Глава V. § 28. Формулы сложения — с. 148
492. Доказать тождество:
1) sin(α + β)/sin(α − β) = (tg α + tg β)/(tg α − tg β);
2) cos(α − β)/cos(α + β) = (ctg α · ctg β + 1)/(ctg α · ctg β − 1);
3) cos(π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α);
4) cos(α + β)/(cos α sin β) = ctg β − tg α;
5) cos α cos β = (1/2)(cos(α + β) + cos(α − β));
6) sin α sin β = (1/2)(cos(α − β) − cos(α + β)).
1) sin(α + β)/sin(α − β) = (tg α + tg β)/(tg α − tg β);
2) cos(α − β)/cos(α + β) = (ctg α · ctg β + 1)/(ctg α · ctg β − 1);
3) cos(π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α);
4) cos(α + β)/(cos α sin β) = ctg β − tg α;
5) cos α cos β = (1/2)(cos(α + β) + cos(α − β));
6) sin α sin β = (1/2)(cos(α − β) − cos(α + β)).
1) Левая часть: (sin α cos β + cos α sin β)/(sin α cos β − cos α sin β). Делим числитель и знаменатель на cos α cos β: (tg α + tg β)/(tg α − tg β). Тождество доказано.
2) Левая часть: (cos α cos β + sin α sin β)/(cos α cos β − sin α sin β). Делим числитель и знаменатель на sin α sin β: (ctg α ctg β + 1)/(ctg α ctg β − 1). Тождество доказано.
3) cos(π/4 + α) = cos(π/4) cos α − sin(π/4) sin α = (√2/2) cos α − (√2/2) sin α = (√2/2)(cos α − sin α). Тождество доказано.
4) (cos α cos β − sin α sin β)/(cos α sin β) = cos β/sin β − sin α/cos α = ctg β − tg α. Тождество доказано.
5) cos(α + β) + cos(α − β) = (cos α cos β − sin α sin β) + (cos α cos β + sin α sin β) = 2 cos α cos β. Половина этой суммы равна cos α cos β. Тождество доказано.
6) cos(α − β) − cos(α + β) = (cos α cos β + sin α sin β) − (cos α cos β − sin α sin β) = 2 sin α sin β. Половина разности равна sin α sin β. Тождество доказано.
2) Левая часть: (cos α cos β + sin α sin β)/(cos α cos β − sin α sin β). Делим числитель и знаменатель на sin α sin β: (ctg α ctg β + 1)/(ctg α ctg β − 1). Тождество доказано.
3) cos(π/4 + α) = cos(π/4) cos α − sin(π/4) sin α = (√2/2) cos α − (√2/2) sin α = (√2/2)(cos α − sin α). Тождество доказано.
4) (cos α cos β − sin α sin β)/(cos α sin β) = cos β/sin β − sin α/cos α = ctg β − tg α. Тождество доказано.
5) cos(α + β) + cos(α − β) = (cos α cos β − sin α sin β) + (cos α cos β + sin α sin β) = 2 cos α cos β. Половина этой суммы равна cos α cos β. Тождество доказано.
6) cos(α − β) − cos(α + β) = (cos α cos β + sin α sin β) − (cos α cos β − sin α sin β) = 2 sin α sin β. Половина разности равна sin α sin β. Тождество доказано.
493. Вычислить:
1) (tg 29° + tg 31°)/(1 − tg 29° tg 31°);
2) (tg 7π/16 − tg 3π/16)/(1 + tg 7π/16 tg 3π/16);
3) (1 + tg 10° tg 55°)/(tg 55° − tg 10°);
4) (1 − tg 13° tg 17°)/(tg 17° + tg 13°).
1) (tg 29° + tg 31°)/(1 − tg 29° tg 31°);
2) (tg 7π/16 − tg 3π/16)/(1 + tg 7π/16 tg 3π/16);
3) (1 + tg 10° tg 55°)/(tg 55° − tg 10°);
4) (1 − tg 13° tg 17°)/(tg 17° + tg 13°).
1) Это tg(29° + 31°) = tg 60° = √3. Ответ: √3.
2) Это tg(7π/16 − 3π/16) = tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
3) Выражение обратно к tg(55° − 10°) = (tg 55° − tg 10°)/(1 + tg 55° tg 10°), то есть равно ctg 45° = 1. Ответ: 1.
