Глава V. § 30*. Синус, косинус и тангенс половинного угла — с. 155
514. Найти числовое значение выражения:
1) 2 cos² π/8 − 1;
2) 1 − 2 sin² π/12;
3) √3/2 + 2 sin² 15°;
4) −√3/2 + 2 cos² 15°.
1) 2 cos² π/8 − 1;
2) 1 − 2 sin² π/12;
3) √3/2 + 2 sin² 15°;
4) −√3/2 + 2 cos² 15°.
1) 2 cos² t − 1 = cos 2t, поэтому 2 cos² π/8 − 1 = cos π/4 = √2/2.
2) 1 − 2 sin² t = cos 2t, поэтому 1 − 2 sin² π/12 = cos π/6 = √3/2.
3) 2 sin² 15° = 1 − cos 30° = 1 − √3/2, тогда √3/2 + 1 − √3/2 = 1.
4) 2 cos² 15° = 1 + cos 30° = 1 + √3/2, тогда −√3/2 + 1 + √3/2 = 1.
Ответ: 1) √2/2; 2) √3/2; 3) 1; 4) 1.
2) 1 − 2 sin² t = cos 2t, поэтому 1 − 2 sin² π/12 = cos π/6 = √3/2.
3) 2 sin² 15° = 1 − cos 30° = 1 − √3/2, тогда √3/2 + 1 − √3/2 = 1.
4) 2 cos² 15° = 1 + cos 30° = 1 + √3/2, тогда −√3/2 + 1 + √3/2 = 1.
Ответ: 1) √2/2; 2) √3/2; 3) 1; 4) 1.
515. Пусть cos α = 0,6 и 0 < α < π/2. Вычислить:
1) sin α/2;
2) cos α/2;
3) tg α/2;
4) ctg α/2.
1) sin α/2;
2) cos α/2;
3) tg α/2;
4) ctg α/2.
Так как 0 < α < π/2, то 0 < α/2 < π/4, и синус, косинус, тангенс и котангенс половинного угла положительны.
1) sin² (α/2) = (1 − cos α)/2 = (1 − 0,6)/2 = 0,2 = 1/5, откуда sin (α/2) = 1/√5 = √5/5.
2) cos² (α/2) = (1 + cos α)/2 = 0,8 = 4/5, откуда cos (α/2) = 2/√5 = 2√5/5.
3) tg (α/2) = sin (α/2) : cos (α/2) = 1/2.
4) ctg (α/2) = 2.
Ответ: 1) √5/5; 2) 2√5/5; 3) 1/2; 4) 2.
1) sin² (α/2) = (1 − cos α)/2 = (1 − 0,6)/2 = 0,2 = 1/5, откуда sin (α/2) = 1/√5 = √5/5.
2) cos² (α/2) = (1 + cos α)/2 = 0,8 = 4/5, откуда cos (α/2) = 2/√5 = 2√5/5.
3) tg (α/2) = sin (α/2) : cos (α/2) = 1/2.
4) ctg (α/2) = 2.
Ответ: 1) √5/5; 2) 2√5/5; 3) 1/2; 4) 2.
516. Пусть sin α = 3/5 и π/2 < α < π. Вычислить:
1) sin α/2;
2) cos α/2;
3) tg α/2;
4) ctg α/2.
1) sin α/2;
2) cos α/2;
3) tg α/2;
4) ctg α/2.
Во второй четверти cos α < 0, поэтому cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5. Из π/2 < α < π следует π/4 < α/2 < π/2, т. е. все функции угла α/2 положительны.
1) sin² (α/2) = (1 − cos α)/2 = (1 + 4/5)/2 = 9/10, откуда sin (α/2) = 3/√10 = 3√10/10.
2) cos² (α/2) = (1 + cos α)/2 = (1 − 4/5)/2 = 1/10, откуда cos (α/2) = 1/√10 = √10/10.
3) tg (α/2) = 3.
4) ctg (α/2) = 1/3.
Ответ: 1) 3√10/10; 2) √10/10; 3) 3; 4) 1/3.
1) sin² (α/2) = (1 − cos α)/2 = (1 + 4/5)/2 = 9/10, откуда sin (α/2) = 3/√10 = 3√10/10.
2) cos² (α/2) = (1 + cos α)/2 = (1 − 4/5)/2 = 1/10, откуда cos (α/2) = 1/√10 = √10/10.
