Упражнения 443–453, стр. 134 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 443–453 — Глава V. § 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Страница 134 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава V. § 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса — с. 134

443. Пусть 0 < α < π/2. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P(1; 0) на угол:
1) π/2 − α; 2) α − π; 3) 3π/2 − α; 4) π/2 + α; 5) α − π/2; 6) π − α?
Из 0 < α < π/2 получаем оценки каждого угла.
1) 0 < π/2 − α < π/2 — I четверть.
2) −π < α − π < −π/2 — III четверть.
3) π < 3π/2 − α < 3π/2 — III четверть.
4) π/2 < π/2 + α < π — II четверть.
5) −π/2 < α − π/2 < 0 — IV четверть.
6) π/2 < π − α < π — II четверть.
444. Определить знак числа sin α, если:
1) α = 5π/4; 2) α = −33π/7; 3) α = −(4/3)π; 4) α = −0,1π; 5) α = 5,1; 6) α = −470°.
Синус положителен в I и II четвертях, отрицателен в III и IV.
1) π < 5π/4 < 3π/2 — III четверть, sin α < 0.
2) −33π/7 + 6π = 9π/7, π < 9π/7 < 3π/2 — III четверть, sin α < 0.
3) −4π/3 + 2π = 2π/3 — II четверть, sin α > 0.
4) −0,1π ∈ (−π/2; 0) — IV четверть, sin α < 0.
5) 3π/2 ≈ 4,71 < 5,1 < 2π ≈ 6,28 — IV четверть, sin α < 0.
6) −470° + 720° = 250°, 180° < 250° < 270° — III четверть, sin α < 0.
445. Определить знак числа cos α, если:
1) α = (2/3)π; 2) α = (7/6)π; 3) α = −(2/5)π; 4) α = 4,6; 5) α = −5,3; 6) α = −150°.
Косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.
1) π/2 < 2π/3 < π — II четверть, cos α < 0.
2) π < 7π/6 < 3π/2 — III четверть, cos α < 0.
3) −π/2 < −2π/5 < 0 — IV четверть, cos α > 0.
4) π ≈ 3,14 < 4,6 < 3π/2 ≈ 4,71 — III четверть, cos α < 0.
5) −5,3 + 2π ≈ 0,98, 0 < 0,98 < π/2 — I четверть, cos α > 0.
6) −150° — поворот по часовой стрелке в III четверть, cos α < 0.
446. Определить знак числа tg α, если:
1) α = (5/6)π; 2) α = (12/5)π; 3) α = −(5/4)π; 4) α = 3,7; 5) α = −1,3; 6) α = 283°.
Тангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV.
1) π/2 < 5π/6 < π — II четверть, tg α < 0.
2) 12π/5 = 2π + 2π/5, 2π/5 < π/2 — I четверть, tg α > 0.
3) −5π/4 + 2π = 3π/4 — II четверть, tg α < 0.
4) π ≈ 3,14 < 3,7 < 4,71 — III четверть, tg α > 0.
5) −π/2 ≈ −1,57 < −1,3 < 0 — IV четверть, tg α < 0.
6) 270° < 283° < 360° — IV четверть, tg α < 0.
447. Определить знаки чисел sin α, cos α, tg α, если:
1) π < α < (3/2)π; 2) (3/2)π < α < 7π/4; 3) 7π/4 < α < 2π; 4) 2π < α < 2,5π.
1) III четверть: sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0.
2) 3π/2 < α < 7π/4 — IV четверть: sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0.
3) 7π/4 < α < 2π — IV четверть: sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0.
4) 2π < α < 2,5π: после полного оборота I четверть (0 < α − 2π < π/2): sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0.
448. Определить знаки чисел sin α, cos α, tg α, если:
1) α = 1; 2) α = 3; 3) α = −3,4; 4) α = −1,3.
1) 0 < 1 < π/2 ≈ 1,57 — I четверть: sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0.
2) π/2 < 3 < π ≈ 3,14 — II четверть: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0.
3) −3π/2 ≈ −4,71 < −3,4 < −π ≈ −3,14 — после поворота на −π ещё немного по часовой стрелке, II четверть (−3,4 + 2π ≈ 2,88): sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0.
4) −π/2 < −1,3 < 0 — IV четверть: sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0.
449. Пусть 0 < α < π/2. Определить знак числа:
1) sin(π/2 − α); 2) cos(π/2 + α); 3) cos(α − π); 4) tg(α − π/2); 5) tg((3/2)π − α); 6) sin(π − α).
Определяем четверть, в которой лежит угол.
1) 0 < π/2 − α < π/2 — I четверть, sin > 0.
2) π/2 < π/2 + α < π — II четверть, cos < 0.
3) −π < α − π < −π/2 — III четверть, cos < 0.
4) −π/2 < α − π/2 < 0 — IV четверть, tg < 0.
5) π < 3π/2 − α < 3π/2 — III четверть, tg > 0.
6) π/2 < π − α < π — II четверть, sin > 0.
450. Каковы знаки чисел sin α, cos α, tg α, ctg α, если:
1) 3π < α < 10π/3; 2) 5π/2 < α < 11π/4?
1) 3π = π + 2π, 10π/3 = 4π/3 + 2π, значит α − 2π ∈ (π; 4π/3) — III четверть: sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0.
2) 5π/2 = π/2 + 2π, 11π/4 = 3π/4 + 2π, значит α − 2π ∈ (π/2; 3π/4) — II четверть: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0.
451. Найти значения углов α, заключённых в промежутке от 0 до 2π, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.
Знаки синуса и косинуса совпадают в I четверти (оба плюс) и в III четверти (оба минус): 0 < α < π/2 и π < α < 3π/2.
Знаки различны во II четверти (sin > 0, cos < 0) и в IV четверти (sin < 0, cos > 0): π/2 < α < π и 3π/2 < α < 2π.
Граничные углы 0, π/2, π, 3π/2 не подходят: в них синус или косинус равен нулю.
Ответ: совпадают при α ∈ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2); различны при α ∈ (π/2; π) ∪ (3π/2; 2π).
452. Определить знак числа:
1) sin(2π/3) sin(3π/4); 2) cos(2π/3) cos(π/6); 3) tg(5π/4) + sin(π/4).
1) 2π/3 и 3π/4 лежат во II четверти, sin(2π/3) > 0, sin(3π/4) > 0, произведение положительно.
2) 2π/3 — II четверть, cos(2π/3) < 0; π/6 — I четверть, cos(π/6) > 0; произведение отрицательно.
3) 5π/4 — III четверть, tg(5π/4) > 0; π/4 — I четверть, sin(π/4) > 0; сумма положительна.
453. Сравнить значения выражений:
1) sin 0,7 и sin 4; 2) cos 1,3 и cos 2,3.
1) 0 < 0,7 < π/2, поэтому sin 0,7 > 0. Так как π ≈ 3,14 < 4 < 3π/2 ≈ 4,71, угол 4 лежит в III четверти и sin 4 < 0. Следовательно, sin 0,7 > sin 4.
2) 1,3 < π/2 ≈ 1,57, значит cos 1,3 > 0. Угол 2,3 лежит между π/2 и π (II четверть), cos 2,3 < 0. Следовательно, cos 1,3 > cos 2,3.