Глава V. § 30*. Синус, косинус и тангенс половинного угла — с. 154
513. Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:
1) sin² 15°;
2) cos² 1/4;
3) cos² (π/4 − α);
4) sin² (π/4 + α).
1) sin² 15°;
2) cos² 1/4;
3) cos² (π/4 − α);
4) sin² (π/4 + α).
Используем формулы sin² t = (1 − cos 2t)/2 и cos² t = (1 + cos 2t)/2.
1) sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4.
2) cos² 1/4 = (1 + cos (2 · 1/4))/2 = (1 + cos 1/2)/2.
3) cos² (π/4 − α) = (1 + cos (π/2 − 2α))/2 = (1 + sin 2α)/2.
4) sin² (π/4 + α) = (1 − cos (π/2 + 2α))/2 = (1 + sin 2α)/2, так как cos (π/2 + 2α) = −sin 2α.
1) sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4.
2) cos² 1/4 = (1 + cos (2 · 1/4))/2 = (1 + cos 1/2)/2.
3) cos² (π/4 − α) = (1 + cos (π/2 − 2α))/2 = (1 + sin 2α)/2.
4) sin² (π/4 + α) = (1 − cos (π/2 + 2α))/2 = (1 + sin 2α)/2, так как cos (π/2 + 2α) = −sin 2α.