Глава V. § 26. Тригонометрические тождества — с. 141
467. Упростить выражение и найти его значение:
1) (sin²α − 1)/(1 − cos²α) при α = π/4;
2) cos²α + ctg²α + sin²α при α = π/6;
3) 1/cos²α − 1 при α = π/3;
4) cos²α + tg²α ctg²α + sin²α при α = π/3.
1) (sin²α − 1)/(1 − cos²α) при α = π/4;
2) cos²α + ctg²α + sin²α при α = π/6;
3) 1/cos²α − 1 при α = π/3;
4) cos²α + tg²α ctg²α + sin²α при α = π/3.
1) (sin²α − 1)/(1 − cos²α) = −cos²α/sin²α = −ctg²α. При α = π/4: −1² = −1.
2) cos²α + sin²α + ctg²α = 1 + ctg²α = 1/sin²α. При α = π/6: 1/(1/2)² = 4.
3) 1/cos²α − 1 = 1 + tg²α − 1 = tg²α. При α = π/3: (√3)² = 3.
4) tg²α · ctg²α = 1, поэтому выражение равно cos²α + 1 + sin²α = 2 при любом допустимом α, в частности при α = π/3.
Ответ: 1) −1; 2) 4; 3) 3; 4) 2.
2) cos²α + sin²α + ctg²α = 1 + ctg²α = 1/sin²α. При α = π/6: 1/(1/2)² = 4.
3) 1/cos²α − 1 = 1 + tg²α − 1 = tg²α. При α = π/3: (√3)² = 3.
4) tg²α · ctg²α = 1, поэтому выражение равно cos²α + 1 + sin²α = 2 при любом допустимом α, в частности при α = π/3.
Ответ: 1) −1; 2) 4; 3) 3; 4) 2.
468. Доказать тождество:
1) (1 − sin²α)(1 + tg²α) = 1;
2) sin²α(1 + ctg²α) − cos²α = sin²α.
1) (1 − sin²α)(1 + tg²α) = 1;
2) sin²α(1 + ctg²α) − cos²α = sin²α.
1) 1 − sin²α = cos²α, 1 + tg²α = 1/cos²α; произведение cos²α · (1/cos²α) = 1.
2) 1 + ctg²α = 1/sin²α, поэтому sin²α · (1/sin²α) − cos²α = 1 − cos²α = sin²α.
Тождества доказаны.
2) 1 + ctg²α = 1/sin²α, поэтому sin²α · (1/sin²α) − cos²α = 1 − cos²α = sin²α.
Тождества доказаны.
469. Упростить выражение:
1) (1 + tg²α) cos²α − 1; 2) 1 − sin²α (1 + ctg²α);
3) 1 + tg²α + 1/sin²α; 4. (1 + tg²α)/(1 + ctg²α).
1) (1 + tg²α) cos²α − 1; 2) 1 − sin²α (1 + ctg²α);
3) 1 + tg²α + 1/sin²α; 4. (1 + tg²α)/(1 + ctg²α).
1) (1 + tg²α) cos²α = (1/cos²α) · cos²α = 1, поэтому выражение равно 1 − 1 = 0.
2) sin²α (1 + ctg²α) = sin²α · (1/sin²α) = 1, поэтому 1 − 1 = 0.
3) 1 + tg²α = 1/cos²α, значит выражение равно 1/cos²α + 1/sin²α = (sin²α + cos²α)/(sin²α cos²α) = 1/(sin²α cos²α).
4) (1/cos²α) : (1/sin²α) = sin²α/cos²α = tg²α.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 1/(sin²α cos²α); 4) tg²α.
2) sin²α (1 + ctg²α) = sin²α · (1/sin²α) = 1, поэтому 1 − 1 = 0.
3) 1 + tg²α = 1/cos²α, значит выражение равно 1/cos²α + 1/sin²α = (sin²α + cos²α)/(sin²α cos²α) = 1/(sin²α cos²α).
