Глава V. § 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла — с. 138
458. Вычислить:
1) sin α, tg α и ctg α, если cos α = −3/5 и π/2 < α < π;
2) cos α, tg α и ctg α, если sin α = −2/5 и π < α < 3π/2.
1) sin α, tg α и ctg α, если cos α = −3/5 и π/2 < α < π;
2) cos α, tg α и ctg α, если sin α = −2/5 и π < α < 3π/2.
1) Во II четверти sin α > 0: sin α = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. tg α = sin α / cos α = (4/5) : (−3/5) = −4/3. ctg α = 1/tg α = −3/4.
2) В III четверти cos α < 0: cos α = −√(1 − 4/25) = −√21/5. tg α = (−2/5) : (−√21/5) = 2/√21 = 2√21/21. ctg α = √21/2.
Ответ: 1) 4/5; −4/3; −3/4. 2) −√21/5; 2√21/21; √21/2.
2) В III четверти cos α < 0: cos α = −√(1 − 4/25) = −√21/5. tg α = (−2/5) : (−√21/5) = 2/√21 = 2√21/21. ctg α = √21/2.
Ответ: 1) 4/5; −4/3; −3/4. 2) −√21/5; 2√21/21; √21/2.
459. По значению одной из тригонометрических функций (sin α, cos α, tg α, ctg α) найти значения остальных трёх:
1) cos α = 5/13 и (3/2)π < α < 2π; 2) sin α = 0,8 и π/2 < α < π;
3) tg α = 15/8 и π < α < (3/2)π; 4) ctg α = −3 и (3π/2) < α < 2π;
5) cos α = 0,8 и 0 < α < π/2; 6) sin α = −5/13 и (3π/2) < α < 2π;
7) tg α = −2,4 и π/2 < α < π; 8) ctg α = 7/24 и π < α < (3π/2).
1) cos α = 5/13 и (3/2)π < α < 2π; 2) sin α = 0,8 и π/2 < α < π;
3) tg α = 15/8 и π < α < (3/2)π; 4) ctg α = −3 и (3π/2) < α < 2π;
5) cos α = 0,8 и 0 < α < π/2; 6) sin α = −5/13 и (3π/2) < α < 2π;
7) tg α = −2,4 и π/2 < α < π; 8) ctg α = 7/24 и π < α < (3π/2).
1) IV четверть, sin α < 0: sin α = −√(1 − 25/169) = −12/13. tg α = −12/5, ctg α = −5/12.
2) II четверть, cos α < 0: cos α = −√(1 − 0,64) = −0,6. tg α = 0,8 : (−0,6) = −4/3, ctg α = −3/4.
3) III четверть. ctg α = 8/15. cos²α = 1/(1 + tg²α) = 1/(1 + 225/64) = 64/289, cos α < 0, значит cos α = −8/17. sin α = tg α · cos α = (15/8)(−8/17) = −15/17.
4) IV четверть. tg α = −1/3. sin²α = 1/(1 + ctg²α) = 1/10, sin α < 0: sin α = −1/√10 = −√10/10. cos α = ctg α · sin α = (−3)(−√10/10) = 3√10/10.
5) I четверть: sin α = √(1 − 0,64) = 0,6. tg α = 0,6/0,8 = 3/4, ctg α = 4/3.
6) IV четверть, cos α > 0: cos α = √(1 − 25/169) = 12/13. tg α = (−5/13)/(12/13) = −5/12, ctg α = −12/5.
7) II четверть. tg α = −12/5, ctg α = −5/12. cos²α = 1/(1 + 144/25) = 25/169, cos α < 0: cos α = −5/13. sin α = tg α · cos α = (−12/5)(−5/13) = 12/13.
8) III четверть. tg α = 24/7. sin²α = 1/(1 + 49/576) = 576/625, sin α < 0: sin α = −24/25. cos α = ctg α · sin α = (7/24)(−24/25) = −7/25.
2) II четверть, cos α < 0: cos α = −√(1 − 0,64) = −0,6. tg α = 0,8 : (−0,6) = −4/3, ctg α = −3/4.
3) III четверть. ctg α = 8/15. cos²α = 1/(1 + tg²α) = 1/(1 + 225/64) = 64/289, cos α < 0, значит cos α = −8/17. sin α = tg α · cos α = (15/8)(−8/17) = −15/17.
4) IV четверть. tg α = −1/3. sin²α = 1/(1 + ctg²α) = 1/10, sin α < 0: sin α = −1/√10 = −√10/10. cos α = ctg α · sin α = (−3)(−√10/10) = 3√10/10.
5) I четверть: sin α = √(1 − 0,64) = 0,6. tg α = 0,6/0,8 = 3/4, ctg α = 4/3.
6) IV четверть, cos α > 0: cos α = √(1 − 25/169) = 12/13. tg α = (−5/13)/(12/13) = −5/12, ctg α = −12/5.
7) II четверть. tg α = −12/5, ctg α = −5/12. cos²α = 1/(1 + 144/25) = 25/169, cos α < 0: cos α = −5/13. sin α = tg α · cos α = (−12/5)(−5/13) = 12/13.
8) III четверть. tg α = 24/7. sin²α = 1/(1 + 49/576) = 576/625, sin α < 0: sin α = −24/25. cos α = ctg α · sin α = (7/24)(−24/25) = −7/25.
