Глава V. § 28. Формулы сложения — с. 146
481. С помощью формул сложения вычислить:
1) cos 135°;
2) cos 120°;
3) cos 150°;
4) cos 240°.
1) cos 135°;
2) cos 120°;
3) cos 150°;
4) cos 240°.
1) cos 135° = cos(90° + 45°) = cos 90° cos 45° − sin 90° sin 45° = 0 − √2/2 = −√2/2. Ответ: −√2/2.
2) cos 120° = cos(90° + 30°) = cos 90° cos 30° − sin 90° sin 30° = 0 − 1/2 = −1/2. Ответ: −1/2.
3) cos 150° = cos(90° + 60°) = 0 − sin 60° = −√3/2. Ответ: −√3/2.
4) cos 240° = cos(180° + 60°) = cos 180° cos 60° − sin 180° sin 60° = −1·(1/2) − 0 = −1/2. Ответ: −1/2.
2) cos 120° = cos(90° + 30°) = cos 90° cos 30° − sin 90° sin 30° = 0 − 1/2 = −1/2. Ответ: −1/2.
3) cos 150° = cos(90° + 60°) = 0 − sin 60° = −√3/2. Ответ: −√3/2.
4) cos 240° = cos(180° + 60°) = cos 180° cos 60° − sin 180° sin 60° = −1·(1/2) − 0 = −1/2. Ответ: −1/2.
482. Вычислить, не пользуясь таблицами:
1) cos 57°30′ cos 27°30′ + sin 57°30′ sin 27°30′;
2) cos 19°30′ cos 25°30′ − sin 19°30′ sin 25°30′;
3) cos 7π/9 cos 11π/9 − sin 7π/9 sin 11π/9;
4) cos 8π/7 cos π/7 + sin 8π/7 sin π/7.
1) cos 57°30′ cos 27°30′ + sin 57°30′ sin 27°30′;
2) cos 19°30′ cos 25°30′ − sin 19°30′ sin 25°30′;
3) cos 7π/9 cos 11π/9 − sin 7π/9 sin 11π/9;
4) cos 8π/7 cos π/7 + sin 8π/7 sin π/7.
1) По формуле cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β: cos(57°30′ − 27°30′) = cos 30° = √3/2. Ответ: √3/2.
2) По формуле cos(α + β): cos(19°30′ + 25°30′) = cos 45° = √2/2. Ответ: √2/2.
3) cos(7π/9 + 11π/9) = cos 2π = 1. Ответ: 1.
4) cos(8π/7 − π/7) = cos π = −1. Ответ: −1.
2) По формуле cos(α + β): cos(19°30′ + 25°30′) = cos 45° = √2/2. Ответ: √2/2.
3) cos(7π/9 + 11π/9) = cos 2π = 1. Ответ: 1.
4) cos(8π/7 − π/7) = cos π = −1. Ответ: −1.
483. Вычислить:
1) cos(π/3 + α), если sin α = 1/√3 и 0 < α < π/2;
2) cos(α − π/4), если cos α = −1/3 и π/2 < α < π.
1) cos(π/3 + α), если sin α = 1/√3 и 0 < α < π/2;
2) cos(α − π/4), если cos α = −1/3 и π/2 < α < π.
1) Угол α в первой четверти, cos α > 0: cos α = √(1 − 1/3) = √(2/3) = √6/3. Тогда cos(π/3 + α) = cos(π/3) cos α − sin(π/3) sin α = (1/2)(√6/3) − (√3/2)(1/√3) = √6/6 − 1/2 = (√6 − 3)/6. Ответ: (√6 − 3)/6.
2) Угол α во второй четверти, sin α > 0: sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3. Тогда cos(α − π/4) = cos α cos(π/4) + sin α sin(π/4) = (√2/2)(−1/3 + 2√2/3) = (√2/2)·(2√2 − 1)/3 = (4 − √2)/6. Ответ: (4 − √2)/6.
2) Угол α во второй четверти, sin α > 0: sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3. Тогда cos(α − π/4) = cos α cos(π/4) + sin α sin(π/4) = (√2/2)(−1/3 + 2√2/3) = (√2/2)·(2√2 − 1)/3 = (4 − √2)/6. Ответ: (4 − √2)/6.
484. Упростить выражение:
1) cos 3α cos α − sin α sin 3α;
2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β;
3) cos(π/7 + α) cos(5π/14 − α) − sin(π/7 + α) sin(5π/14 − α);
4) cos(7π/5 + α) cos(2π/5 + α) + sin(7π/5 + α) sin(2π/5 + α).
1) cos 3α cos α − sin α sin 3α;
2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β;
3) cos(π/7 + α) cos(5π/14 − α) − sin(π/7 + α) sin(5π/14 − α);
4) cos(7π/5 + α) cos(2π/5 + α) + sin(7π/5 + α) sin(2π/5 + α).
1) cos 3α cos α − sin 3α sin α = cos(3α + α) = cos 4α. Ответ: cos 4α.
2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β) = cos 3β. Ответ: cos 3β.
3) Выражение равно cos((π/7 + α) + (5π/14 − α)) = cos(2π/14 + 5π/14) = cos(π/2) = 0. Ответ: 0.
4) Выражение равно cos((7π/5 + α) − (2π/5 + α)) = cos π = −1. Ответ: −1.
2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β) = cos 3β. Ответ: cos 3β.
3) Выражение равно cos((π/7 + α) + (5π/14 − α)) = cos(2π/14 + 5π/14) = cos(π/2) = 0. Ответ: 0.
4) Выражение равно cos((7π/5 + α) − (2π/5 + α)) = cos π = −1. Ответ: −1.