Глава XIV. Дополнительные задачи — с. 331
1295. Даны параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и с. Сколько решений имеет задача?
[в книге после условия приведено решение с рисунком 380]
[в книге после условия приведено решение с рисунком 380]
Анализ. Допустим, что треугольник ABC построен. При повороте вокруг A на 60° по часовой стрелке вершина B переходит в C (AB = AC и ∠BAC = 60°). Поэтому прямая b переходит в прямую b₁, проходящую через C. Значит, C лежит на пересечении прямой c и прямой b₁, где b₁ — образ прямой b при этом повороте.
Построение:
1) Строим прямую b₁, в которую переходит b при повороте вокруг A на 60° по часовой стрелке (задача 1268: опускаем из A перпендикуляр AH на b, строим H₁ — образ H, и проводим через H₁ прямую, перпендикулярную AH₁; на рисунке синяя пунктирная).
2) Находим точку C — пересечение прямых b₁ и c (на рисунке красная).
3) Строим вершину B: на луче, повёрнутом от AC на 60° против часовой стрелки, откладываем AB = AC (то есть строим равносторонний треугольник ACB на стороне AC). Точка B лежит на прямой b.
4) Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. Так как C лежит на b₁, то при повороте на 60° против часовой стрелки вокруг A она переходит в точку B, лежащую на b. Поворот сохраняет расстояния и угол: AB = AC, ∠BAC = 60°. Равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине — равносторонний.
Число решений. Прямая b₁ образует с b угол 60° (задача 1269), поэтому b₁ не параллельна c и пересекает её ровно в одной точке C. Значит, при повороте по часовой стрелке получается ровно одно решение. Такое же рассуждение для поворота на 60° против часовой стрелки даёт ещё одно решение (точки B и C меняются ролями относительно прямых). Эти решения различны.
Ответ: задача всегда имеет два решения.
Построение:
1) Строим прямую b₁, в которую переходит b при повороте вокруг A на 60° по часовой стрелке (задача 1268: опускаем из A перпендикуляр AH на b, строим H₁ — образ H, и проводим через H₁ прямую, перпендикулярную AH₁; на рисунке синяя пунктирная).
2) Находим точку C — пересечение прямых b₁ и c (на рисунке красная).
3) Строим вершину B: на луче, повёрнутом от AC на 60° против часовой стрелки, откладываем AB = AC (то есть строим равносторонний треугольник ACB на стороне AC). Точка B лежит на прямой b.
4) Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. Так как C лежит на b₁, то при повороте на 60° против часовой стрелки вокруг A она переходит в точку B, лежащую на b. Поворот сохраняет расстояния и угол: AB = AC, ∠BAC = 60°. Равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине — равносторонний.
Число решений. Прямая b₁ образует с b угол 60° (задача 1269), поэтому b₁ не параллельна c и пересекает её ровно в одной точке C. Значит, при повороте по часовой стрелке получается ровно одно решение. Такое же рассуждение для поворота на 60° против часовой стрелки даёт ещё одно решение (точки B и C меняются ролями относительно прямых). Эти решения различны.
Ответ: задача всегда имеет два решения.