4) Выражение обратно к tg(13° + 17°) = tg 30°, то есть равно ctg 30° = √3. Ответ: √3.
2) Это tg(7π/16 − 3π/16) = tg(π/4) = 1. Ответ: 1.
3) Выражение обратно к tg(55° − 10°) = (tg 55° − tg 10°)/(1 + tg 55° tg 10°), то есть равно ctg 45° = 1. Ответ: 1.
4) Выражение обратно к tg(13° + 17°) = tg 30°, то есть равно ctg 30° = √3. Ответ: √3.
494. Вычислить:
1) tg(α + β), если tg α = −3/4 и tg β = 2,4;
2) ctg(α − β), если ctg α = 4/3 и ctg β = −1.
1) tg(α + β), если tg α = −3/4 и tg β = 2,4;
2) ctg(α − β), если ctg α = 4/3 и ctg β = −1.
1) tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) = (−0,75 + 2,4)/(1 + 0,75·2,4) = 1,65/2,8 = 33/56. Ответ: 33/56.
2) ctg(α − β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β − ctg α) = ((4/3)(−1) + 1)/(−1 − 4/3) = (−1/3)/(−7/3) = 1/7. Ответ: 1/7.
2) ctg(α − β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β − ctg α) = ((4/3)(−1) + 1)/(−1 − 4/3) = (−1/3)/(−7/3) = 1/7. Ответ: 1/7.
495. Упростить выражение (sin(π/6 + α) − cos(π/3 + α))/(sin(π/6 + α) + cos(π/3 + α)).
Раскроем по формулам сложения: sin(π/6 + α) = (1/2) cos α + (√3/2) sin α; cos(π/3 + α) = (1/2) cos α − (√3/2) sin α.
Числитель: √3 sin α. Знаменатель: cos α.
Ответ: √3 tg α (при cos α ≠ 0).
Числитель: √3 sin α. Знаменатель: cos α.
Ответ: √3 tg α (при cos α ≠ 0).
496. Упростить выражение:
1) sin α cos 2α + sin 2α cos α;
2) sin 5β cos 3β − sin 3β cos 5β.
1) sin α cos 2α + sin 2α cos α;
2) sin 5β cos 3β − sin 3β cos 5β.
1) sin(α + 2α) = sin 3α. Ответ: sin 3α.
2) sin(5β − 3β) = sin 2β. Ответ: sin 2β.
2) sin(5β − 3β) = sin 2β. Ответ: sin 2β.
497. Решить уравнение:
1) cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = −1;
2) sin 3x cos 5x − sin 5x cos 3x = −1;
3) √2 cos(π/4 + x) − cos x = 1;
4) √2 sin(π/4 − x/2) + sin(x/2) = 1.
1) cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = −1;
2) sin 3x cos 5x − sin 5x cos 3x = −1;
3) √2 cos(π/4 + x) − cos x = 1;
4) √2 sin(π/4 − x/2) + sin(x/2) = 1.
1) Левая часть равна cos(6x − 5x) = cos x. Уравнение cos x = −1, x = π + 2πn, n ∈ Z.
2) Левая часть равна sin(3x − 5x) = −sin 2x. Тогда sin 2x = 1, 2x = π/2 + 2πn, x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3) √2 cos(π/4 + x) = √2((√2/2) cos x − (√2/2) sin x) = cos x − sin x. Уравнение: cos x − sin x − cos x = 1, то есть sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) √2 sin(π/4 − x/2) = √2((√2/2) cos(x/2) − (√2/2) sin(x/2)) = cos(x/2) − sin(x/2). Уравнение: cos(x/2) − sin(x/2) + sin(x/2) = 1, то есть cos(x/2) = 1, x/2 = 2πn, x = 4πn, n ∈ Z.
2) Левая часть равна sin(3x − 5x) = −sin 2x. Тогда sin 2x = 1, 2x = π/2 + 2πn, x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3) √2 cos(π/4 + x) = √2((√2/2) cos x − (√2/2) sin x) = cos x − sin x. Уравнение: cos x − sin x − cos x = 1, то есть sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
4) √2 sin(π/4 − x/2) = √2((√2/2) cos(x/2) − (√2/2) sin(x/2)) = cos(x/2) − sin(x/2). Уравнение: cos(x/2) − sin(x/2) + sin(x/2) = 1, то есть cos(x/2) = 1, x/2 = 2πn, x = 4πn, n ∈ Z.