Глава XV. §2. Преобразование подобия — с. 344
1309. Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D. а) Постройте точки А₁, В₁, С₁, D₁ так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом 2 точки А, В, С и D перешли соответственно в точки А₁, В₁, С₁ и D₁; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k = –3.
По определению гомотетии точка X₁, соответственная точке X, лежит на прямой OX, причём OX₁ = |k|·OX; при k > 0 точка X₁ лежит на луче OX, при k < 0 — на продолжении луча OX за точку O.
а) k = 2. Для каждой из точек X = A, B, C, D проводим луч OX и циркулем откладываем на нём от точки X отрезок XX₁ = OX. Тогда OX₁ = 2·OX, и точка X₁ лежит на луче OX.
б) k = –3. Для каждой точки X проводим прямую OX и от точки O в сторону, противоположную точке X, откладываем циркулем три раза отрезок, равный OX: получаем точку X₁ с OX₁ = 3·OX, причём O лежит между X и X₁.
На рисунке чёрные точки — исходные, красные — их образы.
а) k = 2. Для каждой из точек X = A, B, C, D проводим луч OX и циркулем откладываем на нём от точки X отрезок XX₁ = OX. Тогда OX₁ = 2·OX, и точка X₁ лежит на луче OX.
б) k = –3. Для каждой точки X проводим прямую OX и от точки O в сторону, противоположную точке X, откладываем циркулем три раза отрезок, равный OX: получаем точку X₁ с OX₁ = 3·OX, причём O лежит между X и X₁.
На рисунке чёрные точки — исходные, красные — их образы.
1310. Отметьте четыре точки: О, А₁, В₁, С₁. а) Постройте точки А, В, С так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k = 3 точки А, В и С перешли соответственно в точки А₁, В₁, С₁; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, равным –2; 1 и 1/3.
Если при гомотетии с центром O и коэффициентом k точка X переходит в X₁, то X₁ лежит на прямой OX и OX₁ = |k|·OX. Поэтому искомая точка X лежит на прямой OX₁ и OX = OX₁ : |k|, причём X лежит по ту же сторону от O, что и X₁, при k > 0, и по другую сторону при k < 0. Построение одинаково для всех трёх точек.
а) k = 3. Проводим луч OX₁ и делим отрезок OX₁ на три равные части (через O проводим вспомогательный луч, откладываем на нём три равных отрезка, соединяем конец третьего с X₁ и проводим параллельные прямые). Точка X — первая точка деления, считая от O: OX = OX₁/3.
б) k = –2. Делим отрезок OX₁ пополам (серединным перпендикуляром) и откладываем половину от точки O на продолжении луча X₁O за точку O: OX = OX₁/2, O лежит между X и X₁.
k = 1: гомотетия — тождественное преобразование, поэтому A = A₁, B = B₁, C = C₁.
k = 1/3: OX = 3·OX₁, значит, на луче OX₁ откладываем от точки X₁ дважды отрезок, равный OX₁; X лежит за точкой X₁.
На рисунке выполнены построения для k = 3 и k = –2: чёрные точки даны, красные построены.
а) k = 3. Проводим луч OX₁ и делим отрезок OX₁ на три равные части (через O проводим вспомогательный луч, откладываем на нём три равных отрезка, соединяем конец третьего с X₁ и проводим параллельные прямые). Точка X — первая точка деления, считая от O: OX = OX₁/3.
б) k = –2. Делим отрезок OX₁ пополам (серединным перпендикуляром) и откладываем половину от точки O на продолжении луча X₁O за точку O: OX = OX₁/2, O лежит между X и X₁.
k = 1: гомотетия — тождественное преобразование, поэтому A = A₁, B = B₁, C = C₁.
k = 1/3: OX = 3·OX₁, значит, на луче OX₁ откладываем от точки X₁ дважды отрезок, равный OX₁; X лежит за точкой X₁.
На рисунке выполнены построения для k = 3 и k = –2: чёрные точки даны, красные построены.
1311. Отметьте точку О и начертите прямую l так, чтобы О ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) k = 2; б) k = –0,5; в) k = –3; г) k = 3.
По свойству 1° при гомотетии с коэффициентом, отличным от 1, прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую. Поэтому достаточно построить образ одной точки X прямой l и провести через него прямую, параллельную l.
Пусть d — расстояние от O до l. Образ l — прямая l₁ ∥ l на расстоянии |k|·d от O: по ту же сторону от O, что и l, при k > 0, и по другую сторону при k < 0.
Построение: берём на l точку X, проводим прямую OX; на ней строим точку X₁ с OX₁ = |k|·OX (при k > 0 на луче OX, при k < 0 — на луче, противоположном лучу OX); через X₁ проводим прямую, параллельную l.
а) k = 2: прямая по ту же сторону от O, вдвое дальше от O, чем l.
б) k = –0,5: прямая по другую сторону от O на расстоянии d/2.
в) k = –3: по другую сторону от O на расстоянии 3d.
г) k = 3: по ту же сторону, что и l, на расстоянии 3d.
На рисунке все четыре образа построены для одного положения точки X.
Пусть d — расстояние от O до l. Образ l — прямая l₁ ∥ l на расстоянии |k|·d от O: по ту же сторону от O, что и l, при k > 0, и по другую сторону при k < 0.
Построение: берём на l точку X, проводим прямую OX; на ней строим точку X₁ с OX₁ = |k|·OX (при k > 0 на луче OX, при k < 0 — на луче, противоположном лучу OX); через X₁ проводим прямую, параллельную l.
а) k = 2: прямая по ту же сторону от O, вдвое дальше от O, чем l.
б) k = –0,5: прямая по другую сторону от O на расстоянии d/2.
в) k = –3: по другую сторону от O на расстоянии 3d.
г) k = 3: по ту же сторону, что и l, на расстоянии 3d.
На рисунке все четыре образа построены для одного положения точки X.