Глава XV. §1. Подобие многоугольников — с. 339
1302. Подобны ли многоугольники, изображённые на рисунке 390?
Ответ обоснуйте. [рисунок 390: четырёхугольник ABCD: AB = 2a, BC = 2b, CD = 2c, DA = 2d, ∠A = 80°, ∠B = 85°, ∠C = 90°; четырёхугольник A₁B₁C₁D₁: A₁B₁ = 3a, B₁C₁ = 3b, C₁D₁ = 3c, D₁A₁ = 3d, ∠A₁ = 80°, ∠B₁ = 85°, ∠C₁ = 90°]
Сравним углы: ∠A = ∠A₁ = 80°, ∠B = ∠B₁ = 85°, ∠C = ∠C₁ = 90°. Сумма углов четырёхугольника 360°, поэтому ∠D = 360° − 80° − 85° − 90° = 105° и ∠D₁ = 105°. Все углы соответственно равны.
Сравним стороны: A₁B₁ : AB = 3a : 2a = 3/2, B₁C₁ : BC = 3b : 2b = 3/2, C₁D₁ : CD = 3c : 2c = 3/2, D₁A₁ : DA = 3d : 2d = 3/2. Сходственные стороны пропорциональны.
По определению многоугольники подобны с коэффициентом 3/2.
Ответ: да, подобны.
Сравним стороны: A₁B₁ : AB = 3a : 2a = 3/2, B₁C₁ : BC = 3b : 2b = 3/2, C₁D₁ : CD = 3c : 2c = 3/2, D₁A₁ : DA = 3d : 2d = 3/2. Сходственные стороны пропорциональны.
По определению многоугольники подобны с коэффициентом 3/2.
Ответ: да, подобны.
1303. Могут ли быть подобными многоугольники F и F₁, если: а) F — остроугольный, а F₁ — тупоугольный треугольники; б) F — равносторонний треугольник, а F₁ — равнобедренный, но не равносторонний треугольник; в) F — прямоугольник, а F₁ — квадрат; г) F и F₁ — прямоугольники; д) F и F₁ — пятиугольники; е) F — шестиугольник, а F₁ — пятиугольник. Ответ обоснуйте.
а) Нет. У подобных треугольников углы соответственно равны, а у остроугольного все углы острые, у тупоугольного есть тупой угол.
б) Нет. У равностороннего треугольника все углы по 60°; у подобного ему треугольника тоже все углы по 60°, значит, он равносторонний.
в) Нет (если F не квадрат). У подобного квадрату многоугольника все углы прямые и все стороны пропорциональны сторонам квадрата, то есть равны между собой, поэтому он тоже квадрат. Прямоугольник с неравными сторонами квадрату не подобен. (Квадрат — частный случай прямоугольника; если F само является квадратом, то подобие возможно.)
г) Да, могут. У всех прямоугольников углы равны (по 90°); подобными будут прямоугольники с пропорциональными сторонами, например 1 × 2 и 2 × 4. Но не любые прямоугольники подобны.
д) Да, могут: например, два правильных пятиугольника с разными сторонами подобны.
е) Нет: у подобных многоугольников число углов (и сторон) одинаково.
Оговорка: в пункте в) ответ «нет» относится к прямоугольнику, не являющемуся квадратом.
б) Нет. У равностороннего треугольника все углы по 60°; у подобного ему треугольника тоже все углы по 60°, значит, он равносторонний.
в) Нет (если F не квадрат). У подобного квадрату многоугольника все углы прямые и все стороны пропорциональны сторонам квадрата, то есть равны между собой, поэтому он тоже квадрат. Прямоугольник с неравными сторонами квадрату не подобен. (Квадрат — частный случай прямоугольника; если F само является квадратом, то подобие возможно.)
г) Да, могут. У всех прямоугольников углы равны (по 90°); подобными будут прямоугольники с пропорциональными сторонами, например 1 × 2 и 2 × 4. Но не любые прямоугольники подобны.
д) Да, могут: например, два правильных пятиугольника с разными сторонами подобны.
е) Нет: у подобных многоугольников число углов (и сторон) одинаково.
Оговорка: в пункте в) ответ «нет» относится к прямоугольнику, не являющемуся квадратом.
1304. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Длины сторон BC и B₁C₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия, то есть отношению сходственных сторон. Переведём в одни единицы: BC = 1,4 м = 140 см, B₁C₁ = 56 см.
P(ABC) : P(A₁B₁C₁) = BC : B₁C₁ = 140 : 56 = 5 : 2.
Ответ: 5 : 2.
P(ABC) : P(A₁B₁C₁) = BC : B₁C₁ = 140 : 56 = 5 : 2.
Ответ: 5 : 2.
1305. Периметр четырёхугольника MNPQ относится к периметру подобного ему четырёхугольника M₁N₁P₁Q₁ как 3 :
5. Длина стороны MN = 7 см, а длина P₁Q₁ на 5 см больше длины стороны M₁N₁. Найдите длину стороны PQ.
