos 2α − cos α cos 3α.
1) cos(α − β) − cos(α + β);
2) cos(π/4 + α) cos(π/4 − α) + (1/2) sin² α;
3) cos 3α + sin α sin 2α;
4) cos 2α − cos α cos 3α.
1) cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β = 2 sin α sin β. Ответ: 2 sin α sin β.
2) cos(π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α), cos(π/4 − α) = (√2/2)(cos α + sin α). Произведение равно (1/2)(cos² α − sin² α). Прибавляем (1/2) sin² α: (1/2) cos² α. Ответ: (1/2) cos² α.
3) cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α. Тогда cos 3α + sin α sin 2α = cos 2α cos α. Ответ: cos 2α cos α.
4) cos 2α = cos(3α − α) = cos 3α cos α + sin 3α sin α. Тогда cos 2α − cos α cos 3α = sin 3α sin α. Ответ: sin 3α sin α.
2) cos(π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α), cos(π/4 − α) = (√2/2)(cos α + sin α). Произведение равно (1/2)(cos² α − sin² α). Прибавляем (1/2) sin² α: (1/2) cos² α. Ответ: (1/2) cos² α.
3) cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α. Тогда cos 3α + sin α sin 2α = cos 2α cos α. Ответ: cos 2α cos α.
4) cos 2α = cos(3α − α) = cos 3α cos α + sin 3α sin α. Тогда cos 2α − cos α cos 3α = sin 3α sin α. Ответ: sin 3α sin α.