3) tg (α/2) = 3.
4) ctg (α/2) = 1/3.
Ответ: 1) 3√10/10; 2) √10/10; 3) 3; 4) 1/3.
517. Вычислить:
1) sin 15°;
2) cos 15°;
3) tg 22°30′;
4) ctg 22°30′.
1) sin 15°;
2) cos 15°;
3) tg 22°30′;
4) ctg 22°30′.
Применяем формулы половинного угла; все углы острые, поэтому берём знак «+».
1) sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4. Так как (√6 − √2)² = 8 − 2√12 = 8 − 4√3, то sin 15° = √(2 − √3)/2 = (√6 − √2)/4.
2) cos² 15° = (1 + cos 30°)/2 = (2 + √3)/4, откуда cos 15° = (√6 + √2)/4.
3) tg 22°30′ = tg (45°/2) = (1 − cos 45°)/sin 45° = (1 − √2/2)/(√2/2) = (2 − √2)/√2 = √2 − 1.
4) ctg 22°30′ = 1/(√2 − 1) = √2 + 1.
Ответ: 1. (√6 − √2)/4; 2. (√6 + √2)/4; 3) √2 − 1; 4) √2 + 1.
1) sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4. Так как (√6 − √2)² = 8 − 2√12 = 8 − 4√3, то sin 15° = √(2 − √3)/2 = (√6 − √2)/4.
2) cos² 15° = (1 + cos 30°)/2 = (2 + √3)/4, откуда cos 15° = (√6 + √2)/4.
3) tg 22°30′ = tg (45°/2) = (1 − cos 45°)/sin 45° = (1 − √2/2)/(√2/2) = (2 − √2)/√2 = √2 − 1.
4) ctg 22°30′ = 1/(√2 − 1) = √2 + 1.
Ответ: 1. (√6 − √2)/4; 2. (√6 + √2)/4; 3) √2 − 1; 4) √2 + 1.
518. Упростить выражение:
1) (1 − cos α)/sin α;
2) sin α/(1 + cos α);
3) (1 − cos 2α + sin 2α)/(1 + cos 2α + sin 2α);
4) (1 + cos 4α)/sin 4α;
5) (1 + cos 2α + sin 2α)/(sin α + cos α);
6) (1 − cos 2α) ctg α.
1) (1 − cos α)/sin α;
2) sin α/(1 + cos α);
3) (1 − cos 2α + sin 2α)/(1 + cos 2α + sin 2α);
4) (1 + cos 4α)/sin 4α;
5) (1 + cos 2α + sin 2α)/(sin α + cos α);
6) (1 − cos 2α) ctg α.
1) 1 − cos α = 2 sin² (α/2), sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2). Получаем 2 sin² (α/2)/(2 sin (α/2) cos (α/2)) = tg (α/2).
2) 1 + cos α = 2 cos² (α/2), поэтому sin α/(1 + cos α) = 2 sin (α/2) cos (α/2)/(2 cos² (α/2)) = tg (α/2).
3) Числитель: 2 sin² α + 2 sin α cos α = 2 sin α (sin α + cos α); знаменатель: 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α). После сокращения получаем sin α/cos α = tg α.
4) 1 + cos 4α = 2 cos² 2α, sin 4α = 2 sin 2α cos 2α; дробь равна cos 2α/sin 2α = ctg 2α.
5) Числитель: 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α); после сокращения на sin α + cos α получаем 2 cos α.
6) (1 − cos 2α) ctg α = 2 sin² α · cos α/sin α = 2 sin α cos α = sin 2α.
Ответ: 1) tg (α/2); 2) tg (α/2); 3) tg α; 4) ctg 2α; 5) 2 cos α; 6) sin 2α.
2) 1 + cos α = 2 cos² (α/2), поэтому sin α/(1 + cos α) = 2 sin (α/2) cos (α/2)/(2 cos² (α/2)) = tg (α/2).
3) Числитель: 2 sin² α + 2 sin α cos α = 2 sin α (sin α + cos α); знаменатель: 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α). После сокращения получаем sin α/cos α = tg α.
4) 1 + cos 4α = 2 cos² 2α, sin 4α = 2 sin 2α cos 2α; дробь равна cos 2α/sin 2α = ctg 2α.