Отношение периметров равно коэффициенту подобия, поэтому все сходственные стороны относятся как 3 : 5: MN : M₁N₁ = PQ : P₁Q₁ = 3/5.
Из MN : M₁N₁ = 3/5 находим M₁N₁ = 7·5/3 = 35/3 (см). Тогда P₁Q₁ = M₁N₁ + 5 = 35/3 + 5 = 50/3 (см).
PQ = (3/5)·P₁Q₁ = (3/5)·(50/3) = 10 (см).
Ответ: 10 см.
Из MN : M₁N₁ = 3/5 находим M₁N₁ = 7·5/3 = 35/3 (см). Тогда P₁Q₁ = M₁N₁ + 5 = 35/3 + 5 = 50/3 (см).
PQ = (3/5)·P₁Q₁ = (3/5)·(50/3) = 10 (см).
Ответ: 10 см.
1306. Многоугольники F₁ и F₂ подобны. Пусть S₁ и S₂ — их площади, а k — коэффициент подобия многоугольника F₁ относительно F₂. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу. [таблица: столбцы 1) S₁ = 27 см², S₂ = 3 см²;
2. S₁ = 640 см², k = 2;
3. S₂ = 54 дм², k = 2/3;
4. S₁ = 24 см², S₂ = 6 мм²;
5. S₂ = 4a² см², k = √a]
По теореме о площадях S₁ : S₂ = k², то есть S₁ = k²·S₂.
1) k² = 27 : 3 = 9, k = 3.
2) S₂ = S₁ : k² = 640 : 4 = 160 см².
3) S₁ = k²·S₂ = (4/9)·54 = 24 дм².
4) S₁ = 24 см² = 2400 мм², S₂ = 6 мм²: k² = 2400 : 6 = 400, k = 20.
5) S₁ = k²·S₂ = a·4a² = 4a³ см².
Ответ: 1) k = 3; 2. S₂ = 160 см²; 3. S₁ = 24 дм²; 4) k = 20; 5. S₁ = 4a³ см².
Оговорка: в пункте 4) площади даны в разных единицах (24 см² и 6 мм²); при переводе в одни единицы получается k = 20. Если бы обе площади были в мм² (24 мм² и 6 мм²), получилось бы k = 2.
1) k² = 27 : 3 = 9, k = 3.
2) S₂ = S₁ : k² = 640 : 4 = 160 см².
3) S₁ = k²·S₂ = (4/9)·54 = 24 дм².
4) S₁ = 24 см² = 2400 мм², S₂ = 6 мм²: k² = 2400 : 6 = 400, k = 20.
5) S₁ = k²·S₂ = a·4a² = 4a³ см².
Ответ: 1) k = 3; 2. S₂ = 160 см²; 3. S₁ = 24 дм²; 4) k = 20; 5. S₁ = 4a³ см².
Оговорка: в пункте 4) площади даны в разных единицах (24 см² и 6 мм²); при переводе в одни единицы получается k = 20. Если бы обе площади были в мм² (24 мм² и 6 мм²), получилось бы k = 2.
1307. Длина стороны квадрата F равна а. Построен многоугольник F₁, подобный многоугольнику F. а) Докажите, что многоугольник F — квадрат. б) Найдите площадь многоугольника F₁, если коэффициент подобия многоугольников F и F₁ равен k.
а) В условии, по-видимому, имеется в виду многоугольник F₁ (F — квадрат по условию). Многоугольник F₁ подобен квадрату, поэтому его углы равны углам квадрата, то есть все прямые, и F₁ — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, а его стороны пропорциональны сторонам квадрата: все они равны ka. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат. Значит, F₁ — квадрат со стороной ka.
б) S(F₁) = (ka)² = k²a². (Тот же результат даёт теорема о площадях: S(F₁) : S(F) = k², S(F) = a².)
Ответ: б) k²a².
Оговорка: в пункте а) утверждение «F — квадрат» совпадает с условием; доказано, что квадратом является F₁.
б) S(F₁) = (ka)² = k²a². (Тот же результат даёт теорема о площадях: S(F₁) : S(F) = k², S(F) = a².)
Ответ: б) k²a².
Оговорка: в пункте а) утверждение «F — квадрат» совпадает с условием; доказано, что квадратом является F₁.
1308. Площади подобных многоугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго многоугольника имеет длину 9 м. Найдите длину сходственной стороны первого многоугольника.
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия: 300 : 75 = 4 = k², откуда k = 2 (второй многоугольник больше первого в 2 раза по линейным размерам).
Сторона первого многоугольника, сходственная стороне второго, равна 9 : 2 = 4,5 (м).
Ответ: 4,5 м.
Сторона первого многоугольника, сходственная стороне второго, равна 9 : 2 = 4,5 (м).
Ответ: 4,5 м.