4) (1/cos²α) : (1/sin²α) = sin²α/cos²α = tg²α.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 1/(sin²α cos²α); 4) tg²α.
470. Доказать тождество:
1) (1 − cos 2α)(1 + cos 2α) = sin² 2α;
2) (sin α − 1)/cos²α = −1/(1 + sin α);
3) cos⁴α − sin⁴α = cos²α − sin²α;
4) (sin²α − cos²α)² + 2 cos²α sin²α = sin⁴α + cos⁴α;
5) sin α/(1 + cos α) + (1 + cos α)/sin α = 2/sin α;
6) sin α/(1 − cos α) = (1 + cos α)/sin α;
7) 1/(1 + tg²α) + 1/(1 + ctg²α) = 1;
8) tg²α − sin²α = tg²α sin²α.
1) (1 − cos 2α)(1 + cos 2α) = sin² 2α;
2) (sin α − 1)/cos²α = −1/(1 + sin α);
3) cos⁴α − sin⁴α = cos²α − sin²α;
4) (sin²α − cos²α)² + 2 cos²α sin²α = sin⁴α + cos⁴α;
5) sin α/(1 + cos α) + (1 + cos α)/sin α = 2/sin α;
6) sin α/(1 − cos α) = (1 + cos α)/sin α;
7) 1/(1 + tg²α) + 1/(1 + ctg²α) = 1;
8) tg²α − sin²α = tg²α sin²α.
1) (1 − cos 2α)(1 + cos 2α) = 1 − cos² 2α = sin² 2α.
2) cos²α = 1 − sin²α = (1 − sin α)(1 + sin α). Левая часть: (sin α − 1)/((1 − sin α)(1 + sin α)) = −(1 − sin α)/((1 − sin α)(1 + sin α)) = −1/(1 + sin α). Допустимо sin α ≠ ±1.
3) cos⁴α − sin⁴α = (cos²α − sin²α)(cos²α + sin²α) = cos²α − sin²α.
4) Левая часть: sin⁴α − 2 sin²α cos²α + cos⁴α + 2 sin²α cos²α = sin⁴α + cos⁴α.
5) Приведём к общему знаменателю: (sin²α + (1 + cos α)²)/((1 + cos α) sin α) = (sin²α + 1 + 2 cos α + cos²α)/((1 + cos α) sin α) = (2 + 2 cos α)/((1 + cos α) sin α) = 2(1 + cos α)/((1 + cos α) sin α) = 2/sin α.
6) Равенство пропорции равносильно sin²α = (1 − cos α)(1 + cos α) = 1 − cos²α, что верно. (Допустимо cos α ≠ 1, sin α ≠ 0.)
7) 1/(1 + tg²α) = cos²α, 1/(1 + ctg²α) = sin²α; сумма равна 1.
8) tg²α − sin²α = sin²α/cos²α − sin²α = sin²α (1 − cos²α)/cos²α = sin²α · sin²α/cos²α = sin²α tg²α.
Тождества доказаны.
2) cos²α = 1 − sin²α = (1 − sin α)(1 + sin α). Левая часть: (sin α − 1)/((1 − sin α)(1 + sin α)) = −(1 − sin α)/((1 − sin α)(1 + sin α)) = −1/(1 + sin α). Допустимо sin α ≠ ±1.
3) cos⁴α − sin⁴α = (cos²α − sin²α)(cos²α + sin²α) = cos²α − sin²α.
4) Левая часть: sin⁴α − 2 sin²α cos²α + cos⁴α + 2 sin²α cos²α = sin⁴α + cos⁴α.
5) Приведём к общему знаменателю: (sin²α + (1 + cos α)²)/((1 + cos α) sin α) = (sin²α + 1 + 2 cos α + cos²α)/((1 + cos α) sin α) = (2 + 2 cos α)/((1 + cos α) sin α) = 2(1 + cos α)/((1 + cos α) sin α) = 2/sin α.