5) Числитель: 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α); после сокращения на sin α + cos α получаем 2 cos α.
6) (1 − cos 2α) ctg α = 2 sin² α · cos α/sin α = 2 sin α cos α = sin 2α.
Ответ: 1) tg (α/2); 2) tg (α/2); 3) tg α; 4) ctg 2α; 5) 2 cos α; 6) sin 2α.
519. Доказать тождество:
1) 2 cos² (π/4 − α/2) = 1 + sin α;
2) 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − sin α;
3) (3 − 4 cos 2α + cos 4α)/(3 + 4 cos 2α + cos 4α) = tg⁴ α;
4) (1 + sin 2α + cos 2α)/(1 + sin 2α − cos 2α) = ctg α.
1) 2 cos² (π/4 − α/2) = 1 + sin α;
2) 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − sin α;
3) (3 − 4 cos 2α + cos 4α)/(3 + 4 cos 2α + cos 4α) = tg⁴ α;
4) (1 + sin 2α + cos 2α)/(1 + sin 2α − cos 2α) = ctg α.
1) По формуле 2 cos² t = 1 + cos 2t имеем 2 cos² (π/4 − α/2) = 1 + cos (π/2 − α) = 1 + sin α. Что и требовалось доказать.
2) 2 sin² t = 1 − cos 2t, поэтому 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − cos (π/2 − α) = 1 − sin α. Тождество доказано.
3) Так как cos 4α = 2 cos² 2α − 1, то числитель равен 2 − 4 cos 2α + 2 cos² 2α = 2 (1 − cos 2α)², а знаменатель 2 + 4 cos 2α + 2 cos² 2α = 2 (1 + cos 2α)². Тогда дробь равна ((1 − cos 2α)/(1 + cos 2α))² = (2 sin² α/(2 cos² α))² = (tg² α)² = tg⁴ α.
4) Числитель: 1 + cos 2α + sin 2α = 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α). Знаменатель: 1 − cos 2α + sin 2α = 2 sin² α + 2 sin α cos α = 2 sin α (sin α + cos α). Дробь равна cos α/sin α = ctg α (при sin α + cos α ≠ 0). Тождество доказано.
2) 2 sin² t = 1 − cos 2t, поэтому 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − cos (π/2 − α) = 1 − sin α. Тождество доказано.
3) Так как cos 4α = 2 cos² 2α − 1, то числитель равен 2 − 4 cos 2α + 2 cos² 2α = 2 (1 − cos 2α)², а знаменатель 2 + 4 cos 2α + 2 cos² 2α = 2 (1 + cos 2α)². Тогда дробь равна ((1 − cos 2α)/(1 + cos 2α))² = (2 sin² α/(2 cos² α))² = (tg² α)² = tg⁴ α.
4) Числитель: 1 + cos 2α + sin 2α = 2 cos² α + 2 sin α cos α = 2 cos α (cos α + sin α). Знаменатель: 1 − cos 2α + sin 2α = 2 sin² α + 2 sin α cos α = 2 sin α (sin α + cos α). Дробь равна cos α/sin α = ctg α (при sin α + cos α ≠ 0). Тождество доказано.
520. Доказать тождество:
1) (1 − cos 2α)/sin 2α · ctg α = 1;
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = tg α;
3) (1 − 2 sin² α)/(1 + sin 2α) = (1 − tg α)/(1 + tg α);
4) (1 + sin 2α)/cos 2α = tg (π/4 + α).
1) (1 − cos 2α)/sin 2α · ctg α = 1;
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = tg α;
3) (1 − 2 sin² α)/(1 + sin 2α) = (1 − tg α)/(1 + tg α);
4) (1 + sin 2α)/cos 2α = tg (π/4 + α).
1) (1 − cos 2α)/sin 2α = 2 sin² α/(2 sin α cos α) = tg α, поэтому левая часть равна tg α · ctg α = 1.
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = 2 sin α cos α/(2 cos² α) = tg α.
3) 1 − 2 sin² α = cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α), 1 + sin 2α = (sin α + cos α)². После сокращения левая часть равна (cos α − sin α)/(cos α + sin α). Разделив числитель и знаменатель на cos α, получим (1 − tg α)/(1 + tg α).
