Глава XV. §1. Подобие многоугольников — с. 338
1297. Докажите, что если для прямоугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁ выполняются равенства AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, то прямоугольники равны.
У любого прямоугольника все углы прямые, поэтому ∠A = ∠A₁ = … = 90°: углы прямоугольников соответственно равны.
Противоположные стороны прямоугольника равны: CD = AB = A₁B₁ = C₁D₁ и AD = BC = B₁C₁ = A₁D₁. Значит, все сходственные стороны равны (коэффициент подобия k = 1).
По теореме п. 131 (подобные многоугольники с коэффициентом подобия 1 равны) прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны. Что и требовалось доказать.
Противоположные стороны прямоугольника равны: CD = AB = A₁B₁ = C₁D₁ и AD = BC = B₁C₁ = A₁D₁. Значит, все сходственные стороны равны (коэффициент подобия k = 1).
По теореме п. 131 (подобные многоугольники с коэффициентом подобия 1 равны) прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны. Что и требовалось доказать.
1298. Верны ли утверждения: а) если стороны двух треугольников соответственно равны, то треугольники равны; б) если у двух выпуклых многоугольников стороны соответственно равны, то многоугольники равны?
Ответ обоснуйте.
а) Верно. Это третий признак равенства треугольников (по трём сторонам).
б) Неверно. Квадрат со стороной 1 и ромб со стороной 1 и острым углом 60° имеют соответственно равные стороны, но не равны, так как углы у них разные (у квадрата все углы по 90°). Для многоугольников с числом сторон больше трёх равенство сторон не определяет углы, поэтому многоугольники могут быть неравными.
б) Неверно. Квадрат со стороной 1 и ромб со стороной 1 и острым углом 60° имеют соответственно равные стороны, но не равны, так как углы у них разные (у квадрата все углы по 90°). Для многоугольников с числом сторон больше трёх равенство сторон не определяет углы, поэтому многоугольники могут быть неравными.
1299. Четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁, изображённые на рисунке 387, подобны. По данным рисунка найдите: а) коэффициент подобия; б) ∠A₁, ∠C₁; в) A₁B₁, CD. [рисунок 387: малый четырёхугольник ABCD: AB = 4, AD = 6, ∠A = 90°, ∠C = 100°; большой A₁B₁C₁D₁: A₁D₁ = 12, C₁D₁ = 10, ∠A₁ = 90°]
Вершины A и A₁ (прямые углы), D и D₁, C и C₁ (на рисунке у C стоит угол 100°) соответствуют друг другу, поэтому сходственные стороны: AD и A₁D₁, AB и A₁B₁, CD и C₁D₁.
а) Коэффициент подобия A₁B₁C₁D₁ относительно ABCD равен A₁D₁ : AD = 12 : 6 = 2 (коэффициент подобия ABCD относительно A₁B₁C₁D₁ равен 1/2).
б) У подобных многоугольников соответственные углы равны: ∠A₁ = ∠A = 90°, ∠C₁ = ∠C = 100°.
в) A₁B₁ = 2·AB = 2·4 = 8. Из C₁D₁ = 2·CD получаем CD = C₁D₁ : 2 = 10 : 2 = 5.
Ответ: а) 2 (или 1/2); б) ∠A₁ = 90°, ∠C₁ = 100°; в) A₁B₁ = 8, CD = 5.
а) Коэффициент подобия A₁B₁C₁D₁ относительно ABCD равен A₁D₁ : AD = 12 : 6 = 2 (коэффициент подобия ABCD относительно A₁B₁C₁D₁ равен 1/2).
б) У подобных многоугольников соответственные углы равны: ∠A₁ = ∠A = 90°, ∠C₁ = ∠C = 100°.
в) A₁B₁ = 2·AB = 2·4 = 8. Из C₁D₁ = 2·CD получаем CD = C₁D₁ : 2 = 10 : 2 = 5.
Ответ: а) 2 (или 1/2); б) ∠A₁ = 90°, ∠C₁ = 100°; в) A₁B₁ = 8, CD = 5.
1300. Пятиугольники, изображённые на рисунке 388, подобны. По данным этого рисунка найдите x, y, z, t, α, β. [рисунок 388: большой пятиугольник со сторонами 9, y, z, 5, 7 и углами β, 145°, 90°; малый пятиугольник со сторонами 4, 5, 3, t, x и углами 70°, α, 90°]
Угол 145° большого пятиугольника лежит между сторонами 7 и 5, а угол α малого — между сторонами t и 3; прямые углы лежат между сторонами 5 и z (большой) и 3 и 5 (малый). Значит, соответственные стороны: 5 (большой) и 3 (малый), 7 и t, z и 5 (малый), y и 4, 9 и x.
Коэффициент подобия большого пятиугольника относительно малого k = 5 : 3.
Углы: α = 145°, β = 70° (β лежит между сторонами 9 и 7, то есть соответствует углу 70° между сторонами x и t).
Стороны: t = 7 : (5/3) = 21/5 = 4 1/5; z = 5·(5/3) = 25/3 = 8 1/3; y = 4·(5/3) = 20/3 = 6 2/3; x = 9 : (5/3) = 27/5 = 5 2/5.
Ответ: x = 5 2/5, y = 6 2/3, z = 8 1/3, t = 4 1/5, α = 145°, β = 70°.
Коэффициент подобия большого пятиугольника относительно малого k = 5 : 3.
Углы: α = 145°, β = 70° (β лежит между сторонами 9 и 7, то есть соответствует углу 70° между сторонами x и t).
Стороны: t = 7 : (5/3) = 21/5 = 4 1/5; z = 5·(5/3) = 25/3 = 8 1/3; y = 4·(5/3) = 20/3 = 6 2/3; x = 9 : (5/3) = 27/5 = 5 2/5.
Ответ: x = 5 2/5, y = 6 2/3, z = 8 1/3, t = 4 1/5, α = 145°, β = 70°.
1301. По данным рисунка 389, а–в выясните, подобны ли многоугольники F и F₁, P и P₁, R и R₁. [рисунок 389: а) прямоугольники F со сторонами 2 и 5 и F₁ со сторонами 1 и 5; б) прямоугольные треугольники P и P₁, у каждого есть острый угол 30°; в) четырёхугольник R со сторонами 3, 4, 5 и пятиугольник R₁]
а) F и F₁ — прямоугольники, углы у них равны (по 90°), но отношения сторон разные: 5 : 5 = 1, а 2 : 1 = 2. Сходственные стороны не пропорциональны, поэтому F и F₁ не подобны.
б) P и P₁ — прямоугольные треугольники с острым углом 30°. У них углы соответственно равны (90°, 30°, 60°), поэтому по первому признаку подобия треугольников P ∼ P₁.
в) R — четырёхугольник, R₁ — пятиугольник. Число сторон разное, поэтому подобными они быть не могут.
Ответ: подобны только P и P₁.
б) P и P₁ — прямоугольные треугольники с острым углом 30°. У них углы соответственно равны (90°, 30°, 60°), поэтому по первому признаку подобия треугольников P ∼ P₁.
в) R — четырёхугольник, R₁ — пятиугольник. Число сторон разное, поэтому подобными они быть не могут.
Ответ: подобны только P и P₁.