6) Равенство пропорции равносильно sin²α = (1 − cos α)(1 + cos α) = 1 − cos²α, что верно. (Допустимо cos α ≠ 1, sin α ≠ 0.)
7) 1/(1 + tg²α) = cos²α, 1/(1 + ctg²α) = sin²α; сумма равна 1.
8) tg²α − sin²α = sin²α/cos²α − sin²α = sin²α (1 − cos²α)/cos²α = sin²α · sin²α/cos²α = sin²α tg²α.
Тождества доказаны.
471. Найти значение выражения sin α cos α, если sin α − cos α = 0,6.
Возведём в квадрат: sin²α − 2 sin α cos α + cos²α = 0,36, то есть 1 − 2 sin α cos α = 0,36. Отсюда 2 sin α cos α = 0,64 и sin α cos α = 0,32.
Ответ: 0,32.
Ответ: 0,32.
472. Найти значение выражения cos³α − sin³α, если cos α − sin α = 0,2.
Из (cos α − sin α)² = 0,04 получаем 1 − 2 sin α cos α = 0,04, откуда sin α cos α = 0,48.
cos³α − sin³α = (cos α − sin α)(cos²α + cos α sin α + sin²α) = 0,2 · (1 + 0,48) = 0,2 · 1,48 = 0,296.
Ответ: 0,296.
cos³α − sin³α = (cos α − sin α)(cos²α + cos α sin α + sin²α) = 0,2 · (1 + 0,48) = 0,2 · 1,48 = 0,296.
Ответ: 0,296.
473. Известно, что tg α + ctg α = 3. Найти tg²α + ctg²α.
Возведём в квадрат: tg²α + 2 tg α ctg α + ctg²α = 9. Так как tg α ctg α = 1, получаем tg²α + ctg²α = 9 − 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7.
474. Решить уравнение:
1) 2 sin x + sin²x + cos²x = 1;
2) 2 sin²x + 3 cos²x − 2 = 0;
3) 3 cos²x − 2 sin x = 3 − 3 sin²x;
4) cos²x − sin²x = 2 sin x − 1 − 2 sin²x.
1) 2 sin x + sin²x + cos²x = 1;
2) 2 sin²x + 3 cos²x − 2 = 0;
3) 3 cos²x − 2 sin x = 3 − 3 sin²x;
4) cos²x − sin²x = 2 sin x − 1 − 2 sin²x.
1) Так как sin²x + cos²x = 1, получаем 2 sin x + 1 = 1, sin x = 0, x = πk, k ∈ Z.
2) 2 sin²x + 2 cos²x + cos²x − 2 = 0, то есть 2 + cos²x − 2 = 0, cos²x = 0, cos x = 0, x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) Перенесём: 3 cos²x + 3 sin²x − 2 sin x = 3, то есть 3 − 2 sin x = 3, sin x = 0, x = πk, k ∈ Z.
4) Перенесём слагаемые: cos²x − sin²x + 2 sin²x = 2 sin x − 1, то есть cos²x + sin²x = 2 sin x − 1, 1 = 2 sin x − 1, sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: 1) πk; 2) π/2 + πk; 3) πk; 4) π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) 2 sin²x + 2 cos²x + cos²x − 2 = 0, то есть 2 + cos²x − 2 = 0, cos²x = 0, cos x = 0, x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) Перенесём: 3 cos²x + 3 sin²x − 2 sin x = 3, то есть 3 − 2 sin x = 3, sin x = 0, x = πk, k ∈ Z.
4) Перенесём слагаемые: cos²x − sin²x + 2 sin²x = 2 sin x − 1, то есть cos²x + sin²x = 2 sin x − 1, 1 = 2 sin x − 1, sin x = 1, x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: 1) πk; 2) π/2 + πk; 3) πk; 4) π/2 + 2πk, k ∈ Z.