4) 1 + sin 2α = (sin α + cos α)², cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α). Левая часть равна (cos α + sin α)/(cos α − sin α) = (1 + tg α)/(1 − tg α) = (tg π/4 + tg α)/(1 − tg π/4 · tg α) = tg (π/4 + α) по формуле тангенса суммы.
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = 2 sin α cos α/(2 cos² α) = tg α.
3) 1 − 2 sin² α = cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α), 1 + sin 2α = (sin α + cos α)². После сокращения левая часть равна (cos α − sin α)/(cos α + sin α). Разделив числитель и знаменатель на cos α, получим (1 − tg α)/(1 + tg α).
4) 1 + sin 2α = (sin α + cos α)², cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α). Левая часть равна (cos α + sin α)/(cos α − sin α) = (1 + tg α)/(1 − tg α) = (tg π/4 + tg α)/(1 − tg π/4 · tg α) = tg (π/4 + α) по формуле тангенса суммы.
521. Доказать, что если 0 < α < π/2, то √(1 + sin α) − √(1 − sin α) = 2 sin α/2.
Так как sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2) и 1 = sin² (α/2) + cos² (α/2), то
1 + sin α = (sin (α/2) + cos (α/2))², 1 − sin α = (cos (α/2) − sin (α/2))².
При 0 < α < π/2 имеем 0 < α/2 < π/4, поэтому cos (α/2) > sin (α/2) > 0, и оба выражения в скобках положительны. Значит, √(1 + sin α) = sin (α/2) + cos (α/2), √(1 − sin α) = cos (α/2) − sin (α/2).
Разность равна sin (α/2) + cos (α/2) − cos (α/2) + sin (α/2) = 2 sin (α/2). Что и требовалось доказать.
1 + sin α = (sin (α/2) + cos (α/2))², 1 − sin α = (cos (α/2) − sin (α/2))².
При 0 < α < π/2 имеем 0 < α/2 < π/4, поэтому cos (α/2) > sin (α/2) > 0, и оба выражения в скобках положительны. Значит, √(1 + sin α) = sin (α/2) + cos (α/2), √(1 − sin α) = cos (α/2) − sin (α/2).
Разность равна sin (α/2) + cos (α/2) − cos (α/2) + sin (α/2) = 2 sin (α/2). Что и требовалось доказать.
522. Упростить выражение tg 2α/(tg 4α − tg 2α).
Приведём разность тангенсов к общему знаменателю: tg 4α − tg 2α = (sin 4α cos 2α − cos 4α sin 2α)/(cos 4α cos 2α) = sin (4α − 2α)/(cos 4α cos 2α) = sin 2α/(cos 4α cos 2α).
Так как tg 2α = sin 2α/cos 2α, то дробь равна (sin 2α/cos 2α) · (cos 4α cos 2α/sin 2α) = cos 4α.
Ответ: cos 4α (при cos 2α ≠ 0, cos 4α ≠ 0, sin 2α ≠ 0).
Так как tg 2α = sin 2α/cos 2α, то дробь равна (sin 2α/cos 2α) · (cos 4α cos 2α/sin 2α) = cos 4α.
Ответ: cos 4α (при cos 2α ≠ 0, cos 4α ≠ 0, sin 2α ≠ 0).
523. Решить уравнение:
1) 1 − cos x = 2 sin x/2;
2) 1 + cos x = 2 cos x/2;
3) 1 + cos x/2 = 2 sin (x/4 − 3π/2);
4) 1 + cos 8x = 2 cos 4x;
5) 2 sin² x/2 + 1/2 sin 2x = 1;
6) 2 cos² x − 1/2 sin 4x = 1.
1) 1 − cos x = 2 sin x/2;
2) 1 + cos x = 2 cos x/2;
3) 1 + cos x/2 = 2 sin (x/4 − 3π/2);
4) 1 + cos 8x = 2 cos 4x;
5) 2 sin² x/2 + 1/2 sin 2x = 1;
6) 2 cos² x − 1/2 sin 4x = 1.
1) 1 − cos x = 2 sin² (x/2), уравнение принимает вид 2 sin² (x/2) = 2 sin (x/2), т. е. sin (x/2) (sin (x/2) − 1) = 0.
sin (x/2) = 0: x/2 = πk, x = 2πk. sin (x/2) = 1: x/2 = π/2 + 2πn, x = π + 4πn.
Ответ: x = 2πk; x = π + 4πn, k, n ∈ Z.
