Глава V. § 26. Тригонометрические тождества — с. 140
465. Доказать тождество:
1) (1 − cos α)(1 + cos α) = sin²α;
2) (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α;
3) sin²α/(1 − sin²α) = tg²α;
4) cos²α/(1 − cos²α) = ctg²α;
5) 1/(1 + tg²α) + sin²α = 1;
6) 1/(1 + ctg²α) + cos²α = 1.
1) (1 − cos α)(1 + cos α) = sin²α;
2) (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α;
3) sin²α/(1 − sin²α) = tg²α;
4) cos²α/(1 − cos²α) = ctg²α;
5) 1/(1 + tg²α) + sin²α = 1;
6) 1/(1 + ctg²α) + cos²α = 1.
1) (1 − cos α)(1 + cos α) = 1 − cos²α = sin²α.
2) (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin²α = cos²α.
3) 1 − sin²α = cos²α, поэтому sin²α/cos²α = tg²α (при cos α ≠ 0).
4) 1 − cos²α = sin²α, поэтому cos²α/sin²α = ctg²α (при sin α ≠ 0).
5) 1 + tg²α = 1/cos²α, поэтому 1/(1 + tg²α) = cos²α, и cos²α + sin²α = 1.
6) 1 + ctg²α = 1/sin²α, поэтому 1/(1 + ctg²α) = sin²α, и sin²α + cos²α = 1.
Тождества доказаны.
2) (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin²α = cos²α.
3) 1 − sin²α = cos²α, поэтому sin²α/cos²α = tg²α (при cos α ≠ 0).
4) 1 − cos²α = sin²α, поэтому cos²α/sin²α = ctg²α (при sin α ≠ 0).
5) 1 + tg²α = 1/cos²α, поэтому 1/(1 + tg²α) = cos²α, и cos²α + sin²α = 1.
6) 1 + ctg²α = 1/sin²α, поэтому 1/(1 + ctg²α) = sin²α, и sin²α + cos²α = 1.
Тождества доказаны.
466. Упростить выражение:
1) cos α · tg α − 2 sin α; 2) cos α − sin α · ctg α;
3) sin²α/(1 + cos α); 4) cos²α/(1 − sin α).
1) cos α · tg α − 2 sin α; 2) cos α − sin α · ctg α;
3) sin²α/(1 + cos α); 4) cos²α/(1 − sin α).
1) cos α · (sin α / cos α) − 2 sin α = sin α − 2 sin α = −sin α.
2) cos α − sin α · (cos α / sin α) = cos α − cos α = 0.
3) sin²α = 1 − cos²α = (1 − cos α)(1 + cos α), поэтому дробь равна 1 − cos α.
4) cos²α = 1 − sin²α = (1 − sin α)(1 + sin α), поэтому дробь равна 1 + sin α.
Ответ: 1) −sin α; 2) 0; 3) 1 − cos α; 4) 1 + sin α.
2) cos α − sin α · (cos α / sin α) = cos α − cos α = 0.
3) sin²α = 1 − cos²α = (1 − cos α)(1 + cos α), поэтому дробь равна 1 − cos α.
4) cos²α = 1 − sin²α = (1 − sin α)(1 + sin α), поэтому дробь равна 1 + sin α.
Ответ: 1) −sin α; 2) 0; 3) 1 − cos α; 4) 1 + sin α.