Глава V. § 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса — с. 135
454. Решить уравнение:
1) sin(5π + x) = 1; 2) cos(x + 3π) = 0; 3) cos((5/2)π + x) = −1; 4) sin((9/2)π + x) = −1.
1) sin(5π + x) = 1; 2) cos(x + 3π) = 0; 3) cos((5/2)π + x) = −1; 4) sin((9/2)π + x) = −1.
1) sin t = 1 при t = π/2 + 2πn. Значит, 5π + x = π/2 + 2πn, x = π/2 − 5π + 2πn = −9π/2 + 2πn. Так как −9π/2 = −π/2 − 4π, запишем x = −π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) cos t = 0 при t = π/2 + πn. x + 3π = π/2 + πn, x = π/2 − 3π + πn = −5π/2 + πn, то есть x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) cos t = −1 при t = π + 2πn. 5π/2 + x = π + 2πn, x = −3π/2 + 2πn, то есть x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
4) sin t = −1 при t = −π/2 + 2πn. 9π/2 + x = −π/2 + 2πn, x = −5π + 2πn, то есть x = π + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: 1) −π/2 + 2πk; 2) π/2 + πk; 3) π/2 + 2πk; 4) π + 2πk, k ∈ Z.
2) cos t = 0 при t = π/2 + πn. x + 3π = π/2 + πn, x = π/2 − 3π + πn = −5π/2 + πn, то есть x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) cos t = −1 при t = π + 2πn. 5π/2 + x = π + 2πn, x = −3π/2 + 2πn, то есть x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
4) sin t = −1 при t = −π/2 + 2πn. 9π/2 + x = −π/2 + 2πn, x = −5π + 2πn, то есть x = π + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: 1) −π/2 + 2πk; 2) π/2 + πk; 3) π/2 + 2πk; 4) π + 2πk, k ∈ Z.
455. В какой четверти находится точка, соответствующая числу α, если:
1) sin α + cos α = −1,4; 2) sin α − cos α = 1,4?
1) sin α + cos α = −1,4; 2) sin α − cos α = 1,4?
1) Возведём равенство в квадрат: sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1,96, откуда 1 + 2 sin α cos α = 1,96 и sin α cos α = 0,48 > 0. Значит, sin α и cos α одного знака. Их сумма отрицательна, поэтому оба отрицательны: III четверть.
2) Возведём в квадрат: 1 − 2 sin α cos α = 1,96, откуда sin α cos α = −0,48 < 0. Значит, знаки разные. Разность sin α − cos α = 1,4 положительна, поэтому sin α > 0, cos α < 0: II четверть.
Ответ: 1. III четверть; 2. II четверть.
2) Возведём в квадрат: 1 − 2 sin α cos α = 1,96, откуда sin α cos α = −0,48 < 0. Значит, знаки разные. Разность sin α − cos α = 1,4 положительна, поэтому sin α > 0, cos α < 0: II четверть.
Ответ: 1. III четверть; 2. II четверть.