2) 1 + cos x = 2 cos² (x/2), поэтому 2 cos² (x/2) = 2 cos (x/2), cos (x/2) (cos (x/2) − 1) = 0.
cos (x/2) = 0: x/2 = π/2 + πk, x = π + 2πk. cos (x/2) = 1: x/2 = 2πn, x = 4πn.
Ответ: x = π + 2πk; x = 4πn, k, n ∈ Z.
3) sin (t − 3π/2) = cos t, поэтому при t = x/4 правая часть равна 2 cos (x/4). Левая: 1 + cos 2t = 2 cos² t. Уравнение: 2 cos² t = 2 cos t, cos t (cos t − 1) = 0.
cos (x/4) = 0: x/4 = π/2 + πk, x = 2π + 4πk. cos (x/4) = 1: x/4 = 2πn, x = 8πn.
Ответ: x = 2π + 4πk; x = 8πn, k, n ∈ Z.
4) 1 + cos 8x = 2 cos² 4x, поэтому 2 cos² 4x = 2 cos 4x, cos 4x (cos 4x − 1) = 0.
cos 4x = 0: 4x = π/2 + πk, x = π/8 + πk/4. cos 4x = 1: 4x = 2πn, x = πn/2.
Ответ: x = π/8 + πk/4; x = πn/2, k, n ∈ Z.
5) 2 sin² (x/2) = 1 − cos x, уравнение: 1 − cos x + sin x cos x = 1, откуда cos x (sin x − 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πk. sin x = 1: x = π/2 + 2πn — эти значения уже содержатся в первой серии.
Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z.
6) 2 cos² x − 1 = cos 2x, 1/2 sin 4x = sin 2x cos 2x. Уравнение 2 cos² x − 1/2 sin 4x = 1 равносильно cos 2x − sin 2x cos 2x = 0, т. е. cos 2x (1 − sin 2x) = 0.
cos 2x = 0: 2x = π/2 + πk, x = π/4 + πk/2. sin 2x = 1: x = π/4 + πn — входит в первую серию.
Ответ: x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.
sin (x/2) = 0: x/2 = πk, x = 2πk. sin (x/2) = 1: x/2 = π/2 + 2πn, x = π + 4πn.
Ответ: x = 2πk; x = π + 4πn, k, n ∈ Z.
2) 1 + cos x = 2 cos² (x/2), поэтому 2 cos² (x/2) = 2 cos (x/2), cos (x/2) (cos (x/2) − 1) = 0.
cos (x/2) = 0: x/2 = π/2 + πk, x = π + 2πk. cos (x/2) = 1: x/2 = 2πn, x = 4πn.
Ответ: x = π + 2πk; x = 4πn, k, n ∈ Z.
3) sin (t − 3π/2) = cos t, поэтому при t = x/4 правая часть равна 2 cos (x/4). Левая: 1 + cos 2t = 2 cos² t. Уравнение: 2 cos² t = 2 cos t, cos t (cos t − 1) = 0.
cos (x/4) = 0: x/4 = π/2 + πk, x = 2π + 4πk. cos (x/4) = 1: x/4 = 2πn, x = 8πn.
Ответ: x = 2π + 4πk; x = 8πn, k, n ∈ Z.
4) 1 + cos 8x = 2 cos² 4x, поэтому 2 cos² 4x = 2 cos 4x, cos 4x (cos 4x − 1) = 0.
cos 4x = 0: 4x = π/2 + πk, x = π/8 + πk/4. cos 4x = 1: 4x = 2πn, x = πn/2.
Ответ: x = π/8 + πk/4; x = πn/2, k, n ∈ Z.
5) 2 sin² (x/2) = 1 − cos x, уравнение: 1 − cos x + sin x cos x = 1, откуда cos x (sin x − 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2 + πk. sin x = 1: x = π/2 + 2πn — эти значения уже содержатся в первой серии.
Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z.
6) 2 cos² x − 1 = cos 2x, 1/2 sin 4x = sin 2x cos 2x. Уравнение 2 cos² x − 1/2 sin 4x = 1 равносильно cos 2x − sin 2x cos 2x = 0, т. е. cos 2x (1 − sin 2x) = 0.
cos 2x = 0: 2x = π/2 + πk, x = π/4 + πk/2. sin 2x = 1: x = π/4 + πn — входит в первую серию.
Ответ: x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.