460. Какие значения может принимать:
1) cos α, если sin α = 2√3/5;
2) sin α, если cos α = −1/√5;
3) sin α, если cos α = 2/3;
4) cos α, если sin α = −1/√3?
1) cos α, если sin α = 2√3/5;
2) sin α, если cos α = −1/√5;
3) sin α, если cos α = 2/3;
4) cos α, если sin α = −1/√3?
Используем sin²α + cos²α = 1; знак не задан, поэтому возможны оба.
1) cos²α = 1 − 12/25 = 13/25, cos α = ±√13/5.
2) sin²α = 1 − 1/5 = 4/5, sin α = ±2/√5 = ±2√5/5.
3) sin²α = 1 − 4/9 = 5/9, sin α = ±√5/3.
4) cos²α = 1 − 1/3 = 2/3, cos α = ±√(2/3) = ±√6/3.
1) cos²α = 1 − 12/25 = 13/25, cos α = ±√13/5.
2) sin²α = 1 − 1/5 = 4/5, sin α = ±2/√5 = ±2√5/5.
3) sin²α = 1 − 4/9 = 5/9, sin α = ±√5/3.
4) cos²α = 1 − 1/3 = 2/3, cos α = ±√(2/3) = ±√6/3.
461. Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin α = 1/5 и tg α = 1/√24; 2) ctg α = √7/3 и cos α = 3/4?
1) sin α = 1/5 и tg α = 1/√24; 2) ctg α = √7/3 и cos α = 3/4?
1) Если tg α = sin α / cos α, то cos α = sin α / tg α = (1/5) · √24 = √24/5. Проверка: sin²α + cos²α = 1/25 + 24/25 = 1. Равенство выполняется (например, при α в I четверти), значит, могут.
2) Из 1 + ctg²α = 1/sin²α: 1 + 7/9 = 16/9, поэтому sin²α = 9/16, а cos²α = 1 − 9/16 = 7/16. Но по условию cos²α = (3/4)² = 9/16 ≠ 7/16. Значит, не могут.
2) Из 1 + ctg²α = 1/sin²α: 1 + 7/9 = 16/9, поэтому sin²α = 9/16, а cos²α = 1 − 9/16 = 7/16. Но по условию cos²α = (3/4)² = 9/16 ≠ 7/16. Значит, не могут.
462. Пусть α — один из углов прямоугольного треугольника. Найти cos α и tg α, если sin α = 2√10/11.
Угол α острый (в прямоугольном треугольнике), поэтому cos α > 0: cos²α = 1 − 40/121 = 81/121, cos α = 9/11. tg α = sin α / cos α = (2√10/11) : (9/11) = 2√10/9.
Ответ: cos α = 9/11, tg α = 2√10/9.
Ответ: cos α = 9/11, tg α = 2√10/9.
463. Известно, что tg α = 2. Найти значение выражения:
1) (ctg α + tg α)/(ctg α − tg α); 2. (sin α − cos α)/(sin α + cos α);
3) (2 sin α + 3 cos α)/(3 sin α − 5 cos α); 4. (sin²α + 2 cos²α)/(sin²α − cos²α).
1) (ctg α + tg α)/(ctg α − tg α); 2. (sin α − cos α)/(sin α + cos α);
3) (2 sin α + 3 cos α)/(3 sin α − 5 cos α); 4. (sin²α + 2 cos²α)/(sin²α − cos²α).
Так как tg α определён, cos α ≠ 0; ctg α = 1/2.
1) (1/2 + 2)/(1/2 − 2) = (5/2)/(−3/2) = −5/3.
2) Делим числитель и знаменатель на cos α: (tg α − 1)/(tg α + 1) = (2 − 1)/(2 + 1) = 1/3.
3) Делим на cos α: (2 tg α + 3)/(3 tg α − 5) = (4 + 3)/(6 − 5) = 7.
4) Делим на cos²α: (tg²α + 2)/(tg²α − 1) = (4 + 2)/(4 − 1) = 2.
Ответ: 1) −5/3; 2) 1/3; 3) 7; 4) 2.
1) (1/2 + 2)/(1/2 − 2) = (5/2)/(−3/2) = −5/3.
2) Делим числитель и знаменатель на cos α: (tg α − 1)/(tg α + 1) = (2 − 1)/(2 + 1) = 1/3.
3) Делим на cos α: (2 tg α + 3)/(3 tg α − 5) = (4 + 3)/(6 − 5) = 7.
4) Делим на cos²α: (tg²α + 2)/(tg²α − 1) = (4 + 2)/(4 − 1) = 2.
Ответ: 1) −5/3; 2) 1/3; 3) 7; 4) 2.
464. Известно, что sin α + cos α = 1/2. Найти:
1) sin α · cos α; 2) sin³α + cos³α.
1) sin α · cos α; 2) sin³α + cos³α.
1) Возведём в квадрат: sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1/4, то есть 1 + 2 sin α cos α = 1/4, откуда sin α cos α = −3/8.
2) sin³α + cos³α = (sin α + cos α)(sin²α − sin α cos α + cos²α) = (1/2)(1 + 3/8) = (1/2)(11/8) = 11/16.
Ответ: 1) −3/8; 2) 11/16.
2) sin³α + cos³α = (sin α + cos α)(sin²α − sin α cos α + cos²α) = (1/2)(1 + 3/8) = (1/2)(11/8) = 11/16.
Ответ: 1) −3/8; 2) 11/16.