Упражнения 475–480 — Глава V. § 27. Синус, косинус и тангенс углов α…

Используем чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса, котангенса.
1) cos(−π/6) = √3/2, sin(−π/3) = −√3/2, tg(−π/4) = −1. Получаем (√3/2)·(−√3/2) − 1 = −3/4 − 1 = −7/4. Ответ: −7/4.
2) tg²(−π/6) = 1/3, ctg²(−π/6) = 3. Получаем (1 + 1/3)/(1 + 3) = (4/3)/4 = 1/3. Ответ: 1/3.
3) 2 sin(−π/6) cos(−π/6) = 2·(−1/2)·(√3/2) = −√3/2; tg(−π/3) = −√3; sin²(−π/4) = 1/2. Сумма: −√3/2 − √3 + 1/2 = (1 − 3√3)/2. Ответ: (1 − 3√3)/2.
4) cos(−π) = −1; ctg(−π/2) = 0; sin(−3π/2) = −sin(3π/2) = 1; ctg(−π/4) = −1. Получаем −1 + 0 − 1 − 1 = −3. Ответ: −3.
5) Числитель: 3 − (sin²(π/3) + cos²(π/3)) = 3 − 1 = 2. Знаменатель: 2 cos(π/4) = √2. Получаем 2/√2 = √2. Ответ: √2.
6) 2 sin(−π/6) = −1; tg(−π) = 0; cos(3π/2) = 0. Получаем −1 + 3 + 0 + 0 = 2. Ответ: 2.

1) tg(−α) cos α + sin α = −tg α cos α + sin α = −sin α + sin α = 0. Ответ: 0.
2) cos α − ctg α·(−sin α) = cos α + (cos α/sin α)·sin α = cos α + cos α = 2 cos α. Ответ: 2 cos α.
3) cos(−α) + sin(−α) = cos α − sin α; cos² α − sin² α = (cos α − sin α)(cos α + sin α). После сокращения получаем 1/(cos α + sin α) (при cos α ≠ ± sin α). Ответ: 1/(cos α + sin α).
4) tg(−α) ctg(−α) = (−tg α)(−ctg α) = 1; cos²(−α) = cos² α. Получаем 1 + cos² α + sin² α = 1 + 1 = 2. Ответ: 2.

1) sin²(−π/6) = 1/4, cos²(−π/3) = 1/4, значит числитель равен 2 − 1/4 + 1/4 = 2. Знаменатель: 2·(1/2) + (−1/2) = 1/2. Получаем 2 : 1/2 = 4. Ответ: 4.
2) √3·(−√3/2) = −3/2; −2·ctg(−π/4) = −2·(−1) = 2; 4 cos(−3π/2) = 4 cos(3π/2) = 0. Получаем −3/2 + 2 + 0 = 1/2. Ответ: 1/2.

1) sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α. Выражение равно (cos³ α − sin³ α)/(1 + sin α cos α). По формуле разности кубов cos³ α − sin³ α = (cos α − sin α)(cos² α + cos α sin α + sin² α) = (cos α − sin α)(1 + sin α cos α). После сокращения получаем cos α − sin α. Ответ: cos α − sin α.
2) Числитель: 1 − (sin α + cos α)² = 1 − 1 − 2 sin α cos α = −2 sin α cos α. Знаменатель: −sin(−α) = sin α. Получаем −2 sin α cos α / sin α = −2 cos α (sin α ≠ 0). Ответ: −2 cos α.

1) sin(6π − α) = −sin α. 1 + ctg²(−α) = 1 + ctg² α = 1/sin² α. Левая часть: cos α·(−sin α)/sin² α = −cos α/sin α = −ctg α = ctg(−α). Правая часть равна ей. Тождество доказано.
2) 1 − sin²(−α) = 1 − sin² α = cos² α; cos(4π − α) = cos α; sin(α − 2π) = sin α; 1 − cos²(−α) = sin² α. Левая часть: (cos² α/cos α)·(sin α/sin² α) = cos α·(1/sin α) = ctg α. Тождество доказано.

1) −sin x = 1, sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) cos 2x = 0, 2x = π/2 + πn, x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
3) cos 2x = 1, 2x = 2πn, x = πn, n ∈ Z.
4) −sin 2x = 0, sin 2x = 0, 2x = πn, x = πn/2, n ∈ Z.
5) cos² x − sin x = 2 − sin² x. Заменяем cos² x = 1 − sin² x: 1 − sin² x − sin x = 2 − sin² x, откуда −sin x = 1, sin x = −1, x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z.
6) 1 − sin² x + cos x = cos x, откуда cos² x = 0, cos x = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z.